Independência Linear de Conjuntos Ortogonais
eu vou falar agora de uma propriedade muito especial dos conjuntos ortogonais.
Bom a gente sabe que somos ortogonais especiais, certo?
A partir deles a gente consegue construir bases ortogonais.
Aquelas bases ortogonais são as bases onde cada um dos vetores das bases ortogonal outro certo interdição ortogonais dois há a dois bom, todo o conjunto ortogonal a gente pode dizer que LI, ou seja linearmente independente a gente abrevia como LI linearmente dependente significa isso significa de se você tem um conjunto porto ou não necessariamente aquele conjunto, os leitores lá dentro são here, então você consegue construir uma base com aqueles caras promover como isso acontece, Imagina que você tem um determinado conjunto de vetores ou não tomar m vetores dizer que os vetores são ortogonais dois há a dois, ou seja, dizer que esse conjunto de vetores ortogonal raiz e aqui o b d1 ortogonal dois eu vendo dois ortogonal três e assim por diante.
Certo?
Então houve um ortogonal há a todo mundo que vem depois dele por tabela d2 tem que ser ortogonal.
Todo mundo que vem depois houve três em que seu ortogonal todo mundo que vem depois e assim por diante até o fim.
Para que não preciso dizer de novo que vê três ortogonal Haver um porque eu já disse isso aqui d1 ortogonal três E essa relação aqui era
comutativa, então civil ortogonal ia três mil treze ortogonal d1 certo?
Isso aqui não faz diferença a ordem para gente Poisson então que a gente vai fazer agora a gente tem esse conjunto.
Se então que definir como sendo o conjunto desses autovetores esse esse conjunto, LI eu preciso de dizer que essa combinação linear do que zero sem somente certo escalar, mas iguais a zero de nova definição de linear independência linear O que é um conjunto?
Injetor esse ser ali significa que se eu tenta escreveu vetor nulo usando esses vetores eu tenho que usar todos os números igual a 0, senão não consigo fazer o vetor nula.
Bom, então essa igualdade é preciso aprovar.
Mas eu sei que por tabela se eu fizer o produto interno do vê um conversor nulo e obtém um zero.
Isso aqui é uma coisa que acontece para qualquer injetor O que eu vou fazer?
Eu vou assume que o vetor nulo é igual a esse conjunto aqui eu vou voltar esse cara aqui dentro agora tem que fazer produto interno dessa soma toda com esse injetor d1 bom após fazer o seguinte a gente sabe que eu posso abrir o produto interno da seguinte forma vai ser alfa um vem para fora ver um interno d1, mas alfa dois vem para fora, vem dois, então não vê um e assim por diante, Até o fim a gente já viu isso aqui nas propriedades do produto interno, certo essa propriedade distributiva do produto interno que a gente pode usar para um conjunto qual que autovetores, só que lembra que o meu conjunto e ortogonal.
Então eu sei que esses caras todos do que zero porque eu vou dois ortogonal d1 velho ortogonal d1 todo mundo ortogonal d1 então todos esses produtos internos vão beta zero sobra então o que é que essa igualdade aqui tem que valer?
Porque como todo o resto zero significa que essa é a igualdade aqui tem que dar zero também.
Então esse produto interno com esse alfa não tem que dar zero.
Só que eu sei que produto interno divido um por ver um e há a norma de ver um certo norma de d1 ao quadrado, só que eu sei que isso é um número diferente de zero, número positivo, então o único jeito de isso aqui beta zero dos dois lados esse isso aqui foi zero, ou seja, alfa um tem que dar zero.
Esse é o único jeito.
Deu resolver essa conta ótimo, Então se alfa fi um beta zero eu posso dizer que eu já provei que o alfa um beta zero eu precisaria provar para os outros, só que basta o retomar o mesmo raciocínio recursiva mente para todos os outros atores.
Então em vez de fazer produto interno de ver um convento anulo dizer quiseram interno, vê um a zero O que é que eu vou fazer?
Vou fazer aqui zero interno ver dois da zero depois vamos fazer quiser interno vendida a zero, assumindo a recorrer a mesma demonstração para cada um dos números aqui eu vou repetir a mesma demonstração para cateto escalar eu vou provar aqui esse zero e que todos os outros são zero.
Como aproveite todos os escalar, eles têm que dar zero para que essa igualdade valha.
Eu provei que esse conjunto ali.
Então o resultado final é o que é que o meu conjunto de vetores por ser ortogonal ele também e LI
