Exercício Resolvido Projeção Ortogonal
vamos resolver agora mais exercícios sobre projeção ortogonal nesse exercícios eles deram para gente uma definição de produto interno como assim do traço do produto dessas matriz aqui bom importantemente lembrou que é um traço de uma matriz, mas nesse há a matriz aqui mais eu defino o traço da matriz como sendo soma de o z n agentes do diagonal principal então e a mais de só você pega o que torna diagonal aqui somar d1 esse e produto interno que ele definiu para a gente há a ele deu para gente esse subespaço em S com essas matriz aqui ele disse que tem quatro números observei que são números reais.
LI isso que a projeção da matriz que tem abc de da minha aqui sobre o espaço que ele d1 é igual a essa matriz aqui ele deu resultado para gente.
Ele quer saber qual a relação entre as letras A B C D bom, a primeira coisa que a gente tem que fazer para calcular qualquer projeção ortogonal, verificar se o espaço sobre o código está projetando tem uma base ortogonal.
Então como que eu faço isso?
Primeiro vou fazer o produto interno dessas duas matriz aqui.
Então eu vou fazer o produto interno.
Vamos produto interno da matriz identidade aqui pela matriz eram serão há a essa matriz aqui ela tem um a menos ou então um menos um aqui, como o que define esse produto interno nele e o traço da matriz que vai ser resultado do seguinte produto Eu pego essa aqui e faço há a transposta dela Adivinha há a transposta da identidade i igual a ela própria não é só você transpor aqui monta um aqui o z para causar parábola fi um fica aqui, então é igual a própria, então é ficar ela própria aqui vezes A outra matriz aqui quer zero um menos um isso aqui a gente vai continuar.
Vamos fazer o produto das matrizes?
Vai ser um zero zero zero vezes menos um do que zero aqui um vezes um da um zero de 0 do que zero zero zero zero um vez menos um dá menos um e zero vezes zero vezes um a zero e um e zero da zero.
Então isso aqui beta zero certo ia igual tracejar soma de lista diagonal principal que zero mais e a do que zero ora, então a gente acabou descobrir que elas são ortogonais, Então eu vou dizer que essa matriz aqui eu vou chamando divido essa matriz aqui eu vou chama divido dois Qual a conclusão que a gente tira que venham e ortogonal não haver dois?
Isso é importante porque agora a gente pode calcular a projeção.
Agora a projeção pode ser calculada porque a gente sabe que essa base e ortogonal tudo bem, Então que eu faço eu preciso projetar essa matriz aqui sobre esse espaço a gente tem que lembrar da forma da projeção gente da forma
da projeção, então eu vou projetar essa matriz ABCD aqui sobre espaço esse que ele deu, o que eu faço primeiro faço produto interno de há a bbb- com a primeira matriz há a base certo que vai ser a identidade que a gente viu certo.
E aí eu tenho que divide isso pela norma ao quadrado da matriz da entidade que a gente tem que calcular usando esse produto interno multiplicado pela matriz identidade aqui um zero aqui linha depois eu tenho que fazer outro produto interno da há a matriz ABC de aqui pela outra matriz que vai ser um zero aqui, Como ver com a outra matriz aqui, outra matriz, ela e zero B de zero exatamente essa matriz aqui e aí que você faz você pega e divide isso pela norma na matriz há a matriz zero menos um do que zero.
Isso aqui ao quadrado vezes há a matriz zero um menos um do que zero então é assim que a gente vai calcular essa projeção certo e uma conta grande, mais a gente pode fazer.
Vamos primeiro fazer esse produto interno aqui certo?
Esse produto interno aqui vamos fazer como a estrelinha aqui primeiro como ganhos faz produto interno lembra que a gente tem que deixar tanto a faz errou há a ordem um produto interno certo a gente sabe disso, então vou fazer produto interno dessa por essa tenho meu faço eu pego há a eu vou fazer esse produto interno eu vou t escrever que é para não confundir serão é que eu vou voltar a ser o que eu faço?
Eu pego o traço certo esse há a produto interno pi decidiu definiu eu pego há a transposta dessa matriz que ela própria então um zero fizeram aqui multiplicado pela matriz há a bbb- de adivinha.
Se eu fizer o trânsito está matriz vai dar não explica uma matriz para identidade?
Estou na verdade não estou fazendo nada porque quando multiplicado há a matriz pela identidade obtém aula própria, então acho que a gente vai fazer.
Eu sei que o produto dessas matrizes aqui é igual a própria BBC, então um traço da matriz ABCD a mais certo?
Porque a gente sabe que se multiplicado da entidade para sim matriz, vai dar a própria sua calcular o traço dela.
O próximo produto interno que a gente tem que fazer então e há a norma da matriz identidade que é o produto interno dela por ela própria gente de isso aqui não vai dar um como a gente está acostumado, repara eu vou explicar matriz da entidade um zeros eram por ela própria.
Um zero zero a gente sabe que isso aqui da própria matriz da entidade, que é um zero zero a gente sabe disso aqui e o troço dessa matriz d1 mais um me dar dois então isso aqui da dois certo o próximo passo agora calcular esse produto interno que vamos fazer esse produto interno se vai ser a gente vai pegar aqui há a matriz e multiplicar produto interno como matriz zero aqui zero aqui Menos um aqui aqui certo?
Essa é uma atriz aqui foi dada para a gente essa matriz.
Aqui serão menos o z, Ótimo, Então agora que a gente vai fazer e calcular o traço de seguinte produto, eu tenho que fazer transposta dessa matriz certo essa definição que ele deu então há a transposta e aí multiplicado pela outra matriz aqui que é um zero fizeram menos um zero aqui.
E aí aqui vai ter mais uma passagem só para a gente fazer esse produto que vai ser a vez de zero a zero e aqui c vez menos um dá menos c há a vezes um da existem do que zero isso aqui do que zero isso do que zero dar zero não t isso aqui do que zero do que zero deveis menos um dá menos de y vezes.
Um CNH AB deve zero da zero intensa CNH AB e aí eu traço essa soma aqui o b mais, menos errou.
Seja B ótimo!
Agora a gente precisa calcular norma dessa mantê-las aqui calcular há a norma há a norma dessa matriz aqui vai ser produto interno dela por ela própria, Então a gente vai definir isso aqui, assim como que a gente faz.
Isso é o traço.
Aí eu tenho que tomar transposta dessa então vai ser zero um menos um zero porque essa foi a definição que ele deu vezes, zero um menos do que zero ótimo, Então essa produto matricial eu tenho que fazer.
Vou fazer mais um passo aqui zero g(0) do que zero menos uma vez menos um certo aqui de zero vezes um zero menos do que zero beta zero entorno que vai da zero um bezerro do que zero aqui beta zero fi um vezes um dão que zero de 0 isso aqui então olha só esse é um produto que a gente obteve o traço da matriz da entidade e duas como a gente viu então a gente já conseguiu calcular tudo.
Vamos calcular agora escrever de novo a projeção, então a projeção que a gente estava calculando, certo, a projeção que a gente estava concluindo vai ser o quê?
Promover vai ser esse produto interno que a mais de sobre dois certo há a mais de sobre dois.
Isso há a que ela norma da matriz vezes há a matriz identidade Esse é o primeiro passo, depois vai dar outro produto interno.
Quer B c certo B e a se você dividido pela norma de outra, mas nesse quer dois Você multiplica pela matriz aqui vai dar um aqui beta zero, Se você fizer isso há a, gente faz eu vou voltar meio em evidência e agora eu vou fazer as devidas distributivas.
Isso a mais matrizes há a mais de vezes um da a mais de então.
Essa matricial método aqui vai dar a mais de porque esse tema aqui beta zero B c vezes Onda B há a mais deve de 0 do que zero vezes um da mais de aqui ia aqui dá menos B c.
Esse é o resultado que a gente tem e a gente sabe que isso aqui tem que manter com o resultado que ele deu para a gente.
Então essa casa em aqui tem que dar um e essa casa em aqui tem que dar menos um.
Vamos lembrar assim essas duas causa as primeiras aqui tem que dar um, essas duas causa as primeiras, tem que dar um que a gente tem.
A gente tem que isso tem que dar um e isso tem que dar um ora, então há a mais de é igual a, o que implica que a mais de menos um igual a 0.
Além disso, menos B mais c tem que dar um também certo, então a gente pode escrever isso aqui passando tudo para lá B c mais um tem que dar zero também.
Essa é a resposta que a pedida pelo exercícios.
Então, a gente tem aqui que a mais de menos um tem que dar zero e B c mais um tem que dar zero também.
Alternativa se
