Exercício Resolvido Transformações Lineares
e aí gente, agora a gente vai resolver um exercício sobre o tópico de transformação linear que é um dos mais importantes do curso de hoje, eliminar tudo, Então é muito importante que vocês entendem direitinho tudo que se passa aqui, Cada passagem que eu faço nesse exercícios me dar para a gente vai espaço vetorial ele define um produto interno, disse que essa subespaço desses poços maturar maior espaço vetorial ver ele define um vetor qualquer de Zezinho que pertencia espaço vetorial ver ele pede para conhecer as seguintes afirmações Primeira formação aqui existe uma transformação linear que sai do espaço autovetor chega nos reais definida por essa operação aqui que o produto interno para todo ver Ele disse que essa transformação há a que ela x A segunda afirmação é que existe uma transformação que essa aqui que ela x terceiro grau Terceira formação que existe uma transformação definida como essa aqui que ela x bom, Primeiro vamos provar porque essas afirmações são verdadeiras ou falsas, então para um primeiro vão para a afirmação um aqui.
Então a afirmação certo, relação e define para gente uma transformação que só de ver e chega, chega nos números reais aqui ele define a gente desse jeito e define para gente desse jeito que a transformação é igual a produto interno do vetor por ele próprio certo.
Aí a gente tem que ver se isso há a linear não vamos fazer o seguinte vamos calcular o T de ver há a gente há a calcular vamos calcular agora o tende certo com o T de um dado qualquer ele tá de interno tá bom tudo bem, vamos agora fazer o seguinte vamos calcular a transformação linear de um vetor chamado ver mais como que é essa transformação é o produto interno de vem mais ponto B mais de abril certo?
E aí n agentes duas as propriedades do produto interno a gente vai cair que isso aqui é igual a a gente vai ver mais duas vezes vê interno, mas integrar CNH AB essa passagem que todo mundo lembra neve termo da vinte anos da habilidade em quer não vê a mesma coisa que o interno da água, então fica duas vezes bom, aí a gente pode reparar que isso aqui é uma coisa.
Agora, se eu fizer essa somar aqui ou se eu, faz essa soma que tem de ver mais tende eu vou inverter o a gente calcular aqui tende veio tende eu vou obteve interno.
Ver certo vem termo ver mais da abril interno e a para então que a gente provou agora que o que a transformação calculada no vetor tem mais.
Ela é diferente da soma das transformações de cada setor individual.
Se essa propriedade não é atendida, significa que ter não ln n agentes, então ter não e linear logo Afirmação é falsa.
Então a gente aprovou que há uma falsa, há uma falsa porque a gente provou que ela não atende a essa propriedade das transformações lineares que é absolutamente essencial.
Certo?
É absolutamente essencial que a gente conheça essa propriedade aqui para a gente definir as propriedades das transformações linear certo!
Então é muito importante que para uma transformação sim linear dela tendo essa característica, ou seja, que tem que ser igual, não pode ser diferente E como dois diferentes aqui não há a linear não LI ótimo então vão aprovar dois Agora a afirmação do ex LD aqui para a gente que é o produto
interno de ver por um autovetor o z certo vetores ia aleatório para ficar indiferente à volta a trocar de cor.
Aqui vamos trocar de fazer de azul agora e para gente sabe tudo que a gente está fazendo, então vamos provar a formação dois aqui.
Afirmação dois Ele disse para a gente ele define para gente há a transformou seu T de ver como seno produto interno de ver por um o z qualquer certo bom o z pertencente a ver aqui certo vamos calcular agora tende o quanto que há a tende tende dar erro produto interno de por dizer é o mesmo o z é igual a ótimo!
Vamos calcular agora, então a transformação de ver mais a transformação de ver mais se vai ser que nem vai servir mais internos e isso aqui e igual haver internos e mas a gente sabe disso exatamente pelo fato das propriedades produto interno eu posso distribuir?
Só que isso aqui até de ver certo isso aqui há a T de Resumindo há a gente acabou de provar que ter de ver mais de abril e é igual a T de ver, mas T de ótimo, então ele já atendeu a uma das propriedades do produto interno.
Vamos ver a próxima não colabora T de lambda ver isso é igual a há a lambda ver então nos e só que as propriedades produto interno me deixa monta aula me dar para fora.
Então eu digo que isso aqui lambda interno de 0 Só que isso aqui t divido intuir isso aqui lambda ter de ver.
Então a gente acaba de aprovar outra coisa que ter de lambda ver lambda divido, ótimo.
Então a gente provou as duas coisas que uma transformação tem que ter para ser linear como essa transformação ela definida desse jeito, ela tende as duas propriedades, então aula linear, então essa aérea agora vão aprovar três, que é ver menos a projeção.
Vamos fazer que é rapidinho essa que é um pouquinho mais complicada.
Bom é um pouco mais difícil vou fazer de amarelo certo, então há a, mas essa mais curiosa de tudo se eu seguinte, então ele vai definir a transformação.
Tende ver como sendo ver menos há a projeto fi um de ver sobre um subespaço esse qualquer para ajudar vocês entenderem como que a gente vai mostrar essas coisas eu vou definir espaço vetorial esse eu vou o que é se ele há a gerado por vetores esse um dois o Papa Papa até sim tá bom pré-definido.
Desse jeito ele é gerado por esses caras.
Isso aqui, esses caras aqui ou aqui.
E são e base eles formam uma base de ótimo.
Então então eu vou reescreveu T de ver para ficar mais fácil.
Lembra como que calculava a projeção sobre subespaço que a gente fazia fazer o produto interno do ver com esse fi um aí a gente dividia pela norma do em S fi um ao quadrado isso tudo na direção do assim há a gente fazia isso para todos os setores da base certo?
Não era isso que a gente fazia?
Sim, sim aqui sobre a norma de assim ao quadrado isso tudo na direção de assim era isso que a gente fazia.
Então essa definição da minha transformação x ótimo então quer dizer que seu calcular um T de O que é que eu vou fazer um tende se vai ser certo?
Menos a projeção do seno espaço esse então vai ser dar erro internasse o a certo sobre a Normandia sim, ao quadrado na direção de assim, mas assim até então da sim e onde ao quadrado na direção ia sim, ótimo.
Então agora que a gente vai dizer a gente vai tentar calcular a projeção da soma ver mais da minha, vamos ver o que vão viver mais, vai dar o que vai dar o próprio ver mais certo, menos aí eu tenho que fazer a projeção do vem mais de abril no meu subespaço, Então vai ficar o que ver mais da interno aqui, mais termo assim, sobre a norma de assim ao quadrado mais esse faz uma soma grandona de ver mais da B.
Certo aqui vai ser sim sobre a norma de, e sim ao quadrado na direção de assim Cn.
Ótimo que a gente vai continuar fazendo.
Agora eu vou voltar aqui então um igual função contínua esse há a conta isso aqui vem mais.
Agora vamos as propriedades do nosso querido produto interno.
Eu posso abrir y, mas aqui então isso aqui vai ficar ver mais da abril.
Obra fica a ver e sim somar norma de s ao quadrado esse fi um, mas aí você monta abre agora, assim eu posso fazer isso aqui certo, porque eu tenho aos provedores do produto interno lembra índice que se um ele é um vetor ia ele tá seno multiplicado por um escalar que eu posso dividido essa soma para que possa votar esse fi um em evidência e aí vai ficar embaixo, denominador esse fi um norma de assim ao quadrado em cima vai ficar os produtos internos que eu posso juntar assim assim eu posso abrir esses produtos internos e eu vou continuar essa conta até o final E aí vai ficar isso aqui houver esse certo sobre há a norma sim, ao quadrado na direção de assim Cn mais de Abril Cn sobre esse ao quadrado na direção de ótimo Agora eu vou ter que continuar é a conta mais um pouquinho e aí a gente vai concluiu o seguinte eu vou fazer assim vê menos há a eu vou pegar alguns termos daquilo agrupar eu vou agrupar todos os produtos internos que tenham ver aqui, Por que não?
Esqueçam que eu posso como secreto numa soma bonita?
Eu posso quebrar isso aqui do jeito que eu quiser, certo na ordem dos fatores que o bem achar conveniente.
Então olha só o que estou fazendo aqui é bruxaria, certo?
A bruxaria, mas no geral a bruxaria funciona muito bem Álgebra Linear.
Se vocês quiserem fazer algumas macumbas há a e podem fazer, funciona muito bem, então abriu fi um sim ao quadrado direção de assim mais assim onde assim ao quadrado inversa é crescente com o faço porque eu fiz.
Eu peguei todos os caras que têm ver TV e botei para carro e para que se uma soma então tanto faz a ordem que os temos, temos ia.
Eu peguei, monta aqui.
Pode ser para todos os casos que tenham dado aqui, esse t, esse termo que eu botei eles aqui ou certo e todos os carros que tenho meu voltei para cá, os carros tenho meu, voltei para cá.
Repara que isso aqui há a, gente calculou como sendo tende isso aqui gente há a calculou como sendo T de ver então que eu provei e aprovei agora que ter de ver mais da Abril é igual a há a tende ver mais tende, olha só que ótimo, Então eu já provei uma das características prova outra não tão difícil eu preciso calcular T de lambda vive o quanto isso aqui tende lambda ver quem é o vetor lambda haver menos a projeção do lambda.
Ver espaço esse se vai ser lambda ver sim fi um sobre a norma de assim ao quadrado direção de assim um assim até o fim certo lambda Ver me dar ver aqui sim, sobre a norma de esse ao quadrado na direção de se ele.
Olha só o que eu posso fazer você voltar todos os lambidas para fora gente, eu posso fazer isso?
Se voltar todos os anos para fora, todos os temas não foram explicados por lambda.
Eu posso voltar um lambda em evidência vai ficar então lambda haver menos lambda certo, menos lambda e isso vai multiplicar esses produtos internos.
Todos vê assim fi um certo na direção de assim um sobrenome de esse ao quadrado ia aqui todos os outros indiferentes temos aqui e eu posso votar lambda em evidência de norma fica lambda!
Aí você pode marchar aqui ver menos aí você bota uma projeção no subespaço aqui ou isso aqui faz produto interno aqui assim com o diante todos os termos aqui certo isso aqui eu concorrer como sendo T de ver então que eu acabei de provar que é que T de lambda ver da lambda vezes eu acabei de provar isso, então ele atende a primeira propriedade de produto de transformações milhares ia segunda propriedade de transformações de milhares também.
Logo essa terceira informação é verdadeira, certo essa transformação, ela linear.
Então só as afirmações dois e três são verdadeiras, porque só dois ou três são de fato transformações milhares.
