Exemplo de Matriz de um Operador Linear: Derivada de um Polinômio
bom eu vou mostrar para vocês como que a gente constrói há a matriz de uma operação de uma transformação linear de o modo mais prático, então não imaginar que a gente tem o seguinte operador linear eles raiz d2 e cheguem d2 por isso operador espaço de c dois chegadas iguais ele esse operador ia faz a gente LI pegam polinômio T de t ele leva na derivada do polinômio, então olha o que a gente vai fazer é ilegal a gente vai codificar operação de derivada numa matriz bom primeiro qualquer matriz esse operador com relação a Z bases bases sedadas essa minha pergunta certo, Então eu vou te dar duas bases bem c.
Eu quero descobrir qual matriz esse operador com relação a essas bases, porque lembra que uma atriz muda de base para bases, então essa vai ser a base meio base canônica d1 T de t dois esse há a base c mais um t ao quadrado mais t vamos então escrever as derivadas usando essa base aqui Ótimo, então eu vou notados duas bases aqui para a gente poder fazer as relações que a gente precisa.
Primeiro vamos calcular imagem do primeiro vetor da base b, ou seja, a imagem de t igual ter do polinômio constante certo há a derivada de um ia derivada da constante um a zero.
Agora vou tentar escrever esse número aqui que a imagem do vetor eu vou theta escreveu o número zero nessa base aqui repara que tenho meu zero nessa bases vão fazer zero vezes o primeiro cara mais erro isso segundo mais erro vezes.
Terceiro isso me dar do que zero Ótimo!
Agora o segundo vetor e o a derivada de t d1 agora tem que tentar escrever um polinômio cosseno igual certo usando essa base para que vai escrever uma só pegar uma vez um mais erro vez o resto e obtenham o vetor constante igual agora a dificuldade maior está aqui como o que eu faço operador certo da derivada não tem dois
vão há a derivada de t ao quadrado e do aí eu tenho que tentar escrever dois t usando essa base repara que percebe dois usando essa bases o a pega duas vezes esse injetor aqui é guardar dois t mais dois ia eu tenho que anula ao dois, então faço menos duas vezes um há a é guardar duas vezes tem mais dois menos dois dois menos dois do que zero então eu consegui escrever dois tributando menos dois dois de 0 no último aqui, porque não aparece o t ao quadrado, então para escrever matriz da minha Transformação com respeito aos bases o b é só pegar esses escalar a x e botar na primeira coluna pegos escalar isso daqui boto na segunda coluna e os escalar isso daqui monta na terceira coluna e essa matriz da minha Transformação simples assim gente pega os vetores da base calcular as imagens, escreve eles nessa base nova que você que é a sua base, sei que pode ser diferente, mas escalar a x que você obter você bota nas colunas das matriz, Então vamos agora fazer essa conta para um polinômio inversa isso funciona Pn esse polinômio eu tenho que tentar escrever x base Bbb- aqui vão muito intenso pra ver se polinômio base B Quer dizer quais são as coordenadas que eu tenho que usar nessa base prescrevesse polinômio bom e souza quatro treze dois Para que se fazer quatro vezes um e obtém quatro mais três vezes t obtém triste mais duas vezes t dois certo e obtendo do isso essa são as coordenadas nesse vitor na base B e são aqui nessa base B aqui ótimo então para obter coordenadas da transformação desse polinômio lembra que a transformação ia derivada então proibidas coordenadas há a derivada com respeito ao base certo pré-definido atrás que eu faço.
Eu pego a minha matriz da transformação e multiplica pelo vetor que tem esses números como coluna certo quatro três doenças entra como forma de coluna.
Lembra que essa era equação que a gente definindo os coordenadas da resposta igual analisa de transformação vezes, mas coordenadas do vetor de entrada aqui fazem nesse produtos matrizes eu vou cair nesse valor aqui zero zero vezes quatro a zero em vez de três a três menos dois vezes dois do menos quatro B um Aí você uma explicação linha por essa vai dar doze, mas duas lambda quatro do que zero de 0 g(0) aqui beta zero aqui então que eu tenho eu tenho a minha base c aqui certo.
Eu sei que as coordenadas da minha resposta na base menos um quatro zero então o que eu sei eu sei que o meu vetor há a derivada dn, porque lembra que a transformação da meio do meio polinômio era derivada dele.
Vai ser menos uma vez o primeiro caso da base, mas quatro vezes o segundo carro da base mais zero vezes.
O terceiro que ela da base de novo lembra que a que ela equação matricial que eu dei para vocês que ela me dar, mas coordenadas da resposta com respeito à base de chegada que há a base c então para você descobrir o vetor, ou seja, o polinômio resposta não basta você pegar esses números você tem que pegar seus números multiplicado pelos caras da base fazendo essa conta aqui eu Caio nesse polinômio o que é quatro tem mais três vamos fazer agora uma espécie de prova real.
Eu sei que a transformação do meu polinômio e isso aqui quatro tem mais três, mas vamos calcular agora derivada do meu polinômio será que ela derivada do meu polinômio quatro t mais três relembrar da minha Transformação era derivada então desenvolver esse há a derivada do meu polinômio de fato quatro temas três lembra que não polinômio era do isso ao quadrado, mas sistema mais três tem mais quatro deriva isso aqui gente se eu derivar isso aqui.
Eu vou obter exatamente quatro temas três porque é para o pela regra do termo dois cair fica quatro t há a ia derivada de ter um tanto a três vezes ia derivada do quatro zero, então eu vou cair isso aqui gente então olha que incrível conseguiu traduzir a operação de derivada por uma matriz certo, ia matriz.
Ela dava para a gente as coordenadas da resposta às coordenadas da derivada com respeito a uma base que você tinha definido antes, então sempre definam as bases e depois você calcular.
Matriz da transformação É absolutamente essencial que vocês têm essa ordem na cabeça.
