Exercício Resolvido Diagonalização e Polinômio Característico
bom, vamos falar de um exercício que trata do polinômio característico e sobre operadores diagonalizáveis nesse exercícios me dar para gente um polinômio característico certo de um operador t ele tá assim confirmações e tem que ver com a verdadeira com o é falsa.
A primeira delas a seguinte antes de começar a exercícios eu vou levantar uma informação aqui que é muito grande para a gente.
Ele deu para a gente o polinômio característico gente Ele deu que pede t certo de T de t B t dois menos um t dois menos quatro certo LD isso para gente bom isso aqui adivinha, eu consigo fatorar certo consigo, certamente fatorar e vai ficar sim t ao quadrado menos um eu posso fatorar como ter mais um.
Tem menos um certo diferença de quadrados.
Isso outro tema t menos dois e tem mais dois.
Então olha, eu já sei quais são cinco autovalores certo tenho cinco autovalores aqui zero um menos um certo dois e menos dois e são cinco autovalores então se eu tenho cinco autovalores eu vou criar eu vou eu vou supor que tem cinco autovetores então suponha certo.
Suponha cinco autovetores que eu vou chamar certo?
Eu vou chamar de ver um eu vou somar base B aqui você vê um c dois estará até ver cinco certo e são cinco autovetores eu preciso de cinco autovetores eu tenho para formar uma base.
Aí eu vou dizer que eu tenho operador certo?
Então esse operador ele tem certamente uma matriz que codifica ele ia matriz monta de base para base, só que eu sei que há a matriz operador com respeito há a uma base de autovetores LI diagonal e os números não diagonal aparecem na ordem que você monta o z autovetores na base aqui então vamos votar os autovetores na ordem que aparece aqui zero menos um menos dois dois nesse efeito zero certo menos um aqui um aqui certo dois aqui menos dois aqui exatamente canônica escrevi aqui em cima e o resto a gente preenche com zeros certo e assim que a gente faz como preencher aqui com zeros tudo bem aqui do que zero aqui há a três zeros aqui há a quatro zeros Essa é a matriz do meio operador gente era grande cinco por cinco, mas vocês lembram que eu podia fazer uma transformação de bases qualquer ao quadrado famoso quadrado então eu posso supor e meio operador e de cinco em S cinco eu vou supor isso certo?
Então após escreveu o seguinte eu vou pegar há a bases o b aqui então eu posso escrever o seguinte eu tenho ali cinco Eu quero chegar mais cinco certo e eu vou fazer o meu ao quadrado famoso quadro a gente s ao quadrado aqui e muito bom sério apreendeu esse raiz quadrada porque ele resolve todos os problemas de transformações.
Na maioria das vezes eu chegaria que vocês pegarem s ao quadrado aqui em vocês mandassem meios para vocês mesmos ou mensagens para vocês mesmos com ao quadrado aqui uma foto desse quadrado vocês podem escrever um poema para ao quadrado sério é muito bonito?
Então guardem o coração aqui sim eu vou pindura há a base o b certo ia aqui baixa vou pendurar há a base canônica digamos, método ainda não traduziu o problema que ele deu para a gente, então essa certa que a gente preenche com identidade se você há a I de B na can canônica aqui também vai ser há a I de B na can canônica e aqui em cima eu sei que o meu operador que vai chegar em cinco através da base o b aqui baixa e operador que vai chegar na canônica certo em S cinco Através da canônica eu consegui escrever a seguinte relação nesse ao quadrado eu consegui tirar aqui t na can certo, tendo há a canônica vezes há a matriz
de mudança de base de o b na can isso aqui tinha que ser i igual a.
Composição pelo lado de cima que era I de B na can certo I de B na can vezes há a matriz com respeito à base quer há a base autovetores eu vou mas a gente eu vou chamar C([a,b]) na can que de não só para ficar mais fácil então eu vou cair que há a matriz de T na can ela pode ser escrita como uma matriz, uma matriz m vezes há a matriz diagonal tende o b vezes uma B.
Isso tudo serviu para eu chegar nessa resolução aqui.
Certo a conclusão que a gente tira e que o nosso operador T de ali cinco em S cinco certo ele tem uma matriz com respeito à base canônica que é o que a gente está cuidando, que pode ser descrita por m tendo há a B aqui que há a matriz diagonal cinco por cinco com o deseja lá em cima m B isso aqui vai ser muito importante para a gente resolver todos exercícios vamos lá, então o item há a deu que o polinômio característico de t ao quadrado é igual a polinômio de ter elevado ao quadrado gente isso e claramente errado, vamos ver porque isso errado certo?
Item aqui eu vou provar para vocês por que é errado?
Bom, vão pensar os seguintes eu quero descobrir como que e operador t dois eu não sei.
Eu sei que o operador de dois ele tem a seguinte Cara operador de dois Quando eu quiser calcular ele, o que eu faço?
Operador de dois e T de T de certo?
Não é assim que a gente faz e como eu calculo T de um vetor vão pensar eu quero calcular T de o que é que você faz?
Você pega há a matriz de T com respeito à base canônica aí você multiplica pelo veto dê zero escrito na base canônica isso da certo isso da T de do escrito na base canônica Não é assim que a gente fazia.
Então que eu vou fazer se eu quiser calcular ou T de T de o que eu sei o T de o esse vetor aqui que é dado por esse produto matricial se eu que ela calcular ou t desse cara o que é faço se eu multiplicado esse cara por monta isso então só explicar o t na can certo?
Eu vou eu vou Simplificar minha notação gente eu vou dizer que tem na can é igual a há a certo?
Eu vou eu vou escrever isso aqui em cima, mas quer vez aqui em cima t na can é igual a Eu acho que isso é muito importante para simplificar nossa notação, então olha que eu vou cair eu vou cair que há a vezes vezes o vetor ou aqui certo na canônica eu sei que esse produto matricial tem que ser igual T de o certo ainda na canônica também resumindo se eu tenho operador t dois qual que é há a matriz de T dois com respeito à base canônica e há a matriz do próprio com respeito à base canônica certo?
Só que você leva ela ao quadrado essa conclusão que a gente tira então é igual a há a dois estavam eu vou precisa levar uma matriz ao quadrado aqui adote gente quem há a matriz e são há a matriz há a é igual a essa esse produto matricial que lembre se disso eu vou dizer que ao quadrado vai ser igual há a m vezes pmdb- certo que a gente já descobriu que eu já vou não vezes em minha menos um isso tem que levar ao quadrado e eu lembro como faz isso.
Certo?
Some interessa você elevar há a matriz do meio ao quadrado vezes T de o b ao quadrado aqui vezes em menos um No final das contas eu sei que há a dois se vai ser igual agora que vão fazer eu vou pegar que ela matriz eu vou Pegar todos os elementos da diagonal aqui vão elevar ao quadrado vai dar zero um quatro quatro diagonal principalmente vai ficar sim do que zero quatro quatro e aqui eu vou preencher comuns era um gigante que e os milhões de 0 se eu tem que voltar aqui desse lado vezes m menos um, só que a gente sabe que os alto valores certo dessa matriz tem que ser os autovalores dessa matriz aqui Então calma eu sei eu sei que duas matrizes que tem essa relação aqui e são semelhantes, certo?
Elas têm essa relação bonita?
Que duas matriz que são semelhantes elas tem o mesmo polinômio característico e elas têm os mesmos autovalores, resumindo então, resumindo, então quais são os autovalores do polinômio da transformação?
E a dois de dois aqui a minha transformação t dois ela tem os seguintes autovalores zero um quatro acabou então o polinômio característico dela tem que ser alguma coisa sim de dois ele tem que ter a seguinte cara t certo vezes t menos um ao quadrado vezes t menos quatro ao quadrado aqui pode ser mais ou menos não sei se é mais ou menos, mas ele tem essa cara se ele tem essa cara.
É óbvio que um polinômio não e ao quadrado do outro se eu paguei esse polinômio eu vou ao quadrado certamente eu não vou obter a relação que eu consegui então essa afirmação t errada uma confis aqui t dois tem cinco autovalores distintos e diagonalizável gente há a gente acabou de ver que t dois de dois tem três autovalores, então aberta errada porque dois tem só dois têm só matriz autovalores distintos.
Certo de cinto ele não tem cinco distintos, então essa informação J errada, por causa disso ele tem só três distintos.
Ele me disse que o operador invertível certo e pede ter menos um e isso aqui gente ter não invertível porque porque zero e autovalor repara Olha só ele me deu aqui para gente t ter não não é importante grifar isso, não e invertível porque ele não é invertível por um motivo ele não invertível.
Porque pois zero certo zero ele e autovalor o que significa gente lembra autovalor autovalor lembra aqui dizer quiseram autovalor é a mesma coisa que dizer que o verde zero a dimensão do espaço do autoespaço associada ao zero e maior ou igual e isso é a mesma coisa que dizer que a dimensão do núcleo da sua transformação e maior ou igual um, porque o autoespaço associado ao zero é o próprio núcleo certo e o próprio núcleo.
Então se o núcleo tem o mesmo maior porque a minha transformação, ela não e injetora sela não e injetora é impossível dela assim invertível certo, então está errado esse aqui Disque de dois menos quatro e tem quatro há a autovalores distintos e não e diagonalizável gente há a gente faz para descobrir os autovalores de dois menos quatro m Promover para eu fazer em dois meses quatro m eu vou para descobrir autovalores eu vou Tentar escrever há a matriz certo?
Eu vou Tentar escrever matriz do de dois menos quatro então e dois menos quatro e com respeito a uma base, vou tomar uma base, digamos, há a canônica é o que como que como que é uma atriz?
Esse carro e há a matriz de T dois certo menos quatro vezes há a matriz Identidade não e bom adivinha?
Há a matriz de T dois Eu já escrevi aqui em cima para vocês há a matriz de T dois Tem essa cara m vezes essa matriz aqui vezes m menos um, então vou fazer assim ela vai ser vezes há a que ela matriz gigante que tem zero um, quatro quatro e outros erro gente aqui vezes e meio menos um menos quatro vezes a identidade gente, mas há a identidade era uma matriz que eu posso explicar para qualquer coisa.
Então eu vou explicar a identidade dessa desse modo aqui m vezes e vezes em menos porque a identidade isso multiplicar por m menos um da própria B um m menos um vezes e a me dar o próprio da própria identidade, então essa relação é válida há a eu posso botar o m o e meio m menos um em evidência então vai ficar isso aqui m aí eu pego essa matriz aqui zero um quatro quatro e botos eros aqui menos certo menos quatro vezes há a matriz da entidade que tem cheia de uns aqui certo e zeros aqui certo?
Isso tudo vez há a m menos um no final que eu posso fazer, eu posso simplesmente pegar e subtraiu os elementos do diagonal.
Muito eu vou cair isso aqui ou vou fazer matriz toda bonitinha de zero menos quatro vai dar menos quatro um menos quatro vai dar menos três menos três a menos três quatro menos quatro a zero e quatro menos quatro do que zero ia eu vou Preencher com zeros aqui em cima repara que eu só tenho três autovalores distintos.
Agora ao menos posso menos treze zero, então ninguém nada certo, então volta para cá de dois menos quatro.
Tem quatro valores distintos, não tem só três no final, então usou sobra que afirmativa tem que ser verdadeira porque todas as outras são falsas, então a resposta correta é alternativa como sendo verdadeira três menos diagonalizável ou polinômio dele esse aqui
