Exercício Resolvido Diagonalização e Polinômio Característico
bom esse exercícios ainda trata de polinômio característico e sobre as diagonalização de polinômio de operador linear.
Certo?
Bom nesse nesse causa nesse exercícios que ele deu para gente operador de R3 em R3 certo com dois autovalores raiz distintos, certo alfa e beta.
Ele pede para a gente considera essas afirmações aqui venceu soma de delas alfa, não a primeira afirmação e todas as raízes do polinômio característico são reais.
Será isso?
Bom?
Esse o polinômio se eu nossa operadora de diretriz em três Então o polinômio característico ele tem que ter a seguinte cara certo, ele e ele tá menos um número, digamos há a vezes B o b vezes t menos ele tem que ter essa cara gente.
Se ele não tivesse a cara, não tem como a gente dizer que é um programa terceiro grau ele tem essa cara, só que o que acontece ele podia acontecer de esse há a o b serem números complexos.
Certo?
E aí Quando a gente faz ter menos um número complexo vezes, têm menos um número complexo, digamos que há a e são conjugado.
Eu consigo polinômio de segundo grau que não têm raiz reais, então poderia acontecer.
Por exemplo, pede t ele pode ser por exemplo assim t dois mais um certo vezes um ter menos um numero digamos aqui gama tá bom elipsoide eles são polinômio assim continua sendo o terceiro grau, só que aqui não tem raio reais, então não tem faz reais aqui agora ele deu um parâmetro para a gente dizer se essa informação é verdade ou não é o seguinte ele disse que operador tipo pelo menos alfa e beta, como como autovalores, então o polinômio ele tem que ter essa cara aqui no final ele tem que necessariamente t, menos alfa vezes tem menos meta porque o alfa e beta tem que aparecer como autovalores pelo menos uma vez e aqui tem que ter um outro polinômio de não sei que de t mais repara que o Ker de T certo de primeiro grau,
então é de primeiro grau, porque porque é o único jeito do multiplicado?
Porque eu já tenho grau dois, o único jeito de obter grau três e multiplicado foram polinômio de primeiro grau, só que não existem polinômio de primeiro grau.
Não existem polinômio de primeiro grau que vão ter números complexos aqui, necessariamente polinômio de primeiro grau vai ter números reais, então de foto esse terceiro polinômio aqui ele tem que ser do tipo eu sei então do aqui que o polinômio Ker de T ele tem que ser do tipo t menos um número eu não sei que letra b mais usávamos há a uma letra gama, então necessariamente o que de t tem que ser t menos o número, porque se não for desse jeito eu não consigo polinômio que tem três raiz reais e tal.
Então o que eu sei?
Todas as raízes do polinômio são reais sim, porque se não forem reais, certo necessariamente serão reais, porque eu já tenho alfa e beta como necessariamente seno raízes, então a terceira raiz tem que ser real porque eu não tenho esse esse polinômio sim esse operador fosse de quatro em quatro há a.
Essa afirmativa seria falsa porque eu conseguiria um polinômio de segundo grau que não tem raízes reais.
Eu conseguiria, por exemplo, isso aqui ia eu conseguiria completar o meu polinômio com um outro polinômio de segundo grau para alterar o quarto grau que não tem as reais, mas com mantém um grau três grau empresta Então isso não vai dar certo necessariamente necessariamente eu vou t duas raiz reais.
LI supor a gente que ter sempre invertível.
Isso é mentira, porque isso é mentira bom, por um motivo muito simples pega o polinômio característico como sendo assim t vezes t menos alfa vezes t menos beta dependente esse polinômio alfa Euler, autovalor, alfa autovalor e beta também, só que o zero também e autovalor certo.
Então nesse caso aqui como zero autovalor, repara como zero e automóvel que eu tenho gente com a conclusão que a gente tira de isso.
Isso implica então cair dimensão dividido zero vai ser quanto vai ser um.
Isso implica então quer dimensão do núcleo vai ser o quanto a dimensão do núcleo vai ser um também então se a dimensão do núcleo e não nula, ou seja, essa a dimensão do núcleo e igual a 1 e porque esse operador t não injetor se ele não?
E injetor gente, o que significa isso implica que ter não não invertível certo não invertível porque para você c invertível você tem que ser sobrejetor bijetor você tem que ser sobrejetor injetor, ou seja, você tem que ser bijetor, só que cometeram injetor ele não invertível tão claramente há a dois é falso.
Há a três disse que se a operadora diagonalizável e você tem um polinômio causa cair aqui onde Ker de T polinômio satisfaz a propriedade de não ter raiz alfa quer de 0 tendo t menos alfa vezes Ker de T Eu sei que Ker de T não tem raiz em alfa, ou seja, não tem.
Ele não é composto por temer nos alfa vez alguma coisa então a dimensão de ver de beta é igual a dois está errado também, porque a hora que ele disse para a gente ele disse que ele disse que você tem um operador certo.
A gente tem um operador que tenham pede t certo pede T de ter como sendo um número assim t menos alfa pesos Ker de T só aqui do enunciado ele deu para a gente que o beta também era autovalor certo?
Então eu sei que isso aqui tem que ser verdade.
Tem que ter um tem menos beta vezes ter menos um número, digamos gama.
O que ele disse para a gente eu já tenho alfa como autovalor aqui para garantir que o Beto autovalor eu tenho que meteu beta como autovalor Ker de T ele tem que estar aqui dentro.
Ker de T tem que ser gordo, tem menos beta, mas é uma coisa índice para gente então a dimensão divido de beta igual dois.
Isso só seria verdade certo a dimensão de verde meta é igual a dois sem somente ser o meu polinômio Ker de T for do tipo t menos beta ao quadrado beta tem que aparecer duas vezes, Só que Norberta não precisa parecer doze dez.
Ele pode aparecer uma vez só e o outro é outro tema.
Pode ser um gama qualquer.
Pode ser um outro autovalor diferente, então o beta no caso aparecer duas vezes.
Ele pode a próxima vez, só então não é necessário.
Como é que aparece duas vezes, podiam sequer aparece uma só, então no final a gente fica que só formação uma verdadeira alternativa ser de casa.
