Exercício Resolvido Diagonalização e Polinômio Característico
bom nesse exercícios lhe deu para a gente um núcleo da nossa transformação de em quatro quatro deu núcleo, disse que ter diagonalizável que três e um autovalor e que a dimensão do autoespaço associada ou três d1 certo elíptico gente afirmar uma coisa sobre o polinômio característico do nosso operador, então ele deu para a gente o seguinte que ver de três e igual há a dimensão, ele disse que a dimensão divido de três é igual a Isso é uma informação muito importante.
Agora a gente tem que descobrir a dimensão do núcleo porque não esqueça que o núcleo certo eu vou t dizer isso que o meu ver de zero e igual núcleo da transformação ele deu isso para gente.
Então se eu achar a dimensão do meio núcleo, eu acho automaticamente qual que a dimensão do meio de 0 gente, vamos resolver esse sistema rapidinho, certo eu vou não estar aqui.
Ele disse que o núcleo ele é dado pelo seguinte eu vou até fazer aqui núcleo e dado pelo seguinte pelas equações x isso, mas pessoal mais B e igual a 0 certo B tem que ser igual a 0 isso aqui me dar matriz gente que a gente sabe escalonar, vai dar um fi um e aqui vai dar zero serão B norma gente e a para que essa essa linha não é múltipla dessa então a minha matriz já está escalonada eu preciso
faz absolutamente nada, mas repara que eu só tenho pivô aqui certo e um pi eu vou aqui então tenho duas variáveis livres certo?
Duas honoráveis divido isso me dar uma coisa que há a dimensão do núcleo o quanto a dimensão do núcleo dois Então gente e para repara fórmula eu tenho que há a dimensão dividido zero é igual a dimensão núcleo certo dimensão do núcleo e dois certo e eu tenho também que há a dimensão do meu veio de três já tem essas informações, mas ele me disse que t diagonalizável esse t diagonalizável significa que eu devo conseguir há a quantidade de autovetores necessárias para formar uma base certo?
Então eu vou não estar isso aqui tudo bem há a anotado, anotado.
Isso aqui é absolutamente essencial.
Agora vamos pensar o seguinte um meio operador pré-definido de e e quatro em S quadro não?
E isso c divido de e a conta e quatro m diagonalizável certo síria diagonalizável que eu tenho eu tenho que tenha uma base de autovetores certo, isso implica então que eu devo ter quatro auto setores eu devo conseguir autovetores suficientes para formar uma base mas até agora eu consigo um dois autovetores daqui então do aqui tipo dois autovetores dois autovetores dois autovetores dois autovetores e que eu consigo um autovetor, mas gente se eu consigo um do aqui dois aqui significa eu preciso de um de outro lugar.
Quer dizer eu devo ter algum outro autovalor associado esse operador, porque assim não teria quantidade de autovetores suficientes para formar uma base.
E aí o meu operador não seria diagonalizável certo?
Então eu devo ter?
Eu devo ter certo?
Provavelmente eu tenho eu devo ter aqui um outro autovalor devo ter outro autovalor que eu desconheço?
Eu desconheço esse autovalor não sei quanto é porque ele não me deu a informação, mas eu sei o que uma operador LI e diagonalizável, então ele certamente tem um polinômio característico que tem todos os autovalores como raízes.
Eu sei que o meu zero aparece duas vezes, então eu sei que aparece ao quadrado e eu sei também que o meu meu autovalor três aparece uma vez, então sem dúvida tenho meu t menos três aqui, mas eu devo ter algum outro autovalor que eu desconhecia?
Então vou chamar de lambda só que tem exigências aqui.
Lambda não pode ser zero porque se ele for zero a dimensão do meu núcleo seria três a gente vai a dimensão núcleo dois e ao mesmo tempo ele não pode ser três.
Ele não pode porque se ele for três há a dimensão do autoespaço associado ao autovalor três seria dois esse aqui o b lambda fosse três a dimensão dividido seria dois só que não enunciado ele me deu uma a dimensão divido de três d1, então sem dúvida polinômio tem a seguinte cara até ao quadrado termo c sistema nos lambda Onde lambda algum número que eu não sei quem é, mas ele certamente não é nem três que nem zero certo essa alternativa correta que escreveu polinômio característico dessa nossa transformação.
