Exercício Resolvido Diagonalização sobre R e C
bom gente ainda estamos nos alto, nos autoespaço complexos e nesse exercer deu para a gente uma matriz cinco por cinco m polinômio característico dela ele pergunta o que a gente pode informar a respeito de doze nivelzinho para que essa matriz seja diagonalizável?
Não, não tem motivo a área de esqui esse há a diferentes de B então ali diagonalizável sobre bom resposta não porque repara nesse polinômio eu vou reescrevê lo aqui certo?
Eu vou reescrevê lo, vai ser menos t até ali ok?
T menos há a, tudo bem t menos B tudo ótimo.
Aí vem isso aqui para escrever isso aqui.
Eu posso dizer que menos m t mais repara que as raízes desse polinômio ao quadrado mais não são reais, são complexas se eu, fizer t menos e vezes t mais índice eu tenho t ao quadrado mais então de foto, esse polinômio que ele tem autovalores complexos.
Essa matriz tem autovalores complexos, então é impossível ser diagonalizável sobre erro certo bom tudo bem C([a,b]) índice que se há a i igual a B c é igual a b e há a diferente de zero.
Certo então há a diagonalizável sobre a resposta, não necessariamente porque eu vou t escrever aqui imagina imagina que há a i igual a B esse há a igual B então polinômio fica desse jeito aqui fica menos t aí como f com o igual o b eu vou ficado com t menos ao quadrado t menos m t mais até aqui eu tenho um autoespaço precificaram um para esse um para esse, mas para poder diagonalizar maximizar então assim para se diagonalizável eu tenho que tem que há a dimensão há a dimensão dividido O autoespaço relacionados autovalor tem que ser igual há a dois certo que e há a multiplicidade
algébrica só que eu não sei se essa dimensão igual dois porque ela só será igual do esse ou calcular se eu espaço dessa dois vetores ordem um que não tenha matriz para fazer isso, então a resposta é não sei, ela pode ser diagonalizável sobre c mais pode não ser também depende disso aqui.
Se é verdade ou não, eu não sei se é.
Então a resposta não é necessariamente verdade na alternativa ele diz que se zero há a e são dois há a dois distintos então há a diagonalizável sobre c, mas não diagonalizável sobre a ser verdadeira.
Agora eu vou mostrar porque que ela verdadeira repara que se eu pegar o polinômio esse polinômio T de t aqui eu vou escrever de novo não precisa alfa, mas eu vou pegar esse com o t com o t aqui ele está relacionado com o autovalor zero.
A gente sabe disso, então repara.
Eu tenho uma um autovalor aqui eu vou raiz diferente do zero como é diferente de zero, Então eu sei que esse tema separado desse então tenho outro autovalor aqui aí eu tenho esse cara que eu tenho é outro autovalor diferente do ar raio t menos m t mais eu tenho cinco autovalores distintos porque cinco autovalores distintos distintos.
Essa palavra é absolutamente essencial para você ter um operador diagonalizável gente não basta que você tem assim o quanto valores eles têm que ser cinco distintos ou ou pode acontecer de ter algum repetido, mas há a ia multiplicidade algébrica tem que ser igual geométrica e aí fica mais difícil porque depende de você tem matriz para calcular isso e para nos seguintes m de do que zero e difere de 0 diferente de aula, então há a não é zero.
Então aqui do repete m diz que é diferente B então aqui do repete e por tabela B diferente de 0 também.
Então tenho cinco autovalores distintos e isso implica que eu consigo cinco autovetores distintos, então e diagonalizável certamente certo, então isso possa ser verdadeira há a dele Disse que se a e b são igual a 0 operador T de matriz Ana base canônica tem núcleo de dimensão dois gente e a para esse há a y igual a 0 Se os dois em dois a zero o polinômio ficaria desse jeito aqui Então se há a e são igual a 0 Ker de T ficaria com essa cara ficaria menos t ao cubo t menos e t mais e aí eu sei que para esse cara se diagonalizável o b de zero.
Então assim para para diagonalizável eu vou abreviar por diagn tá bom.
Para ter diagonalizável eu teria que ter que o verde zero tem que ter a dimensão dele igual há a três Por que?
Porque apareceu três vezes o z aqui então para ele ser diagonalizável dimensão do B de 0 tem que ser três, só que a dimensão lembra que o verde zero é igual a núcleo da transformação Ele me disse o que que se eu tiver há a m igual a 0 há a matriz há a base canônica tem núcleo dimensão dois, então há a diagonalizável não para há a c diagonalizável a dimensão tem que ser três, então isso aqui errado porque tem aparece três vezes o zero no núcleo para isso c igual por quanto disse que se há a igual a 0 ibge vinte zero isso operador operador T de maximizar há a base canônica tem núcleo dimensão, então há a diagonalizável gente está errado de novo porque se há a for igual a zero IBC foi diferente zero o polinômio ele vai ficar com essa cara que ele vai ficar com a cara menos t dois t menos B certo t menos m e tem mais de novo para ele ser diagonalizável há a dimensão aqui dividido zero tem que ser igual há a dois que com exige com o a dimensão do núcleo da transformação.
Certo, porque eu vendo de zero é um núcleo da transformação, então ele me disse aqui há a dimensão do núcleo, sendo ele seria diagonalizável, tá errado?
Tem que ter dimensão dois porque para coincidir com polinômio com o, então a gente provoca tá tudo errado?
Só realmente alternativa c está corretíssima.
