Exercício Resolvido Sistemas de Equações Diferenciais
bom gente vão tratar de novo de equações diferenciais nesse exercícios aqui me dar para gente uma matriz aqui uma linha matriz e ele disse que tem um valor numérico igual aqui causa cinco Eu não sei qual é, mas ele é um valor tal que essa matriz há a diagonalizável ele pede para a gente tratado do sistema de equações diferenciais que tem essa matriz como monta dos coeficientes ele me deu uma solução particular bom primeira coisa vamos copiar que há a matriz dela igual há a é igual a um zero zero eu vou cópia aqui porque eu acho que pode ser muito do que zero do que zero três dois Então essa matriz que eu vou utilizar aqui ótimo primeira coisa acha o polinômio característico certo?
Ele vai ser o determinante dessa matriz depois que subtrai a variável theta diagonal principal então zero três do que zero linha angulozinho isso aqui J vamos errou determinante Não é difícil ver que eu vou multiplicar por Sarrus fazer essa sete milhões por Sarrus, mas dessa essa diagonal explicada e aqui vai da zero zero aqui vai da zero zero também zero também está requerendo a borboleta que o que usa para fazer sempre, mas dez fazem por sim Gauss pelo método que vocês bem quiserem, mas isso aqui vai dar menos t e dois menos ter ao quadrado bom de novo eu tenho dois autovalores distintos um rio dois e para isso operador c diagonalizável autoespaço respeito autovalor dois tem que ter dimensão dois porque há a multiplicidade algébrica tem que ser igual geométrica, passa diagonalizável, então isso aqui tem que valer.
Tenho que ter dois vetores lá dentro bom calcular então os autoespaço calcular os autoespaço bem legal se você quer em comum há a eu pego há a matriz ali tira uma vezes a identidade que aqui o a autovalor g(1) Então isso corresponde a resolver o seguinte sistema pega uma há a matricial sim, certeza que no lugar do t eu vou voltar então eu vou tira vai ficar zero zero zero aí dois menos um dão aqui três há a e dois menos um não de novo.
Isso aqui tem que explicar q(x,y,z) para conseguir o vetor zero zero zero.
Mas bom, eu não preciso nem estavam nessa matriz eu vou resolver direto à primeira linha uma linha de zeros, então
dane se uma linha de zero nesse agora tem essas duas pela segunda linha zero difícil mais y mais erro o z tem que ser igual a 0 e pela terceira linha três difícil, mas há a y, mas e tem que ser igual a 0 também até aqui, tudo bem, mas tem uma coisa sim y igual a 0 então aqui a zero então y igual a 0 m x i igual a menos dizer sobre três então até aqui o meu núcleo, meu ver de um ele era gerado por quinze pessoas esse de x y isso daqui.
Só que eu sei que o meu físico e são o z ele tem essa cara LI menos e sobre três zero de 0 botas evidência e eu vou explicar todo mundo por três para não ficar esse um terço, então ele é gerado por menos um zero e três todo mundo vê isso ok, temos um outro espaço temos calcular o outro agora outro autoespaço você pega essa matriz e tira dois, então o segundo espaço respectivo autovalor dois venceu núcleo de uma transa de uma transformação há a menos dois, então eu tenho que pegar minha matriz aqui tira dois dela toda, então aqui vai ficar menos um zero zero zero zero zero Tecchio ficar três a zero m isso aqui um explicado por difícil e pessoas o z tem que me dar zero zero zero esse e um núcleo que a gente vai ter que resolver agora para o seguinte Para esse operador civil c diagonalizável tem que ter dois dois dois autovetores dentro do autoespaço então tá dois autovetores estudou espaço significa que esse núcleo tem duas variáveis livres?
Eu já tenho uma aqui o único gente se eu t outra a variável livre esse há a for zero então eu vou somar eu vou tomar aqui somar asinha igual a 0 e aí isso vai me dar o seguinte ele me deu uma matriz assim menos um zero zero zero zero zero três zero zero vezes dê zero doze aqui isso tudo vai ser igual a zero zero zero e aí Olha que legal eu tenho um a variável livre duas variáveis livres e aí o x só os x ficassem no restrito eu vou multiplicado agora soma seis por essa vai dar menos igual a 0, mas e para que essas linhas são múltiplas?
Então dn dessa linha também da necessária também sobra só uma equação para gente quer x igual a 0 então meu ver de dois ele era gerado certo por difícil y o z Depois de resolver esse sistema, eu concluiu que a única restrição e que de x fosse zero eu cair isso aqui então.
Ora, mas isso aqui me dar dois vetores isso a votar em pessoas em evidência beta zero um zero e o outro zero x zero Olha só que legal, muita gente acha autovalores autovetores como o bem Valor de a gente fez muita coisa, mas até aqui nas equações diferenciais como que a gente faz então para as obras equações diferenciais há a gente tenha solução geral que é o que é um número vezes há a exponencial é levado ao primeiro autovalor vezes t vezes o primeiro autovetor eu não m, mas cabeça o quanto era menos o z matriz então menos um depois eu vou pegar uma explicar Segundo autovalor, certo se uma constante vezes vez exponencial é levada ao segundo autovalor do esse vezes o segundo autovetor zero zero.
Mas aí eu pego uma terceira Constantino explico pelo exponencial elevada ao terceiro.
Nesse caso tenha autovalores iguais dois e dois.
Então pega o terceiro autovalor aqui dois igual porque o repete duas vezes dois vezes o terceiro alto há a m disse Olha só que curioso ele me disse que no zero a minha solução vale zero, então é só eu ver quais são os valores das constantes agora vamos fazer x de zero Euler me dar o que como assim vai me dar se o botão zero aqui Número exponencial isso aqui grau um aí vai ficar menos na primeira casa linha menos causa aqui contribuiu com zero com zero fórmula agora aqui contribuiu com zero, então interessa aqui se eu bom beta zero no lugar do t ficam há a dois vezes o b na can dois e por último aqui isso e beta zero um lugar aqui, certo da exatamente exatamente um há a e fica três, Só que ela não é só esse vetor que contribuiu com a última casinha esse aqui também c bom beta zero aqui ficar um há a igual fica três vezes, então mais três vezes causa o que eu fiz foi substitui zero no lugar do t ia, eu sou expliquei os causa para os vetores e são método Mundo vai me dar esse cair aqui.
Só que isso tem que ser igual a 0 isso emprego que então que o meu carro zero certo.
Isso implica que o cara dois d1 e que o caso três também é um.
Então a gente já descobriu que a solução geral do meio sistema na verdade é o que garante que a dois eu vou do que zero do que zero, Mas aí eu boto ia dois T de novo de zero serão então gente, O que ele deu para a gente que ele pediu para a gente é a solução do sistema de x de t mais hiperboloide t mais e de t mais ou não precisa sistema eu vou continuar depois que veja assim mais beta zero e há a dois t há a dois t esse cara e o x de t esse aqui esse aqui os x de t esse aqui e o y de t isso aqui, gente e o z gente Então eu tenho que x gente, mas o meu y do t mais o meu o z de t vai ser zero mais e dois t mas e dois t da duas vezes e dois calhorda função difícil nula nesse se eu polinômio constante igual a 0 então no final a minha resposta dois alternativa e de equações diferenciais de novo.
