Exercício Resolvido Sistemas de Equações Diferenciais sobre C
bom gente temos aqui mais uma equação diferencial para a gente resolver.
Ele deu para a gente que o ao que o vetor um e menos um reduzir e autovetor dessa matriz então autovetor complexo associada autovalor três mais ele pede para a gente afirmar que as soluções do sistema de equação diferencial tem a forma geral certo sistema equação diferencial que tenha matriz coeficiente i igual a matriz há a bom, primeiro de tudo a gente tem que lembrar que há a matriz há a ela pertence ao espaço das matrizes dois por dois coeficiente sociais ela tem aqui dentro delas só números reais.
Isso significa então que esse três mais e autovalor autovalor repara se três mais e autovalor.
Isso implica então que três menos e também é, mas isso acontece porque porque há a matriz tem só números faz dentro dela, então a soluções do polinômio característico como são essenciais não polinômio característico há a soluções complexas vem aos pares, então necessariamente se três mais e autovalor dez menos e também e mas há a matriz há a dois por dois.
Quer de isso há a, posso ter no máximo dois autovalores se um e esse houve também e esse então eu tenho necessariamente dois autoespaço fi um desse cara é outro desse cara como eu tenho dois autovetores distintos um e de escalar J desse cara essa matriz e diagonalizável sobre seu consigo resolver ótimo Qual e o a autoespaço eu sei que vê de três mais e esse injetor aqui porque ele deu para gente autovetor então é um menos um menos m por tabela.
Então eu sei que o verde três menos ia se eu fazer o que só conjugar esse meu vetor aqui há a com o conjugado de um é o mesmo e o conjugado de menos uma dúzia menos mais pronto.
Temos aqui os autoespaço Sarrus autovetores temos tudo e a gente sabe que a solução geral de um sistema de equações diferenciais que tem uma matriz com mais dos coeficientes é o que há a solução geral fiz eu deixei bem grande que é para ser grande, tem que ser grandes negócios há a solução geral e o que era um número vezes uma exponencial elevado ao primeiro autovalor vão escolher o primeiro autovetor como três mais m vezes t vezes o primeiro autovetor escalar menos um reduzir, mas há a dois elevado ao segundo outro valor três minutos e vezes o segundo autovetor que esse cair aqui, mas repara que essa solução e conjugado há a dessa então eu vou há a t conta que essas soluções são conjugadas, então eu posso me livrar delas certo do me livrar dos números complexos para conseguir só coisas reais expandindo exponencial complexo Então que eu vou fazer eu vou pegar essa solução aqui certo?
Eu vou Tentar melhorar ela há a três mais t vezes esse autovetor aqui eu vou escrever isso como seno quer e há a três t, mas t pesos!
Esse injetor aqui dá para melhorar ainda mais como supor de isso aqui não exponencial complexa essa parte ao essa parte imaginária, então acho que vai ficar ia três ter vezes cosseno de t mais m pra ver se seno de t vezes esse injetor novamente menos um B vão melhorar eu vou deixar o e a matriz t aqui fora eu vou fazer distributiva do Cn do cosseno aqui dentro cosseno vezes um do há a cosseno cosseno vezes cara e o seno isso seno vezes um da esse próprio carro ótimo agora para segunda casa em aqui cosseno, cosseno de t mais e seno de t vez menos uma só votam menos então menos cosseno de ter menos aí você não explica por menos e vai do menos m cosseno de t menos ao quadrado do seno tipo porque tenho meu ia aqui e vezes me dar ao quadrado isso aqui dá para melhorar ainda Agora vou escrever esse vetores assim deixando a parcial de um lado a parte complexa imaginária do nesse primeiro nessa primeira casinha do vetor a única coisa real que eu tenho cosseno de t nessa segunda causa autovetor eu tenho menos cosseno de t real esse cara tem esse carro t complexo esse cateto ao quadrado ao quadrado menos um menos com menos a mais então aqui meio mais seno certo de t ótimo, mas e vezes aí vem o segundo cara o que é seno de t ia que nem há a se eu Trocar aqui B seno de t B cosseno todo mundo entendeu, Espero que eu fiz aqui eu peguei esse injetor se você pegasse injetor esse aqui muito explica.
Por isso somos dois altíssima e isso eu fiz tá bom agora repara precisa achar funções que seguissem aquela estrutura de função complexa lembra uma função complexa f igual e fi um mais e vezes f dois Eu precisava descobrir fi um certo e f dois aqui eu descobri, Eu vou dizer que esse meu fi um certo e esse del f dois e eles vão gerar a minha resposta, então em vez de escrever as duas soluções conjugadas aqui em cima, do jeito que eu deixei eu posso matar elas simplesmente escrever soluções reais do seguinte modo então a solução real vai ser como se vai ser, assim vai ser um número arbitrário há a vezes é elevado a triste vezes porque repara esse elevador lista evitamos explicando as duas, então eu deveria fazer distributiva dn aqui dentro.
Mas não precisa vai ser levado a três vezes o vetor há a fi um se vai ser curso serão de t menos cosseno de ter mais sendo de t, mas B vezes elevado há a três T de novo porque ele está distribuindo nesse carinha também então elevador triste também e aí aqui eu boto seno de t ia aqui venham menos serão de t B cosseno exatamente isso.
Eu queria com a e b números reais porque aí a minha solução garante que fica real.
Se eu quisesse que ela gerador.
Esse todas as respostas complexas também eram só denotar B pertencente aos complexos, mas eu quero são soluções reais, então isso me dar exatamente a alternativa de escola e de empatia e de equação diferencial Olha que maravilha, então essa resposta que a gente procurava
