Operadores Normais, Autoadjuntos e Isometrias
os conceitos que eu falar Nessa aula são muito importantes para quando a gente conversar sobre operadores especiais.
Esses conceitos são e isso, só que isso daqui que vou falar vai te ajudar a entender tudo o que vai acontecer depois.
Fórmula vamos falar sobre adjunta de uma transformação linear é uma definição nova, está entre uma peça bastante atenção para você não perder nenhum detalhe do que vai ser falado aqui.
Norma considera os espaços vetoriais e são dois espaço materiais diferentes com produtos internos definidos para ver e para dar pi e aí considera também uma transformação linear Não precisa ser um operador linear adjunta.
Vale para qualquer transformação, uma transformação que vai viver se dá via, ou seja, ela pertence ao espaço materiais das transformações com o veículo, espaço saída e dada como espaço chegado.
Bom, acabou definir eu vou definir há a adjunta da transformação, ter como sendo terça-, vetores, com o?
E isso que é uma transformação adjunta Tem que saber calcular adjunta de uma matriz e isso não causa.
Por mais simples que isso é só uma definição nova adjunta de uma transformação Tenha c, risco e testa risco Vai de dar erro TV, lembra que a ter?
E adverte Então até esta risco pega o seu vetor que chegou em Davis e leva de volta para ver, ou seja, testa isso que pertencia.
Espaço material das transformações lineares em que espaço, saída da espaço chegada ver e vários seguintes Olha só essa equação que define a transformação o produto interno de ter de ver com dados é igual a para trinta anos viver contestem isso parece muita informação.
Então calma lá pega dois vetores Bota elipse norma ordem um inversa Davi aqui c calcular transformação no primeiro e aqui isso calcular consolação Segundo, só que esta informação se vale da igualdade.
Essa informação aqui adjunta, então país comigo tem de ver leva o vetor de visão para dar me dar B autovetor de dado.
Então aqui se vamos ao produto interno se dá via Enquanto houver um vetor de visão e a transformação adjunta calculada de um vetor davi leva para e são então aqui há a produto interno de ver se essa igualdade vale essa transformação aqui e da minha adjunta tá legal para qualquer injetor vizinho Divisão qualquer vetor da vizinhos da visão.
Então eu sei que pode parecer muito estranho de fato é estranho porque é novo.
É uma coisa completamente nova que surge do nada.
Dois Sarrus internos iguais, divido, veio regida esse tem aqui e adjunta conta bom e aí eu vou trabalhar um pouco em cima dessa definição Se eu tenho uma operador linear agora assim LI e uma transformação que vai viver para ver então não volta que definir dois produto interno diferentes porque vê me dar TV e a tudo pertence a ver o que vai acontecer aqui Estado que essa igualdade aqui é válida Tem de ver interno igual produto interno de como o bem Asterisco de ver esse texto ilícito da minha matriz adjunta, mas matriz não perdoam minha transformação adjunta, nesse caso operador adjunta ou adjunto de operador, agora vamos trabalhar mais ainda em cima disso.
Turma esse há a e há a matriz, a transformação
linear eu te digo qual é uma atriz da transformação adjunta é uma atriz transposta de ia, Então isso aqui pode parecer uma loucura, mas por incrível que pareça há a matriz transposta de ali e há a matriz adjunta da sua transformação.
Então esse h matriz de T há a transposta e há a matriz lista só adjunta ia em cima disso eu vou definir três tipos de operadores que na verdade são três, mas podem ser mais Vamos falar sobre isso eu vou definir operador normal eu vou definir operador autoadjunto eu vou Definir isometria, tudo isso vai usar definição de adjunta do relembrando transformação de ver interno vem integrar transformação de Davi, essa transformação e adjunta, se essa igualdade vale, o que que é um operador normal, pessoal, operador normal, da forma de operadores?
Não estas relações quer e são transformações, mas não quaisquer outras formações.
Transformações que saem de ver e chega em ver esse operador.
Ele é normal, se ele com multa com o seu adjunto aqui significa que a minha transformação calculado em cima da adjunta é igual a adjunta, calculada em cima da transformação.
Esta ideia e aí que vale isso ia além de tanto faz a ordem se eu calcular a primeira transformação e depois adjunta ao primeiro adjunta, depois transformação dá na mesma e mais ainda tenha normal se há a matriz de T há a matriz há a com multa com há a matriz há a só adjunta e há a transposta, ou seja, olha que lindeza há a matriz da transformação do operador vezes há a transposta dela, que é uma vez adjunta tem que ser igual há a matriz transposta vezes há a matricial operador Se isso equivale, ia matriz uma transformação linear, então essa transformação é chamada de normal operador operador norma que foi operador, autoadjunto aqui um pouco mais preciso, não só vai como voltar, Como vai valer que a minha transformação é exatamente i igual a adjunta, Então se vale que a minha transformação é igual a sua adjunta por isso que alfa adjunta, então o seu operador ter e autoadjunto?
E se isso acontece, vamos lembrada equação do adjunta divido óbvio inverter de dado até c risco se chegou até a ser risco f com o conter divido igual, inverter de então se seu operador e autoadjunto pessoal isso daqui é muito importante, vale está e a equação Avalie que dados dois vetores quaisquer idade no meu espaço vetorial pedi o a produto interno fundado é igual a produto interno de idade, como pediu quais querem se quaisquer que sejam.
Aliás, perdão aqui tá ao cubo errado aqui e o b regida interno é igual a interno regida, só deixar que um pouquinho mais bonito aqui.
Isso tinha colocado ao contrário, então turma vai valer isso produto interno de ter de ou condado é igual a produto interno de o quanto Mantenha ordem um troca a transformação de posição e os produtos internos vão ser exatamente iguais que mais que eu posso falar posso falar sobre há a matriz norma se ter e autoadjunto ia sua matriz vale que a sua matriz e Gauss há a transposta porque esse a transformação ter operador linear é igual a seu adjunto terça- risco então há a matriz do ter é igual a matriz adjunta que e há a matriz resposta então há a é igual a sua transposta, ou seja há a e uma matriz simétrica, mas aqui eu boto um parênteses está porque nos reais há a transposta simples nos complexos de falar de uma transposta permite ano aqui mais complicado, mas vale isso.
Por fim vou falar sobre isometria o que é uma isometria quando a sua transformação.
Alceu operador inverso é igual a adjunta então no autoadjunto operador há a Gregório junto do operador isometria há a inversa é igual a autoadjunto então se isso vale o seu operador ter chamado de isometria nesse caso vale o que teoricamente pegando equação da adjunta Histeria de um conversa é igual a phi um tem adjunta de ver Ker de T adjunta de ver e tem menos um tem menos um de inversa beleza O que acontece se isso equivale a possa?
Se ter aqui tem o tema nos une aqui eu tenho ver vale trocar a ver por ter de viver e tem menos um de ver por ver e eu fico com exatamente com a equação da ex- geométrica isometria Pn Se o seu operador até uma isometria vale que o produto interno de ter de um conta regida e bom produto interno de ou condado fazendo assim evito usar inversa.
Eu evito os atrasos e operador inversa o a matriz inversa gente vai ser mais rápido aqui então vale que o produto interno inverter de o b regida é igual a há a um loucura né isso então?
Mas isometria e vale mais coisa ainda que isso se ter uma e a isometria quer dizer que a inversa de ter é igual a adjunta, então quer dizer que é uma atriz inversa de ter que é a menos um é igual a matriz adjunta que é transposta há a de ter, ou seja, há a inversa é igual a transposta.
Então turma vamos juntar essas coisas todas.
Operador normal Vale que primeiro adjunta começar do começo para uma operador linear ou dizer sobre o adjunto, Aliás, aqui também é outro que aqui haver aqui.
Eu falar sobre adjunto e o a falar sobre tem de ver interno é igual a Ver interno testa isso se dá via esse ter asterisco é o que eu chamo de adjunto beleza operador normal Eu falar que é composta com Sol adjunta é igual a há a composta tem adjunta por ter falando de matriz falar que há a vez há a transposta é igual a transposta analisa onde há a e há a matriz da transformação autoadjunto ter igual ações.
Negócio adjunta isometria inversa de ter negócio adjunta para matrizes autoadjunto matriz a transformação há a é igual a Transposta dela para isometria há a matriz da inversa aula matriz inversa dela informação é igual a Transposta falando de ia ponto O quinta- Se é uma autoadjunto ter de um dáblio regra uma luta de Davi se for isometria sediou conta de Davi chegou CNH AB beleza duas conta os nacionais uma Os operadores autoadjunto m isometria são os chamados os dois operadores normais, porque eles como o bem com as adjunta porque o autoadjunto tem a sua matriz i igual a matriz adjunta que é transposta então há a transposta igual para então a vez há a transposta é igual a transposta analisa porque tudo i igual a vez e são e no caso da isometria da minha transposta é igual a inversa, então a vez há a transposta é igual a vez há a inversa isso igual identidade que é igual a inversa analisa se vai ser igual há a Transporte analisa então tanto os autores juntos quando há a isometria são normais e por fim eu vou dar um norte para a gente está ainda pessoal, eu tenho operadores especiais.
Isso gente chama de operador especiais, tem outros tipos, ainda que são consequência das definições.
A gente está falando sobre as operadoras.
Dois mais os operadores autoadjunto ia isometria!
Acontece que elas têm particularidades nos reais e os complexos os autoadjunto esse valem para espaços vetoriais com constantes reais.
A gente chama de operadores simétricos e os autoadjunto para quando se tem espaço três complexos a gente chama de permite anos cada um com suas propriedades ia raiz isometria porque a gente está falando de espaço, três reais viram operadores ortogonais.
Enquanto quando a gente vai para o espaço dos complexos, viram trans operações, operadores unitários, beleza pessoal, então isso que nos dá um norte grande de alguns tipos bem especiais que valem apenas serviços de operadores lineares.
