Autovalores em Matriz Ortogonal e Unitária
e hora do episódio de autovalores de autovetores em matriz ortogonais Comunitárias estão nesse vídeo gente vai discutir como que se comportam autovalores autovalor vetores de matriz e ortogonal, unitária e claro, eu vou junto com você definir o que são essas matriz pessoal.
Vamos que vamos sempre dá tempo matriz ortogonais matriz ortogonais são atrizes que fazem a seguinte só deixar a estradinha aqui para gente matriz há a pertencente às matriz de linha Cn Colunas com entradas reais Se forem entradas complexo gente não estão h ortogonal tem outro nome dela e ortogonal se vale o seguinte se vale que há a inversa dela e é igual a transposta dela e como a gente sabe que uma matriz vezes há a inversa dela igual identidade há a matriz vezes há a transposta dela nesse caso é a identidade isso daqui É uma forma de identificar uma de 0 tribunal, mas dá muito trabalho a fazer toda hora produto entre matriz O jeito mais fácil seguinte As colunas da sua matriz formam uma base ortonormal e aí lembra sempre isso há a matriz definida com linhas e colunas nos reais, então as colunas fórmula base ortonormal de m então se olhar para as colunas da sua matriz d1 c dois dn vão ser os vetores que se tira um de cada coluna, isso e formar um conjunto com cada um dos seus vetores que cada um equivale a uma coluna da matriz.
Vai ter uma base ortonormal de erro muito louco.
Isso tem um terceiro amadurecer da forma de percepção.
Não só matriz ortogonal vai valer para qualquer q(x,y) pertencentes ao Rn, o produto interno entre físicos Euler c igual produto interno entre há a x isso e aí pessoal.
Isso é uma consequência da ideia dessa propriedade aqui há a que sempre, independente de qual seja só matriz e para que seja real para vetores reais ou complexo para vetores complexos, o produto interno entre há a x e são é igual a produto interno entre de x ia transposta base pi se esforçar matriz complexa que seria transposta limite Ana acontece isso há a matriz transposta igual há a inversa você consegue chegar nessa relação aqui mais legal?
Então isso daqui é muito importante aqui a gente verifica que matriz e ortogonal, mas aqui a gente vai leva direto para matriz sentem que fazer conta de produto interno.
Verifica isso calcular do produto duas matriz ou percebendo que as colunas da matriz formam uma base ortonormal há a matriz ortogonal e há a matriz de transformação linear do operador ortogonal então tudo que está falando aqui para matriz pessoal vale para operadores também, inclusive as consequências que vão falar agora.
Falar sobre autovalor vetores de autovalores Tudo que eu falo agora que vale para um matriz ortogonal também vale para um operador ortogonal.
Se a sua matriz ortogonal todos os autovalores dela tem módulo um, ou seja dois autovalores ou vão ser equação ou vão ser iguais ao menos um eu posso ter autovalor tanto menos um o quanto beleza ia Segunda consequência é a mesma consequência que a gente verifica para operadores simétricos autovetores associados há a autovalores distintos e são ortogonais entre si.
Ou seja, se tiver um autovalor lambda phi um autovalor lambda dois eles forem diferentes, que é o caso de eu ter um autovalor menos um outro autovalor um.
Os autovetores referentes à lama dão e lambda dois d1 eu vou dois e são ortogonais entre si Se tiver mais de um autovetor sobre o mesmo
lambda não tira a conclusão nenhuma.
Agora se eles vêm de lambda diferentes e eles são ortogonais tá legal só para comentar essa relação vem exatamente nessa relação aqui que você ver, vocês vêm dessa relação aqui de cima?
Está legal porque aí isso daqui acaba virando lambda x lambda expressão vir há a lambda ao quadrado vezes dê zero ia isso encontra aqui lambda ao quadrado tem que ser igual há a lambda meio ao quadrado menos um tem que ser igual a 0 então vamos pegar mais ou menos aqui soja lembrete Eu falo que dois vetores reais se ele e são ortogonais que zero produto interno igual entre eles igual a 0.
Isso aparente lembrar que se eu tiver os vetores como matriz coluna produto interno entre os setores que é o somatório das coordenadas de um vezes coordenadas de outro equivale a pegar um dos vetores transposto de preferencial.
Segundo Vitor transposto vez o primeiro vetor aqui deriva de preferência, porque o produto interno assimétrico então tanto faz, mas um caso complexo tem que seguir a ordem.
Segundo vetor transposto vez o primeiro vetor, isso aqui e produto interno entre os físicos produto interno tá legal, então essas são as consequências da matriz ortogonal.
Agora vão mostrar um exemplo bem tranquilinho para a gente seja essa matriz aqui ele tá esposa do que vai acontecer matriz um zero zero azul Primeiro eu sei que ela é uma atriz ortogonal, porque as colunas dela formato vetores um zero zero menos um, que são vetores ortogonais produto interno em três a zero para verificar e eles são vetores ali e que eles têm norma um há a norma de um zero um há a norma de 0 menos não, Então eles foram uma base ortonormal del f dois porque há a matriz dois produz com entradas reais esse eu vou achar os autovalores fazendo determinante de isso menos lambda igual a 0 eu vou acha menos um phi um exatamente que já sabia que acontecer ou vai ser só menos uma nova sessão.
Vai ser um B ia isso vai investigar os autovetores eu vou descobrir que o autovetores associado a menos um zero um ou autovetor alfa autovetor associado à lambda um igual a 0 e aí que a gente verifica onde vai pegar o produto interno e fazer produto interno entre esses vetores B dois transposto vezes d1 gente encontrar esse igual a 0, ou seja, esse vetores são ortogonais entre si e além disso, esse vetores aqui como e são ortogonais entre si porque eles vêm de lambda diferentes acabam formando uma base ortogonal de autovetores.
Nesse caso especificamente uma base ortonormal de autovetores tá legal Isso tudo foi sobre operadores ortogonais.
Também posso falar sobre operadores unitários, ou seja, verdade matriz unitária Só falei só mensura matriz autovetor ortogonais há a matriz unitária d1 matriz ortogonal só que nos complexos então há a matriz o quanto linha se ele coluna as entradas complexas e ela é unitária.
Esse há a inversa dela é igual a transposta só que transporta essa transposta permite Ana beleza, lembrando que é transposta limite Ana há a transposta conjugadas, lembrando que conjugado de número complexo a mais B e aí é igual a menos meio certo modelo sinal só do termo imaginário que tem e não a gente tem g(1) e aí claro se há a inversa é igual a transport hermitiana há a matriz vezes há a inversa igual identidade então matriz bases há a transport hermitiana dela e a identidade e exatamente que nem No caso ortogonal uma outra forma de adotar uma matriz ia unitária Eu perceber que as colunas da matriz formam uma base ortonormal do CNJ porque Cn, porque entradas complexas em linhas e colunas formato vetores assim então vamos pegar e matriz cada coluna vai ser um vetor.
Isso formar um conjunto com cada vetor foi uma base ortonormal de Cn tenham a terceira forma de perceber que uma atriz humanitária que é o seguinte sela unitária O produto interno entre os físicos é igual a produto interno entre há a x raio exatamente que nem No caso da matriz ortogonal, isso vem dar essa relação aqui para qualquer vetores complexos.
Por tentar entre há a x se ele isso é igual a produto interno difícil ia transporte hermitiana de há a pra ver se pessoal, então se eu produto interno esse jeito é fácil de perceber você não tiver de boa também.
O melhor jeito, em vez de calcular inversa ou faz esse produto é perceber que as colunas formam há a base ortonormal ali grau.
É sempre bom lembrar que nas matriz unitárias há a ortogonalidade está pessoal, significa que apartir real do produto interno igual a 0 e não que o produto interno como um todo igual a 0 tanto aqui essa ideia.
Se essa é a ideia, quais são as consequências?
As consequências são essas aqui esse há a e matriz unitária, exatamente que nem no caso da ortogonal os autovalores não tem módulo, eles vão ser um.
Eles vão ser menos um.
Eles vão ser dois autovalores diferentes B um e os autovetor autovetores associados há a autovalores distintos e são ortogonais, ou seja, aquilo que falei para manter para há a matriz ortogonais vale se eu lambda são diferentes e eu tenho autovalor autovetores associada nós vamos as diferentes então os autovetores ortogonais entre si e como eu comentei há a ortogonalidade nos complexos quer dizer que a parte real do produto interno entre os vetores igual a 0 galera isso para falar Essa parte de autovalores tem erro módulo um Veja também disse que eu tinha falado para vocês aqui em cima que aqui também de novo vou passar aqui vai ficar para tentar de lambda fiz com lambda isso.
Esse dê zero não forem autovetores, Só que aí eu esse lambda, faço multiplicado esse lambda pela propriedade da simetria hermitiana limite linearidade hermitiana como um todo, esse lambda passa conjugado para forma produto interno Fica assim isso é igual a isso então um é igual a lambda vez lambda conjugado que agora módulo de lambda ao quadrado, mas duas lambda ao quadrado igual então modelo de lambda igual tá legal igual mais ou menos um modo índice.
Aqui só lembrando produto interno para os complexos seria perguntar entre decisivos somatório de x base pelo conjugado de flui é igual a se eu escrever físicos em comum matriz coluna ao cubo ao conjugado perdão transposta limite ana de y pra ver se está legal e isso pessoal esse e o Makro é isso que se precisa realmente saber se eu matriz ortogonal, como se descobre, principalmente porque as colunas dela formato base ortogonal de Rn e aí e aí que os autovalores vão ser ou um ou menos um ou um e menos um e os autovetores associados autovalores diferentes e são ortogonais Entre efeito, isso é uma atriz há a unitária causa descobre sela é complexa.
As colunas foram há a base ortonormal significa mesma coisa que ortogonais autovalores vão ser um ou menos um ou menos um phi um.
Os autovetores social dos autovalores distintos são ortogonais entre cinto e isso pessoal, porque isso acabou ainda o vídeo.
Não quero falar uma coisinha o que é, esse trata legal menos importante, mas eu acho que vale a pena falar o seguinte se a minha matriz e ortogonal ou o vitória determinante dela é igual a mais ou menos um ponto O isso quiser saber porque isso eu te explico Vou pegar o caso da limite ano para ortogonal vale a mesma coisa se haveis há a pi transposta no caso dez permite Ana é igual a identidade então determinante de isso determinante de isso determinante identidade bom sobre determinante de o a matriz dez a outra é o produto dos determinantes só aqui determinante da matriz transposta seja transposta na maior hermitiana é igual a determinante da matriz normal, então falho, determinante de ao quadrado igual a 1 determinante de há a igual a mais ou mesmo do aqui e são está para terminar o vídeo pessoal matriz ortogonal unitária determinante vai ser mais ou menos um, agora se determinante igual mais menos um eram prova que e matriz ortogonal unitária ali Gauss é isso aí pessoal
