Matriz Positiva Definida e Operador Positivo
um tipo muito especial de matriz que a gente vai abordar novidade aqui pessoal e há a matriz positiva definida ou um outro tipo relacionados a gente também vai haver e há a matriz positiva se m definida vamos elaborar um pouco em cima dessa ideia considera.
Como costuma falar como operador linear g(1) espaço vetorial veio até o espaço vetorial ver onde veio espaço vetorial sobre um corpo real o complexo e aqui da forma quer e são matriz tem linha Cn coluna as entradas do tipo reais ou completas ia sua matriz e uma matriz, uma transformação linear em relação a uma base berta que e base de FM até aqui eu só estou contextualizando você.
Beleza agora, a gente elabora um pouco mais há a para essa matriz para esse espaço vetorial eu vou definir um produto interno e aí definida esse produto interno seguinte há a matriz há a e positiva definida.
Se acontecerem duas coisas uma delas a sua matriz tem as duas coisas têm que acontecer em ao mesmo tempo tá então aqui d1 mais umas outras coisas acontecer não é suficiente, então a sua motorista em que c simétrica ou o equivalente complexo hermitiana então c Observação matriz assimétrica causa não sejam matriz com o entradas reais hermitiana caso ela seja matriz com entradas complexas e ao mesmo tempo tem que valer para qualquer vetor de x do se eu FM reais, dimensões ou complexos e aí dimensões de x diferente de zero tem que valer que o produto interno da sua matriz vezes injetor pelo vetor e por positivo, por isso que é positiva definida está legal, então aqui é muito importante que é maior quiserem não maior ou igual a 0 nesse vídeo mesmo explica pública autovetor da separação, então é essencial à sua matriz tem que ser geométrica se for real ou de vinte anos foi complexa e para qualquer injetor x diferente de zero produto interno de x com o o x tem que ser positivo.
Aí que acontece se você está falando do produto interno usual o eixo aqui um pouquinho maior.
Se você está falando produto interno turma produto interno da matriz há a x isso pelo vetor x dela matriz há a vez de x vetor de x vai ser nos reais de x transposto vezes del x e nos complexos de x Transporte permite ano vezes del x, mas aqui uma forma causa que se pode fazer um dado que os del x seja dado com uma matriz coluna é o jeito para podemos explicar pela matriz há a ele tem que ser dado como matriz coluna, então onde a atividade com matriz coluna esse seus produtos internos usuais até aqui estou relembrando como que eu escrevo produto interno com vetores assim formato de matriz coluna e aí isso daqui aqui ali esse e são
tem um porque é complexo aqui, inclusive acontecendo, eu posso escrever isso como somatórios, isso daqui o somatório de todos os termos da sua matriz.
Ali J vezes J vezes quinze reais ou todos os temas são matriz vezes de J vezes o conjugado dê zero eu pessoalmente estou passando essa matéria, mas essa fórmula mais eu prefiro não usar essa forma.
Eu acho mais sempre ser realmente pegar, pegar seu vetor x.
Isso deixar de transposto ou transporte permite ano e fazer m explicando há a x legal isso resolve o seu produto interno acho mais tranquilo o primeiro você faz o produto ja conta me dar esse calcular até o vetor com resultado produto interno autovetor conta porque fica mais simples tá legal pessoal, É isso que a gente tem que saber sobre matriz positiva definida em relação a essa primeira definição.
Resumindo isso então uma matriz se eu quiser provar que há a matriz positiva definida eu tenho que verificar que ela e simétrica reais ou m tiana os complexos e para qualquer vetor x aqui há a qualquer vetor de x pertencente ao espaço dimensões ou complexos e dimensões.
Tirando o vetor núcleo produto interno de acho isso com x, tem que ser positivo.
Poderia?
Acabou gente agora, mas não antes disso eu vou te contar uma outra definição que a gente faz.
Existe uma outra forma que eu acho pessoalmente mais simples para você verificar se as suas matrizes são positivas.
Definidas seguinte uma matriz positiva definida se duas coisas acontecerem se ele somente se que nem no primeiro caso que mostra essa matriz tem que ser simétrica, reais ou limite ana para os complexos Agora, além disso tem mais um fator em vez de f calcular esse produto interno que pode ser bem complicado linha Eu posso simplesmente achar os alto valores da minha matriz e ela vai ser positiva definida, dada que ela simétrica ou em vinte anos esse somente se todos os autovalores dela forem por motivos.
Então escrevi isso aqui há a esse há a matriz raiz simétrica nos reais ou em vinte anos os complexos e todos os autovalores são positivos, então a sua matriz há a matriz positiva definida beleza turma, então apresentar duas formas para você entender se eu matriz positiva definida eu vou retomar a elas contando um pouco sobre operador positiva definida, assim como posso falar de matriz simétrica e operador simétrico matriz ortogonal operador ponto O ortogonal matriz de importante operador idempotente e aí vai Eu também posso falar de matriz positiva definida de operador positivo definido, então operador linear ter que leva o vetor de ver para ver ele.
Se ele tem uma representação matricial que é positiva definida, ele é considerado um operador positivo definido simples assim, ou seja, se eu nem quiser linha matriz quiser analisa ação operador As definições são as mesmas para matriz eu vou falar que Uma operadora positivo definido se somente se ele foram operador simétrico permite ano, dependendo espaço vetorial real complexo isso produto interno A transformação de um vetor com esse setor é positivo após falar que o a operador e positivo definido Se isso índice ia c operador também tem que ser simétrico permite ano m todos os autovalores tem que ser positivos.
Tudo o que está falando aqui para operador vale para matriz exatamente a mesma coisa.
Então se o exercícios pede para você provar aqui o a matriz ou um operador positiva definido se vai levar essas definições exercícios você vai para dar observasse operador ou há a matriz dele assimétrica hermitiano ia isso escolhe se.
Prefere aprovar esse produto interno positivo para provar que os autovalores são positivos.
Em geral vai valer a pena.
Provavelmente valores são positivos, mas não é uma regra que eles têm que levar para a vida, inclusive isso daqui, o que eles chamam de definição principal definição inicial de um positivo de uma operador possível definida e essa consequências autovalores.
E realmente, como disse uma consequência m rapidamente saber isso que é verdade, porque se vamos considerar matriz se eu tiver uma matriz ia c há a vez de x e de x é positiva e para qualquer esse diferente zero se eu pegar autovetores aqui no lugar.
Isso também tem que valer porque autovetores são diferentes de 0 e aí eu sei que há a matriz vez autovetor e lambda vez autovetor onde lambda e autovalor eu fico com um lambda vez o produto interno do autovetor por ele mesmo maior quiseram como autovetor é diferente de zero, diferente do vetor d1 esse produto interno e necessariamente positiva porque há a norma ao quadrado de ver fica lambda norma ao quadrado de ver mais do que zero.
Isso é positivo, então necessariamente isso é positivo.
Está legal só mostrando de onde vem essa relação a Z autovalores serem todos positivos E para terminar, o que era definir mais uma coisinha eu quero definir há a matriz positiva sempre definida e consequentemente o operador positivo sempre definido a única diferença da matriz positiva há a sempre definida para matriz positiva definida e que definida apenas eu considero que esse produto interno tem que ser positivo, mas autovalores tem que ser positivos aqui na semi definida.
Eu considero que isso produto interno pode também ser igual a 0 e os autovalores podem também ser igual a 0.
Então olha quando a gente faz isso, está falando que uma dessas definições serve para falar que uma matriz e positiva sempre definida se a sua matriz assimétrica reais ou permite anos complexos e o produto interno de axis com x e maior ou igual a zero ou se a sua matriz assimétrica e a limite ana e os autovalores todos eles são maiores ou iguais a zero.
Em ambos os casos eu estou falando de uma matriz positiva semi definida, tá legal e aí você vê que sempre definida dela e um caso um pouco maior que é definida a definida.
Um caso particular da sempre definida em que eu não posso ser essas coisas iguais a zero tá legal aprendizado da aula principal e esse então pessoal a definição de uma matriz positiva sempre definida.
A definição de uma matriz e operador positivas definida está legal.
