Autoespaços Generalizados
o foco desse vídeo é apresentar o conceito de autoespaço generalizado para você ia também vão comentar sobre autovetores generalizados, mas há a já deixou claro que aqui nesse vídeo você não vai encontrar a melhor forma de encontrar um autovetor generalizado, mas eu vou definir ali para você então vem comigo porque é importante conhecer os autoespaços generalizados.
Por que isso possa cobrar?
Isso aqui é essencial para nos conhecer o que vem vai para frente, então suponha vamos falar de autoespaço primeiro o autoespaço ver lambda e autoespaço associada autovalor lambda de uma certa matriz há a ia autoespaço e a lambda nada mais é do que o núcleo de há a menos lambda e aí que significa isso significa que um vetor vê que pertença há a meio autoespaço e a lambda No final das contas não suba espaço vetorial autoespaço então ele é do núcleo jamais vamos aí que vetor pertencia esse meus do espaço são os vetores vê faz que acontece o seguinte dez pessoal norma reduzir linha aqui para a gente poder mexer são os atores que fazem o seguinte do núcleo dessa matriz e são é igual a Na verdade, os vetores que pertence à educação matriz são tais que essa matriz vezes o vetor zero, porque o núcleo quer de 0 e são vetores tal que a transformação deles beta zero.
Então os vetores vê que pertencem ao autoespaço e são vetores vegetais que há menos vamos aí, veja autovetor vê igual a 0, ou seja, a turma.
Isso é exatamente o autovetor, então os vetores que pertencem ao autoespaço são os autovetores associados há a lambda aqui quando digo isso de Gauss autovetores mais simples que a gente pode achar os linearmente independentes desde todas as combinações lineares entre esses autovetores também vão ser autovetores beleza.
Só relembrar autoespaço Agora vamos entrar um pouco num caso específico, mas porque é um caso específico para depois explicar o caso geral, então considera uma matriz que tem apenas um autovalor lambda e aí para esse autovalor eu tenho multiplicidade algébrica raiz, ou seja, esse meu lambda ln vezes raiz da minha matriz ok multiplicidade geométrica igual a 1, ou seja, tem apenas um autovetor para esse lambda, então nota que a diferença entre muito precisas algébrica geométrica igual B um diferente de zero e positivo, então isso quer dizer que o meu autovalor lambda LI e raiz o programa característico por m vezes, como disse e tem somente um autovetor quer somente ver um beleza autoespaço associada esse lambda e vê lambda igual núcleo de há a menos lambda e aí o jeito mais fácil encontrar autoespaço e dado que se conhece as autovetores mas autovetores relacionados há a esse lambda são os motores geradores autoespaço então vê lambda e o b espaço gerado por dois reais pelo único autovetor que se tem que eu vendo com a questão que a gente tem, faltam menos um autovetores se eu quisesse no caso diagonalizar meio matriz, vamos
dizer assim eu tenho só um autovetor, mas há a poderia tem m autovetores, então faltaram m menos o a autovetores que não existem beleza, existe só um autovetor isso d1 autoespaço e a lambda e aí e aí que eu vou apresentar o conceito de autovetor generalizado isso daqui é importantíssimo foco total aqui dela galera vamos considerar aqui para ter autovetores generalizados eu preciso que há a multiplicidade algébrica menos há a geométrica seja positiva B esse dão valor positivo.
Quer dizer, eu não tenho o número de autovetores igual ao número de vezes que meu lambda solução do polinômio característico e aí vamos aqui.
Eu tenho o vê um eu preciso do meio autovetor para poder achar o autovetor gerais há a generalizada para poder definir o autovetores generalizados, então vamos dizer que eu tenho encontrado pelo menos um autovetor no caso todo lambda todo autovalor tem que ter pelo menos um autovetor, então vale que há a mas lambda e aí vezes d1 igual a 0 vê dois e autovetor generalizado de ordem dois se vale a seguinte relação a Y há a há a menos lambda e aí ao quadrado vezes vê dois igual a 0 qual que amenos lambda e aí vezes e dois é diferente de zero, então calma se eu d1 e autovetor há a menos lambda e aí vezes d1 igual a 0 Agora se eu tenho um autovetor de ordem dois tudo autovetor generalizado é acompanhado de uma ordem um e essa ordem mede a potência da sua matriz.
O que você vai para você colocar essa equação aqui então se vê um e autovetor há a menos vamos aí vezes d1 igual a 0 beleza Agora autovetores generalizados tem que começar a colocar potência na matriz, então dado que eu sei que eu tenho por exemplo, lambda duas vezes solução então poderia ter dois autovetores.
Eu encontrei só um autovetor.
Eu sei que pelo menos um autovetor de ordem um dois eu tenho m e aí A definição desse autovetor qual que LI e autovetor não dá matriz há a menos lambda e aí, mas de amenos lambda e aí ao quadrado, só que ele não é autovetor da sua matriz, então a menos lambda e aí vezes e dois diferente de zero defenderam deseja, faz e o caso geral para ver se entender o mesmo o meu Vinny d1 autovetor generalizado de ordem ln esse vale que amenos lambda e aí elevado ainda vezes dn do que zero mas há a menos vamos há a ia elevado há a m menos um logo antes dn pesos dn é diferente de zero beleza então quer dizer que LI ele pertence ao núcleo de há a menos lambda e aí porque há menos lambda e aí vez vetor zero mas ele não pertence ao núcleo de a mais lambda e aí elevado há a m menos um porque esse valor vezes vem me dar diferente de 0 esses autovetores generalizados eles são o autovetor generalizado de ordem um dn é aquele que e autovetor de a mais lambda e aí elevado há a beleza e isso nos ajuda imensamente quando a gente vai falar da forma canônica de Jordan, porque a existência desse autovetor generalizado permite que a gente crie da forma canônica de J uma matriz de autovetores generalizados e autovetores norma mais e crie uma similaridade de quase diagonalização sua observação aqui você fala Comecei do autovetor de ordem dois aqui ia falho doze dn ia autovetor de ordem um o a autovetor generalizado de ordem um e generalizado é o próprio autovetor d1 Então, dado que você encontre um autovetor esse c levar a menos lambda ia ao quadrado vezes o a autovetores generalizados desconhecido ainda igual a 0 se encontra ele desde que ele seja tal que há menos lambda e aí vez de 0 e diferente de 0 e aí Da mesma forma lembra meu foco nesse vídeo não e aprende se fazer entender como achar um autovetores generalizados têm formas muito mais tranquilo do que ficar para outro vídeo para esse vídeo.
Quero falar principalmente do autoespaços generalizados esse para achar o autovetor generalizado de ordem dois Eu tive que fazer a menos lambda e aí ao quadrado Olha só o alto espaço generalizado de ordem dois d1 núcleo de arma nos vamos aí.
Ao quadrado lembra que o sol autoespaço por si só é um núcleo?
Jamais vamos e aí autoespaços generalizados de lambda ordem um dois núcleo já mas lambda ia ao quadrado ia autoespaços generalizados de ordem um ln e o núcleo de B lambda elevador dn, ou seja, será fazer assim pegar só matriz a mais e aí esse vai levar há a isso vai descobrir quais quais são os setores que fazem isso vezes o vetor serem iguais a zero ia.
Isso vai encontrar os setores que geram os motores geradores do c autoespaços generalizados de ordem um, dn tá legal?
Simples assim só tem que levar a sua matriz ao quadrado há a três e aí vai então vamos lá para a gente fechar Seja lambda com um autovalor com um autovetor d1 m menos um autovetores generalizados de dois a três até vem o meu autovetor d1 pertence ao núcleo de anos lambda e aí beleza porque isso daqui m autoespaço calcular há a menos lambda e aí vez a x d1 igual a 0 se encontrava d1 e ele vai ser o meu único vetor gerador nesse autoespaço.
Agora o autoespaços generalizados de ordem dois, que é o núcleo de a mais rodar e ao quadrado tanto autovetor vê um pertence a ele o quanto O autovetor generalizado vê dois pertence a ele lembra O autovetor generalizado não pertence ao anterior, mas pertencia esse beleza.
Então, quais são os setores geradores do no autovetor generalizado de ordem um dois d1 m dois mesma coisa para autovetores realizável ordem um três núcleo de há a menos lambda e aí ao cubo Tanto ver um quanto autovetores generalizados de ordem um dois de dois o quanto autovetor generalizado de ordem três três pertencem esse autoespaços generalizados e aí vai até aí vai até o eixo aqui autoespaços generalizados J dn todos o a autovetor e todos os autovetores generalizados até autovetores generalizados de ordem um dn pertencem ao seu autoespaços generalizados, então quanto maior a ordem do salto espaço mais está incluindo o seu autovetor e mais está incluindo todos os outros autovetores generalizados que você pode gerar está legal e isso pessoal por hora m importa que se tem entendido o conceito do autovetor do autoespaços generalizados que e sei lá elevando a sua matriz há a menos lambda e aí e o conceito de autovetor generalizado que são os vetores que satisfazem B lambda ia elevado há a igual vez o a c autovetor de jovem igual a 0 mas não há menos vamos há a elevador m menos um tá legal e como que se faz para achar um autoespaços generalizados simples, você vai fazer esse de que ela autoespaços generalizados ordem um três Vai fazer a menos lambda e aí elevado a três vezes os vetores vem ainda desconhecidos igual a 0 e aí esse faz as contas vai encontrar por exemplo vê i igual a x em y do que zero c del x em evidência votam índice evidência e esses vetores se encontrou se eu vetores geradores do c autoespaços generalizados Tá legal?
É isso aí pessoal
