Forma Canônica de Jordan
pessoas.
Chegou a hora de conversar do foco principal aqui dessa parte da forma canônica de Jordan vem com meio eu vou te mostrar o que é isso que mostra que isso não é difícil, embora o país aparece assim no sentido de você tem em teoria por trás isso, mas da forma canônica J a essência uma coisa bonita ela é uma matriz quase diagonal dois autovalores lambda e aí contados de acordo com multiplicidade.
Tudo que eu falei até aqui exatamente que nem há a matriz diagonal dn há a que ela matriz gente usa na hora de diagonalizar há a matriz que e diagonalizável é apenas um matriz diagonal há a diagonal principal Você tenha o z Gauss autovalores lambda repetidos junto com a sua multiplicidade com que a diferença da forma canônica de jovem em relação à matriz diagonal a presença do número um acima ou abaixo dos autovalores lambda e aí para cada autovetor generalizado de um ano e aí Então para cada autovalor que não tenha um número de autovetores igual número de vezes que esse autovalor aparece vai existir, mas aqui tenho autovalor de aparece três vezes, só que eu tenho um autovetor.
Quer dizer que eu posso ter dois autovetores generalizados?
Então quer dizer que vou ter um número um ou acima, um abaixo de dois desses lambda do mesmo modo mesmo lambda de se dá via estar presente três vezes o a matriz que ela da forma canônica de Jordan explica a teoria.
Assim, uma ajuda muito tem que mostrar a prática, então vamos fazer dois exemplos não imagina o seguinte tenham analisa e são matriz há a tem somente um autovalor que é o lambda.
Só que esse autovalor tem multiplicidade algébrica três quer quer três vezes raiz do polinômio característico.
Aparece três vezes na nossa solução.
Só que aconteceu vai procurar autovetores se encontra apenas uma autovetor há a linearmente independente se encontra somente o autovetor d1.
Isso quer dizer que a multiplicidade geométrica que é o número de vezes que o número de autovetores que se tem para o mesmo lambda d1 em conta multiplicidade algébrica era três multiplicidade geométrica menor que algébrica.
Quer dizer aqui eu vou ter pelo menos pelo menos no caso não eu vou ter dois autovetores generalizados.
Eu posso criado dois autovetores generalizados que são os autovetores que vão suprir essa deficiência que a gente chama que é a diferença entre a multiplicidade algébrica conta geométrica como aqui.
Há a três aqui e um deveria ter mais dois autovetores Como não tenho, tenho dois autovetores generalizados e a presença desses dois autovetores generalizados faz da minha forma canônica de Jordan c da seguinte forma Primeiro esse começa desenhando ela como função matriz diagonal em que essas autovalores aparecem igual número de vezes em que eles são raízes do polinômio característico se
eu tenho um só autovalor lambda que é três vezes raiz o a polinômio característico ali aparece três vezes.
Só que essa matriz não é uma diagonal, não é uma diagonal perfeita, porque eu sei que abaixo dos lâmpadas ou acima vou fazer explica isso posso ter uma forma canônica de jordão triangular superior ou inferior.
Vamos começar com o tribunal superior abaixo dos lambda eu vou ter os números zero.
Acontece que acima dos lambda eu posso ter o número um um número zero número um ou número zero e como esse de acordo com a possibilidade de eu ter ou não a presença de autovetores generalizados nesse caso falar que e há a multiplicidade geométrica d1 ia algébrica três Faltam dois autovetores para igualar isso quer dizer que eu posso ter dois autovetores generalizados, ou seja, se essas se encontrar matriz de autovetores essa coluna vai representar o autovetor incide aqui como tem que ser dois autovetores generalizados essas minhas duas colunas conta que representar as colunas de autovetores generalizados o que eu faço para elas apresentarem essas colunas.
De fato eu coloco o número um acima.
Listas autovalores Essa é a forma de canônica de Jorge triangular superior para esse caso isso quiser uma triangular inferior, e só em vez de colocar acima dos lâmpadas, colocar abaixo nos lambda nota que uma das colunas aqui não tem um número um abaixo.
Isso é ótimo, quer aqui uma das colunas há a.
De fato, não posso ter um número um abaixo ou acima porque significa tem um autovetor para esse meio lambda.
A presença do número um mostra que essa coluna representa uma coluna com autovetores generalizados.
Eu tenho duas colunas com esse número um abaixo ou acima do lambda.
Eu tenho dois autovetores generalizados quer que tenho só um autovetor porque tenho só uma coluna sem número de dois autovetores generalizados e aí Como eu disse, essas colunas representam seus autovetores generalizados estão só de olhar para uma forma canônica de J.
Você sabe qualquer multiplicidade geométrica ia algébrica esse autovalor se o mesmo autovalor aparece três vezes tem multiplicidade algébrica três.
Isso tenho só uma coluna com termos nulos quer que eu tenho só um autovetor multiplicidade geométrica Quer dizer que tenho duas colunas para criar autovetores generalizados?
Está legal?
galera mudando continuidade vamos imaginar o seguinte agora causa dez ponto A imagina que para uma nova matriz há a eu tenho um autovalor lambda ONG matriz phi um autovalor lambda dois igual a 1 com multiplicidade algébrica igual dois aqui o a três Quer dizer que esse autovalor duas vezes solução e esse autovalor e três vezes solução esse imagina caramba, esse autovalor pode ter até três autovetores dois Perdão autovetores por que a gente precisa g(1) regra da cadeia dois e esse autovalor sim pode ter até três autovetores porque há a multiplicidade algébrica três secante se vai ser calcular se descobre que lambda um igual três de fato tem dois autovetores aqui lambda dois igual ontem apenas um autovetor.
Isso quer dizer que há a multiplicidade geométrica do meio autovalor lambda e dois, mas autovalor lambda dois igual a 1 esse, e assim, sabendo que a multiplicidade geométrica que é menor do que algébrica, quer dizer que vou ter que vou poder gerar dois autovetores generalizados para esse caso eu tenho uma deficiência de dois, então quer dizer que na minha forma canônica de Jordan quando for escrever três vezes o número um diagonal principal eu vou ter que ter dois números um acompanhando ou acima o abaixo do se eu autovalor um vez isso como fazer a forma canônica de J vou fazer primeira ia há a Tribunal superior se vai ser local c autovalores e aí pode tanto faz há a del x há a quer escolhe uma ordem fixa ela porque na hora de o eixo como atriz de autovetores tem que seguir a ordem, então se vai escolher primeiro lambda igual três depois vamos bom beleza três aparece duas vezes como solução um aparece três vezes raiz pergunto quantas vezes o meu lambda i igual a três Quantos autovetores tinha dois?
Ele aparece duas vezes e tem dois autovetores então não tem nenhum número acima abaixo deles Pergunto para lambda bom com os operadores eu tinha um só quer dizer que somente um dos meus autovetores vai ter nenhum um acima ou abaixo Para os outros dois aqui faço dois valorizam tem que ter um número acima ou abaixo.
Nesse caso tem que estar acima.
LI surpreende e são matriz de zero eu vendo deixa mas limite linha para você isso aqui número um aqui em cima desses autovalores nesse autovalor igual a 1 mostrando que tem dois autovetores generalizados que eu posso fazer se quiser matriz triangular inferior essa volta embaixo desses dois aqui não dá para botar embaixo inversa volta embaixo desse um nesse um número tá legal então e isso e aí só para complementar esse exemplo, vamos supor o seguinte vamos supor que em vez disso eu tinha aqui na verdade somente um autovetor lambda igual três aqui, mas aqui multiplicidade algébrica geométrica nesse meio autovetor valor seria um.
Quer dizer que eu teria um autovetor generalizado para esse autovalor que isso mudaria?
Da minha matriz da forma canônica Eu teria que ter o número um.
Eu diria que tem o número um nesse caso acima desse três.
Nesse caso abaixo desse três está legal para poder falar que um dos uma das colunas aqui e de um veto autovetores generalizados só uma coisa importante uma definição para cada autovalor você vai para cada número de vezes que um autovalor tem autovetores normais corta como um bloco.
Na verdade ficava acontecendo aqui esse autovalor três ele aparece duas vezes certo e ele aparece com um autovetor lambda ali.
Raiz lambda não autovetor generalizado aqui.
Então se tem um bloco ao mesmo tempo aqui o seu alto valor um aqui ele tem dois autovetores generalizados, então está aqui em outro bloco legal esse dividido o a matriz em blocos que a gente chama de blocos de Jordan beleza para fechar só quer relembrar há a Similaridade há a quase diagonalização para toda matriz com autovalores da forma canônica de Jordan é igual a pelo menos um vezes há a vez espera onde J da forma canônica há a matriz de autovetores generalizados que a gente ainda não abordou esta legal para essa aula o principal e isso se você entender como fazer da forma canônica de J basicamente sem escrever e são matriz diagonal de autovalores acima ou abaixo dos autovalores em que eu tenho o x autovetores generalizados foi colocar de x vezes um número um abaixo indicada autovalor beleza pessoal
