Cadeia de Autovetores Generalizados
essa para mim e aula mais importante de toda essa parte e a cadeia de autovetores generalizados aquilo que nos permite encontrar os autovetores generalizados um atrás do outro usando apenas uma forma grau.
Você precisa estar esse sabendo minimamente sobre a forma canônica de de ordem um para poder chegar aqui legal e de claro de autovetores autovalores então o seguinte estávamos autovetores generalizados Supondo que eu tenho um autovalor lambda de o a matriz há a que aparece em níveis como solução, só que ele tem apenas um autovetor, não necessariamente uma causando um.
Porque o caso mais fácil então multiplicidade algébrica B multiplicidade geométrica um é igual a B um que é diferente de zero beleza, então faltam vetores para chegar deveria Poderia ter mais autovetores para poder chegar a um número em S eu não tenho ia inexistência dessas autovetores m permite achar os autovetores generalizados fórmula Quem já sabe se vê um e autovetor de há a há a menos lambda e aí vezes d1 igual a 0 o que define o autovetor e aí só para te mostrar uma coisa só para voltar se eu passo lambda aí vem um pra ver se direita.
Eu lembro que à vezes d1 é igual a lambda vez ali dois porque vez há a c dois haver dois lambda vezes.
Eu vendo dois vai dar isso aqui então?
E há a que ela definição a definição Aliás, perdão aqui e avião não vê dois, só corrigindo aqui a definição em si do autovetor beleza Você tem um autovalor lambda uma autovetor Ver quer aqui há a vezes ver o a lambda vezes tranquila Definição Agora eu vou fala o seguinte como você essa equação do autovetor e ficam autovetores generalizados o autovetor generalizado e Haiti conta já mágica se eu tenho d1 ou autovetor e eu quero saber ver dois que e autovetor generalizado de ordem dois associada ao mesmo autovalor lambda Eu sei que a vez e dois é igual a lambda vez B dois beleza ali autovetor só queria autovetor generalizado porque ele depende do seu autovetor deseja calcular do antes.
Então ele e lambda vez de dois mais d1 esse mais d1 aí pessoal o que define o seu autovetores generalizados Isso vale não só promove dois a gente vai calcular do autovetores generalizados de ordem um dn dn associada ao mesmo lambda há a vezes dn lambda vezes vem mais dn menos um autovetor generalizada de ordem anterior algelin então basicamente se eu autovetor é tal que havia um igual lambda d1 autovetores generalizados dois Haver dois igual lambda Ver dez mais d1 havia três.
Aguardamos ali três mais de dois há a vem igual lambda dn mais dn menos um antes de mostrar fórmula em si que está mostrada praticamente só falta juntar isso.
Eu pergunto por quê regra de L'Hospital e porque é porque se esquecer Não confundir vai que você acha que em algum momento pessoal confunde fala que havia um é igual a lambda haviam mais e dois não ao contrário.
Porquê?
Porque na forma de Jordan e da forma que ela na can de de ordem um matriz J gente permite criança relação a Y J igual pi menos um vezes há a vezes onde perp matriz de autovetores, incluindo os generalizados se eu explicado pela esquerda das dois lados por pi B o meu corpo fica a pergunta pi beleza qualquer utilidade disso que você está falando de foi o seguinte de J da forma canônica de Jordan há a vez espero há a pi beleza J e matriz, mas autovetores no final dessa aula eu vou dar um toque essencial assim que não pode perder também no final de civis há a vezes matriz de autovetores
é igual a matriz autovetores vezes J da forma canônica de J muito importante isso já toda na Espanha No final da aula se a sua matriz da forma canônica de Jordão e triangular superior isso e você coloca os números um acima dos lâmpadas e não abaixo dos lambda.
Cita aqui equação matriz autovetores aqui ainda de ordem um é crescente estamos aqui Eu tenho autovetor d1 ideia tenham autovetores generalizados dois e três até vem faz coluna, mas eles estão eles estão aqui.
Cada um desses setores foram há a coluna inteira de valores legal bom para resolver isso daqui eu posso que abrem coluna então há a vezes d1 é igual a essa matriz inteira vez a primeira coluna, só que aí a gente vai perceber que a vez ver um gol essa matriz dez há a fileira coluna quer lambda de 0 fica a ver um igual lambda d1 há a vezes d2 segunda coluna regra Essa matriz vezes segundo há a coluna quer d1 mais lambda dois dois igual lambda de dois mais d1 se esforçar dn há a vezes dn que e enésima coluna essa matriz vezes enésima coluna método zero tirando o último lambda e penúltimo há a ficar dn menos ou vezes um, mas dn vezes lambda dn é igual a lambda Pn mas dn menos um, Então é por isso que tudo se encaixa por isso que é tudo bonito.
Porque no final das contas galera dá certinho me dar legal esse um aqui lembra que argumento da forma canônica de Jordan, esse número um acima do Islã das justamente para mostrar a existência de um autovetores generalizados aqui ali causa justamente isso para mostrar que ele depende do anterior de próximo autovetores generalizados depende do anterior, Está aqui a presença do seu número um acima do lambda tá legal.
Então por causa disso pegando esse último caso a gente chegar a forma geral do seu autovetor generalizado que a quem chama de cadeia de autovetores generalizados amenos lambda e aí vezes o vetor x autovetores generalizados de ordem um dn é igual a não a zero, mas ao autovetores generalizados de ordem um m menos um a mais lambda e aí vezes d1 igual a 0 há a menos lambda m dois igual phi um a mais lambda m três igual dois a mais lambda vivem i igual a B um esse equação permite a gente calcular todos os autovetores generalizados faz exemplo rápido Eu tenho uma matriz há a três zero um três Eu tenho são lambda aqui.
Se quiser fazer as contas faz ordem um lambda igual três autovalor três com multiplicidade algébrica dois quer quer duas vem solução ok?
Eu tenho só um autovetor d1 igual g(1) raiz Pergunto qual é o autovetor generalizado de segunda ordem?
Porque eu falo isso porque esse linha multiplicidade algébrica dois poderia ter dois autovetores eu tenho um só quer dizer que consegue calcular um segundo autovetor, só que ele não mais autovetor e autovetor generalizado segunda ordem seus há a que ela equação falar que há a menos lambda e aí vezes vê dois que é generalizado de segunda ordem é igual a phi um o z dois Eu ainda não conheço o ver um zero um ia menos lambda isso lambda quer matriz há a diagonal principal fica essa matriz aí resolver essa matricial vai chegar no sistema linear linha vezes coluna primeira linha fileira coluna sela igual a 0 ia segunda linha dez há a coluna ficar um x i igual a mais eram inversa igual a 1 então eu vou chegar num autovetor d2 igual a 1 e pessoal essa fala nossa vou colocar o a evidência que nem há a faço com autovetores não serão?
Faz isso porque se colocar inversa evidência aqui significa um phi um sobre isso.
Você não quer colocar oito evidência esse se houver dois e o a autovetor generalizado para qualquer valor de y define um valor divido.
Função quer todos autovetores generalizados do mundo é um só então toma isso igual a 0 se tomar inversa Gozará se eu Encontrar autovetores generalizados dois igual a 1 o z pronto calcular então no final das contas para você calcular autovetor generalizada Só fazer a mais lambda e aí vezes o a autovetores generalizados de ordem um dn igual autovetor generalizado ou não de ordem m menos um acabou agora o vídeo acabou ainda não segurei segura aí que eu tenho uma coisa muito importante para falar com você.
Primeiro tem que ser uma conclusão que eu vou querer que eu estou falando.
Esse autovetor d1 pertence ao núcleo de B lambda e aí.
Faltou lambda aqui no caso três e lambda vale três há a menos treze isso e autovetores generalizados pertence ao núcleo de há a menos treze ao quadrado, mas não pertence ao núcleo de a mais três.
Isso o z verificar isso e só calcular além dos três e ao quadrado vezes dois beta zero mas há a menos três e vinte e dois não dá zero.
Isso justamente definição de autovetores generalizados de ordem legal.
Agora assim conversar se uma coisa séria com o retomada traz uma coisa.
Então até agora o que eu quero que saiba e aplicar essa fórmula para os autovetores generalizados o que eu tenho falei muita coisa esse vídeo porque eu preciso e que se entendesse isso daqui que haveis há a matriz de autovetores dez autovetores vez da forma canônica de Jordão, Só que aqui a gente ordenou há a matriz de autovetores da menor para a maior ordem um ia assim a gente bom teve a relação certa com há a matriz da forma canônica de de ordem um triangular superior para cada autovetores generalizados se coloca coloca o número um acima do lambda porque estou lembrando disso para lembrar você de tomar muito cuidado com a ordem na hora de fazer uma base de autovetores porque afinal de contas sela quer calcular matriz de autovetores ia só se a sua forma canônica de Jordan e triangular superior para cada autovalor lambda com multiplicidade geométrica menor que algébrica vai ter autovetores generalizados E aí você vai ter uma base autovetores.
O que eu te peço que se faça.
Se não se vai errar porque está errado, você tem que tomar cuidado com isso.
C sua matriz da forma canônica de J triangular superior Você deve ordenar a sua base de autovetores do autovetor d1 de primeira ordem para os autovetores generalizados de dois e treze, também em ordem crescente.
Você vai do autovetor para os autovetores de maior ordem um e aí a sua matriz de autovetores e são em caixas autovetores nas comunas e a sua forma de jogar você pode pegar falar que jordão triangular superior beleza e aí para cada lambda com autovetores generalizados há a colocá la um número acima da cidade respectivo lambda.
Agora esse é o caso da matriz da forma cateto naquele jornal triangular superior.
Isso tiver uma forma canônica de Jordão triangular inferior porque de muda para cada valor autovalor lambda com multiplicidade geométrica menor do que algébrica.
Para aqueles que tiverem igual dá na mesma.
Você não tem que colocar o número um acima ou abaixo para que eles com diferença que vai ter que colocar o número um acima abaixo.
Nesse caso abaixo, porque e triangular inferior você vai ordenar sua base de autovetores generalizados do maior grau para o menor grau até chegar no autovetor entre aspas oficial autovetor propriamente dito então se vai do autovetor de Gauss ordem um dn podem ao menos um e vai até chegar no ordem um dois e aí assim chegar autovetor de ordem um que é o próprio autovetor aí há a som matriz autovetores não vai.
Vai ser ver uma TV nas colunas, mas sim dn até d1 mas coluna e essa forma canônica de Jordan e há a que ela triangular inferior com os números um abaixo do lambda.
Esse, claro esse lambda tiver phi um autovetores generalizados, então aqui cuidado extremo pessoal está legal isso daqui e um causador de erros profundo.
A ideia é essa então tá legal.
Se está usando a forma canônica de de ordem um triangular superior ordena sua base autovetores os lâmpadas que tem autovetores igual número de vezes que ele aparece de boas coloca antes dessa depois desse para cada bloco que a gente fala de um alto valor em si, você coloca em ordem crescente e para matriz também.
Agora, nesse caso da forma canônica de J e nula inferior Para cada bloco de lambda, você vai colocar só base aqui em ordem decrescente ia matriz de autovetores também grau pessoal.
