Resumo: Diagonalização de Operadores Lineares

OBSERVAÇÃO: A ordem importa. Veja que a ordem dos vetores na base $\color{#F8719A}C$ da esquerda pra direita é a mesma ordem dos autovalores na diagonal da matriz $[T]_{{\color{#F8719A}C}}$.

Exemplo 2:

Suponha que $T:\Bbb{R}^{2}\rightarrow\Bbb{R}^{2}$ tem a seguinte matriz na base canônica:

$[T]_{can}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

a) O polinômio característico é $p_{T}(t)={\color{#1C9BBF}(1-t)}^2$ .

b) O único autovalor é $\color{#1C9BBF}\lambda=1$

c) O único autoespaço é $\color{#1C9BBF}V(1)=[(-1,0)]$ .

d) Como o único autoespaço é $\color{#1C9BBF}V(1)$, então temos o conjunto ${\color{#F8719A}C}=\{{\color{#1C9BBF}(-1,0)}\}$

e) Como o conjunto ${\color{#F8719A}C}$ possui apenas um vetor, não pode ser base para $\Bbb{R}^{2}$.

Assim, não existe base formada por autovetores, então $T$ não é diagonalizável.

3. Multiplicidade Algébrica e Geométrica de um Autovalor

Vamos considerar um polinômio característico qualquer de um operador $T$ . Podemos escrevê-lo da seguinte forma:

$p_{T}(t)=(t-{\color{#1C9BBF}\lambda_{1}})^{{\color{#EF8722}r_{1}}}(t-{\color{#1C9BBF}\lambda_{2}})^{{\color{#EF8722}r_{2}}}\dots(t-{\color{#1C9BBF}\lambda_{n}})^{{\color{#EF8722}r_{n}}}$ .

As multiplicidades algébricas são os expoentes ${\color{#EF8722}r_{1}},{\color{#EF8722}r_{2}},\dots,{\color{#EF8722}r_{n}}$. Por exemplo, a multiplicidade algébrica do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{1}}$ é ${\color{#EF8722}r_{1}}$, do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{2}}$ é ${\color{#EF8722}r_{2}}$, e assim prossegue.

Podemos considerar agora os autoespaços associados a esses autovalores:

$V({\color{#1C9BBF}\lambda_{1}}),V({\color{#1C9BBF}\lambda_{2}}),\dots,V({\color{#1C9BBF}\lambda_{n}})$

As multiplicidades geométricas são as dimensões dos autoespaços acima. Por exemplo, a multiplicade geométrica do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{1}}$ é ${\color{#9E3ACC}\dim}(V({\color{#1C9BBF}\lambda_{1}}))$, do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{2}}$ é ${\color{#9E3ACC}\dim}(V({\color{#1C9BBF}\lambda_{2}}))$, e assim prossegue (caso queira rever o conceito de dimensão, clique aqui).

As multiplicidades algébricas e geométricas são muito importantes na diagonalização de operadores lineares. Vamos ver estes conceitos aplicados em um exemplo.

Exemplo:

Vamos considerar o operador linear $T$ do exemplo 1 da seção acima. Sua matriz na base canônica é

$[T]_{can}=\begin{pmatrix}-4 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ .

Seu polinômio característico é:

$p_{T}(t)=-{\color{#20AC5B}(t-2)}^{\color{#EF8722}2}{\color{#1C9BBF}(t+1)}^{{\color{#EF8722}1}}$.

Assim, a multiplicidade algébrica do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{1}=-1}$ é ${\color{#EF8722}r_{1}=1}$ , e do autovalor${\color{#20AC5B}\lambda_{2}}={\color{#20AC5B}2}$ é ${\color{#EF8722}r_{2}=2}$ .

Os autoespaços associados são

$V({\color{#1C9BBF}-1})=[(-1,0,1)]$ e $V({\color{#20AC5B}2})=[(1,0,-2),(0,1,0)]$.

Assim, a multiplicade geométrica do autovalor ${\color{#1C9BBF}\lambda_{1}=-1}$ é ${\color{#9E3ACC}\dim}(V({\color{#1C9BBF}-1}))={\color{#9E3ACC}1}$ e do autovalor ${\color{#20AC5B}\lambda_{2}}={\color{#20AC5B}2}$ é ${\color{#9E3ACC}\dim}(V({\color{#20AC5B}2}))={\color{#9E3ACC}2}$.

OBSERVAÇÃO: Em qualquer operador linear, teremos que pra cada autovalor,

multiplicidades algébricas $\geq$ multiplicidades geométricas.

4. Condições para que um Operador Linear Seja Diagonalizável

Vamos considerar um operador linear em $\Bbb{R}^{n}$,

$T:\Bbb{R}^{n}\rightarrow\Bbb{R}^{n}$ .

Primeiro vamos apresentar uma condição suficiente para que $T$ seja diagonalizável.

I) Se $T$ possui $n$ autovalores distintos, então $T$ é diagonalizável.

Esta condição é suficiente, mas não necessária. Isto significa que, se você perceber que $T$ possui $n$ autovalores distintos, você já pode concluir que $T$ é diagonalizável, mas caso perceba que não existem $n$ autovalores distintos, você NÃO pode concluir disso que $T$ não é diagonalizável.

Agora, vamos apresentar duas condições necessárias e suficientes para que $T$ seja diagonalizável.

II) $T$ é diagonalizável $\iff$ $T$ possui $n$ autovetores L.I. entre si;

III) $T$ é diagonalizável $\iff$ Todas as raízes do polinômio característico são reais, e as multiplicidades algébricas são iguais às multiplicidades geométricas.

Se alguma destas condições for satisfeita, então podemos fazer a diagonalização do operador linear.

Exemplo: No exemplo dado seção 3, todos os autovalores são reais e as multiplicidades algébricas são iguais às geométricas, logo, $T$ é diagonalizável pela condição III).

5. Como Diagonalizar uma Matriz

Seja $T$ um operador linear diagonalizável, com sua forma diagonal sendo a matriz $\color{#C90000}D=[T]_{C}$, que é a matriz de $T$ na base $C$ de autovetores. Para obter a matriz $\color{#C90000}D$ a partir da matriz $\color{#20AC5B}A=[T]_{can}$, que é a matriz de $T$ na base canônica, faz-se uma multiplicação de matrizes da seguinte forma:

${\color{#20AC5B}A}={\color{#EF8722}P}{\color{#C90000}D}{\color{#EF8722}P^{-1}}$

Onde $\color{#EF8722}P$ é uma matriz quadrada, chamada de matriz de transição.

Esta matriz de transição é a matriz de mudança de base, de autovetores $C$ para a base canônica. Se você precisa relembrar mudanças de base, recomendo os vídeos e os materiais encontrados aqui.

Vamos fazer um exemplo para mostrar como diagonalizar operadores lineares na prática.

Exemplo: Usaremos o mesmo operador linear $T$ usado nas seções 1 e 3 deste resumo. Sua matriz na base canônica é

$[T]_{can}=\begin{pmatrix}-4 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ .

Seu polinômio característico é

$p_{T}(t)=-{\color{#20AC5B}(t-2)}^2{\color{#1C9BBF}(t+1)}$,

Logo, seus autovalores são

${\color{#1C9BBF}\lambda_{1}}={\color{#1C9BBF}-1}$ e ${\color{#20AC5B}\lambda_{2}}={\color{#20AC5B}2}$ .

Note que temos apenas 2 autovalores distintos, então não podemos usar o critério a) da seção 4 para concluir que $T$ é diagonalizável, mas também não podemos concluir que $T$ não é diagonalizável.

Os autoespaços são:

$\color{#1C9BBF}V(-1)=[(-1,0,1)]$ e $\color{#20AC5B}V(2)=[(1,0,-2),(0,1,0)]$ .

Veja que temos 3 autovalores distintos, logo, pelo critério II) da seção 4, o operador $T$ é diagonalizável.

A base formada por autovetores é a base:

${\color{#F8719A}C}=\{{\color{#1C9BBF}(-1,0,1)},{\color{#20AC5B}(1,0,-2),(0,1,0)}\}$,

E a forma diagonal diagonal de $T$ será a matriz de $T$ na base ${\color{#F8719A}C}$ , logo,

${\color{#C90000}D}=[T]_{{\color{#F8719A}C}}=\begin{pmatrix}{\color{#1C9BBF}\lambda_{1}} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{#20AC5B}\lambda_{2}} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#20AC5B}\lambda_{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\color{#1C9BBF}-1} & 0 & 0 \\ 0 & {\color{#20AC5B}2} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#20AC5B}2} \end{pmatrix}$ .

Para construir a matriz de transição ${\color{#EF8722}P}$ basta encontrar a matriz de mudança da base canônica para a base ${\color{#F8719A}C}$ . Neste caso, como a mudança vai "sair" na base canônica, basta escrever os autovetores na vertical e você obterá a matriz de transição.

${\color{#EF8722}P}=[I]_{{\color{#F8719A}C},can}=\begin{pmatrix}{\color{#1C9BBF}-1} & {\color{#20AC5B}1} & {\color{#20AC5B}0} \\ {\color{#1C9BBF}0} & {\color{#20AC5B}0} & {\color{#20AC5B}1} \\ {\color{#1C9BBF}1} & {\color{#20AC5B}-2} & {\color{#20AC5B}0} \end{pmatrix}$.

Assim, com estas matrizes nós obtemos a relação desejada:

$[T]_{can}={\color{#EF8722}P}{\color{#C90000}D}{\color{#EF8722}P^{-1}}$ .

Para mais informações, vídeos e exercícios resolvidos sobre Diagonalização de Operadores Lineares, você pode acessar o site da Estudar Com Você neste link: https://estudar.com.vc/cursos/autovalores-autovetores-e-diagonalizacao?chosen_concept=11634.