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Resumo: Equações de Retas e Planos

Resumo: Equações de Retas e Planos

Equações de Retas e Planos


As retas e os planos são entidades geométricas muito comuns na Geometria Analítica e na Álgebra Linear. Podemos elaborar equações de retas e equações de planos, e, com elas, estudar suas posições relativas no espaço, as distâncias entre elas, bem como encontrar pontos simétricos a retas e a planos.


Para falar de equações de retas e planos, precisamos definir o sistema de coordenadas. Esse resumo cobre todos esses tópicos e apresenta as principais definições e equações.


Sistema de Coordenadas

Podemos definir um sistema de coordenadas usando um ponto no espaço e uma base no V3V^3. O sistema de coordenadas S=(O,E)S=(O,E) é o sistema com origem no ponto OO e base EE. Se EE é ortonormal, dizemos que SS é um sistema ortogonal.


Dizemos que um ponto, descrito em um sistema de coordenadas, é o vetor que liga a origem ao ponto:


Ponto P=OP→=(x,y,z)SP=\overrightarrow{OP}=(x,y,z)_S


Com isso, definimos que o vetor que liga dois pontos é:


PQ→=(xQ−xP,yQ−yP,zQ−zP)E\overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P, y_Q-y_P, z_Q-z_P)_E


Além disso, conseguimos somar um ponto com um vetor, atingindo outro ponto QQ, dessa forma:


P+λv⃗=(x+λa,y+λb,z+λc)S=QP+\lambda \vec{v}=(x+\lambda a, y+\lambda b, z+\lambda c)_S=Q


Com essas definições, conseguimos calcular o ponto médio entre dois pontos como:


M=(x1+x22,y1+y22,z1+z22)M=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}, \dfrac{z_1+z_2}{2}\right)


Se SS for ortogonal, a distância entre dois pontos é:


dist(P,Q)=∣∣PQ→∣∣=(xQ−xP)2+(yQ−yP)2+(zQ−zP)2\text{dist}(P,Q)=||\overrightarrow{PQ}||=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2+(z_Q-z_P)^2}


Para exercícios sobre sistema de coordenadas, veja: https://estudar.com.vc/conceitos/16651-equacoes-de-retas-e-planos/exercicio-1-sistema-de-coordenadas-e-volume-prova


Retas

Conseguimos definir uma reta usando um ponto A\boldsymbol{A} pertencente a ela e um vetor v⃗\boldsymbol{\vec{v}} que seja paralelo a ela. Assim, somando o ponto a um múltiplo desse vetor, conseguimos atingir qualquer ponto XX da reta.


Reta no Espaço
Reta no Espaço

Portanto, conseguimos escrever uma equação vetorial para descrever uma reta:


r:X=A+λv⃗ (λ∈R)r:X={\color{#ef8722}A}+\lambda {\color{#9e3acc}\vec{v}}\ (\lambda\in\mathbb{R})


Considerando A=(x0,y0,z0)S{\color{#ef8722}A=(x_0,y_0,z_0)_S}, v⃗=(a,b,c)E{\color{#9e3acc}\vec{v}=(a,b,c)_E} e X=(x,y,z)SX=(x,y,z)_S, conseguimos descrever a reta de outra forma, manipulando a equação vetorial para obtermos uma equação paramétrica da reta:


r:{x=x0+λay=y0+λbz=z0+λc (λ∈R)r:\begin{cases} x={\color{#ef8722}x_0}+\lambda {\color{#9e3acc}a} \\ y={\color{#ef8722}y_0}+\lambda {\color{#9e3acc}b} \\ z={\color{#ef8722}z_0}+\lambda {\color{#9e3acc}c} \end{cases}\ (\lambda\in\mathbb{R})


Agora, se isolarmos o λ\lambda nas equações acima, conseguimos escrever equações simétricas da reta:


λ=x−x0a=y−y0b=z−z0c\lambda=\dfrac{x-{\color{#ef8722}x_0}}{{\color{#9e3acc}a}}=\dfrac{y-{\color{#ef8722}y_0}}{{\color{#9e3acc}b}}=\dfrac{z-{\color{#ef8722}z_0}}{{\color{#9e3acc}c}}

pan class="base">λ=ax−x0​​=by−y0​​=cz−z0​​


Todas as 33 formas podem ser utilizadas para representar uma reta no espaço.


Confira a videoaula sobre esse tópico e resolva exercícios de equações de retas aqui: https://estudar.com.vc/conceitos/16651-equacoes-de-retas-e-planos/44111-retas


Planos

Para definir planos no espaço, precisamos de dois vetores que sejam LI. Assim, para conseguirmos encontrar qualquer vetor XX em um plano π\pi, precisamos de um ponto A\boldsymbol{{\color{#ef8722}A}} do plano e dois vetores v⃗\boldsymbol{\vec{v}} e u⃗\boldsymbol{\vec{u}} paralelos ao plano.


Plano no Espaço
Plano no Espaço

Com isso, conseguimos escrever a seguinte equação vetorial para descrever um plano:


π:X=A+λv⃗+μu⃗ (λ,μ∈R)\pi:X={\color{#ef8722}A}+\lambda\vec{{\color{#9e3acc}v}}+\mu{\color{#c90000}\vec{u}}\ (\lambda,\mu\in\mathbb{R})


Agora, considerando A=(x0,y0,z0)S{\color{#ef8722}A=(x_0,y_0,z_0)_S}, v⃗=(e,f,g)E{\color{#9e3acc}\vec{v}=(e,f,g)_E}, u⃗=(m,n,p)E{\color{#c90000}\vec{u}=(m,n,p)_E} e X=(x,y,z)SX=(x,y,z)_S, podemos usar a equação vetorial para obter a equação paramétrica de um plano:


π:{x=x0+λe+μmy=y0+λf+μnz=z0+λg+μp (λ,μ∈R)\pi:\begin{cases} x={\color{#ef8722}x_0}+\lambda {\color{#9e3acc}e} + \mu {\color{#c90000}m} \\ y={\color{#ef8722}y_0}+\lambda {\color{#9e3acc}f} + \mu {\color{#c90000}n} \\ z={\color{#ef8722}z_0}+\lambda {\color{#9e3acc}g} + \mu {\color{#c90000}p} \end{cases}\ (\lambda,\mu\in\mathbb{R})


Temos uma última equação, chamada de equação geral de um plano. Para encontrá-la, passamos o ponto A{\color{#ef8722}A} para o outro lado da equação vetorial. Assim, chegamos que:


X−A=AX→=λv⃗+μu⃗ (λ,μ∈R)X-{\color{#ef8722}A}=\overrightarrow{{\color{#ef8722}A}X}=\lambda{\color{#9e3acc}\vec{v}}+\mu{\color{#c90000}\vec{u}}\ (\lambda,\mu\in\mathbb{R})


Com isso, temos que o AX→\overrightarrow{{\color{#ef8722}A}X} é combinação linear de v⃗{\color{#9e3acc}\vec{v}} e u⃗{\color{#c90000}\vec{u}}. Portanto, temos que:


det⁡[x−x0y−y0z−z0efgmnp]=0\det\begin{bmatrix} x-{\color{#ef8722}x_0} & y-{\color{#ef8722}y_0} & z-{\color{#ef8722}z_0} \\ {\color{#9e3acc}e}&{\color{#9e3acc}f}&{\color{#9e3acc}g} \\ {\color{#c90000}m}&{\color{#c90000}n}&{\color{#c90000}p} \end{bmatrix}=0


Resolvendo esse determinante, chegaremos na equação geral de um plano, que tem o seguinte formato:


π:ax+by+cz+d=0\pi:{\color{#1c9bbf}a}x+{\color{#1c9bbf}b}y+{\color{#1c9bbf}c}z+d=0


Esses coeficientes a,b{\color{#1c9bbf}a},{\color{#1c9bbf}b} e c{\color{#1c9bbf}c} são as coordenadas de um vetor normal ao plano, ou seja, n⃗=(a,b,c)E{\color{#1c9bbf}\vec{n}=(a,b,c)_E}.


Vetor Normal ao Plano
Vetor Normal ao Plano

Podemos definir um vetor normal n⃗{\color{#1c9bbf}\vec{n}} ao plano π\pi pelo produto vetorial entre os vetores u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}:


n⃗=u⃗×v⃗{\color{#1c9bbf}\vec{n}}={\color{#c90000}\vec{u}}\times{\color{#9e3acc}\vec{v}}