Resumo: Subespaços Vetoriais

2. Reconhecimento de Subespaços Vetoriais

Para reconhecer que um subconjunto ${\color{#20AC5B}S}$ de um espaço vetorial ${\color{#EF8722}V}$ é, de fato, um subespaço vetorial, precisamos verificar que ${\color{#20AC5B}S}$ satisfaz as seguintes três condições:

I) O vetor nulo deve pertencer a ${\color{#20AC5B}S}$ , isto é, $\overrightarrow{0}\in{\color{#20AC5B}S}$ ,

II) O subconjunto ${\color{#20AC5B}S}$ é fechado em relação à soma, isto é, se ${\color{#1C9BBF}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}}\in{\color{#20AC5B}S}$ , então ${\color{#1C9BBF}\overrightarrow{u+v}}\in{\color{#20AC5B}S}$ .

III) O subconjunto ${\color{#20AC5B}S}$ é fechado com relação ao produto por escalar, isto é, se ${\color{#1C9BBF}\overrightarrow{u}}\in{\color{#20AC5B}S}$ e ${\color{#F8719A}\alpha}\in{\color{#20AC5B}S}$ , então ${\color{#F8719A}\alpha}\cdot{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{u}}\in{\color{#20AC5B}S}$ .

Vamos ver como usar essas três condições em alguns exemplos sobre reconhecimento de subespaços vetoriais.

Exemplo 1: Em cada um dos dois casos abaixo, vamos descobrir se o subconjunto ${\color{#20AC5B}S} \subset \color{#EF8722}V$ é um subespaço vetorial de $\color{#EF8722}V$ ou não.

a) ${\color{#EF8722}V=\Bbb{R}^{3}}$ e ${\color{#20AC5B}S=\{(x,y,z)\in\Bbb{R}^{3} : x=0\}}$ .

I) O vetor nulo tem de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{3}}$ tem todas as coordenadas nulas. Em particular, sua primeira coordenada é zero, logo $\overrightarrow{0}\in{\color{#20AC5B}S}$ .

II) Se você somar dois vetores de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{3}}$ que têm a primeira coordenada zero, o resultado também terá a primeira coordenada zero. De fato:

$({\color{#1C9BBF}0},a,c)+({\color{#1C9BBF}0},b,d)=({\color{#1C9BBF}0},a+b,c+d)$ .

III) Se você multiplicar um vetor de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{3}}$ que tem a primeira coordenada nula por qualquer escalar, o resultado também terá a primeira coordenada nula. De fato:

$\alpha\cdot({\color{#1C9BBF}0},y,z)=({\color{#1C9BBF}0},\alpha\cdot y, \alpha\cdot z)$ .

Concluímos que ${\color{#20AC5B}S}$ é um subespaço vetorial de ${\color{#EF8722}V}$ .

b) ${\color{#EF8722}V=M_{2}(\Bbb{R})}$ e ${\color{#20AC5B}S=\{A\in M_{2}(\Bbb{R}):A \text{ é invertível}\}}$.

I) Lembre que uma matriz é invertível $\iff$ seu determinante é não nulo (se você precisa relembrar esse tópico, clique aqui). Mas a matriz nula possui determinante nulo, logo não é invertível.

$\det\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}=0$

Logo, a matriz nula não pertence a ${\color{#20AC5B}S}$ , e já podemos concluir que ${\color{#20AC5B}S}$ não é um subespaço vetorial de ${\color{#EF8722}V}$ .

Para mais exercícios resolvidos sobre subespaços vetoriais, você pode acessar este link.

3. Conjuntos Geradores de Subespaços Vetoriais

Considere que você tome alguns vetores quaisquer do espaço vetorial ${\color{#EF8722}V}$:

$A=\{{\color{#1C9BBF}v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}\}\in{\color{#EF8722}V}$ .

O menor subespaço que contém todos esses vetores é chamado de subespaço gerado por $A$, e é o espaço de todas as combinações lineares dos vetores de $A$ . Vamos denotar esse subespaço vetorial por $[{\color{#1C9BBF}v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}]$ . Assim, temos que

$[{\color{#1C9BBF}v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}]=\{{\color{#20AC5B}\alpha_{1}}{\color{#1C9BBF}v_{1}}+{\color{#20AC5B}\alpha_{2}}{\color{#1C9BBF}v_{2}}+\dots+{\color{#20AC5B}\alpha_{n}}{\color{#1C9BBF}v_{n}}:{\color{#20AC5B}\alpha_{1},\alpha_{2},\dots\alpha_{n}\in\Bbb{R}}\}$ .

Outra notação muito usada para denotar este espaço vetorial, considerando que estamos sobre o corpo dos reais, é:

$[{\color{#1C9BBF}v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}]=\textrm{Span}_{\Bbb{R}}\{{\color{#1C9BBF}v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}\}$

Caso precise revisar combinações lineares, recomendo o material encontrado aqui.

Para ver alguns exemplos de conjuntos geradores de subespaços, veja alguns vídeos aqui.

4. Subespaços no $\Bbb{R}^{n}$

Existe um critério muito importante para determinar se um subconjunto de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{n}}$ é ou não um subespaço vetorial. O critério é:

"Todo subespaço de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{n}}$ é o conjunto solução de um sistema homogêneo com $n$ incógnitas."

Assim, se o subconjunto for conjunto solução de um sistema não homogêneo, não é um subespaço vetorial.

Vamos ver isto aplicado em um exemplo. Considere o seguinte sistema linear de $3$ incógnitas:

$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x-y+z=0 \end{cases}$

Este sistema é homogêneo, então seu conjunto solução será um subespaço vetorial de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{3}}$. Resolvendo este sistema você obtém o seguinte conjunto solução:

${\color{#20AC5B}W=[(-1,0,1)]}$

Que é um subespaço vetorial de ${\color{#EF8722}\Bbb{R}^{3}}$ .

Para ver encontrar exercícios sobre subespaços vetoriais, além de mais explicações, acesse a Estudar Com Você neste link: https://estudar.com.vc/cursos/subespacos-vetoriais?chosen_concept=11606.