Resumo: Vetores e Operações Vetoriais

Vetores

Para entender Geometria Analítica e Álgebra Linear, é essencial entender os conceitos e operações básicas com vetores. Além disso, vetores estão presentes em diversas outras áreas, como Mecânica Geral.

Neste resumo vamos entender o que são vetores, quais são as propriedades básicas de um vetor (módulo, direção e sentido) e como realizar operações básicas com vetores. Além disso, você também terá acesso a exercícios sobre vetores.

1. Definição de Vetores

Os vetores são segmentos de reta orientados, que ligam um ponto até outro. As propriedades básicas dos vetores são módulo, direção e sentido.

O módulo de um vetor é o seu comprimento. Denotamos o módulo de um vetor $\overrightarrow{v}$ por $\color{#9E3ACC}||\overrightarrow{v}||$ .

A direção de um vetor é a reta que liga os dois pontos dos vetor no espaço.

O sentido de um vetor é para onde a seta está apontando, partindo do ponto inicial ao ponto final do vetor.

É importante notar que um vetor é livre no espaço, ou seja, não importa a sua posição, mas apenas as três propriedades definidas acima. Veja este exemplo:

Exemplo de vetores iguais em posições diferentes

No cubo acima, o vetor $\color{#1C9BBF}\overrightarrow{AD}$ (que liga o ponto $A$ ao ponto $D$ ) é igual ao vetor $\color{#1C9BBF}\overrightarrow{BC}$ , pois possuem os mesmos módulos, direções e sentidos. Porém, o vetor $\color{#1C9BBF}\overrightarrow{AD}$ é diferente do vetor $\color{#C90000}\overrightarrow{EF}$ , pois possuem sentidos diferentes. Neste caso, dizemos que estes vetores são opostos, e podemos denotar isto por $\color{#1C9BBF}\overrightarrow{AD}\color{#3C3C3C}=-\color{#C90000}\overrightarrow{EF}$ .

O vetor nulo é denotado por $\overrightarrow{0}$ , e é o vetor que liga um ponto a ele mesmo. Por exemplo, no cubo acima, $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ .

É importante saber a diferença entre pontos e vetores. O espaço euclidiano $E^{3}$ é o conjunto de pontos de 3 coordenadas no espaço (como o mundo real), e o conjunto $V^{3}$ é o conjunto de vetores de três dimensões.

2. Operações com Vetores

Para realizar soma de dois vetores, vamos utilizar a regra do paralelogramo. Por exemplo, considere os vetores $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ na imagem abaixo. Para fazer a soma $\overrightarrow{a+b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ , você posiciona a origem do vetor $\overrightarrow{b}$ no ponto final do vetor $\overrightarrow{a}$ . A soma será o vetor que liga a origem de $\overrightarrow{a}$ no ponto final de $\overrightarrow{b}$ .

Para ficar mais fácil de visualizar, você pode desenhar um paralelogramo formado pelos vetores $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ como na imagem abaixo (com o ínicio dos dois vetores no mesmo ponto). Assim, o vetor soma será a diagonal deste paralelogramo.

Para realizar a subtração de dois vetores a lógica é parecida. Posicione os dois vetores $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ com a origem no mesmo lugar. O vetor subtração $\overrightarrow{a-b}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ é o vetor que tem a origem no ponto final do vetor $\overrightarrow{b}$ e termina no ponto final do vetor $\overrightarrow{a}$ . Veja o exemplo abaixo.

Outra forma de visualizar a subtração é fazer a soma do vetor $\overrightarrow{a}$ com o vetor oposto de $\overrightarrow{b}$ , isto é, o vetor $-\overrightarrow{b}$ .

Para ver alguns exemplos destas operações sendo feitas, você pode acessar este vídeo.

3. Propriedades das Operações com Vetores

As propriedades de soma e subtração de vetores são muito parecidas com as propriedades de números reais que estamos acostumados.

- Associatividade:

$(\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}\color{#3C3C3C})+\color{#EF8722}\overrightarrow{c}\color{#3C3C3C}=\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+(\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}\color{#3C3C3C}+\color{#EF8722}\overrightarrow{c}\color{#3C3C3C})$

Isto significa que pra somar mais de um vetor, tanto faz quais vetores você vai somar primeiro.

- Comutatividade:

$\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}\color{#3C3C3C}=\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}\color{#3C3C3C}+\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}$

Assim como nos números reais, não importa a ordem que você fizer a soma.

- Vetor nulo:

$\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#9E3ACC}\overrightarrow{0}\color{#3C3C3C}=\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}$

O vetor $\color{#9E3ACC}\overrightarrow{0}$ é o vetor neutro da soma. Adicionar ele a um outro vetor não mudará o resultado.

- Vetor oposto:

$\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+(\color{#C90000}-\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C})=\color{#9E3ACC}\overrightarrow{0}$

Geometricamente, o vetor $\color{#C90000}-\overrightarrow{a}$ é o vetor $\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}$ , porém com sentido oposto.

Podemos fazer também a operação de produto de um vetor por um escalar. Isto é, multiplicar um vetor por um número real qualquer. Se este número for positivo, você irá alterar apenas o módulo do vetor. Porém, se este número for negativo, você poderá alterar também o sentido do vetor. A direção, porém, permanece a mesma. Veja na imagem abaixo.

As propriedades do produto de vetor por escalar também são parecidas com as propriedades dos números reais.

- Distribuitividade com relação a soma de vetores:

$\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot(\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}\color{#3C3C3C})=\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot\color{#1C9BBF}\overrightarrow{b}$

- Distribuitividade com relação a soma de escalares:

$(\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}+\color{#9E3ACC}\beta\color{#3C3C3C})\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}=\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}+\color{#9E3ACC}\beta\color{#3C3C3C}\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}$

- Associatividade com relação a produto de escalares:

$(\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot\color{#9E3ACC}\beta\color{#3C3C3C})\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C}=\color{#EF8722}\alpha\color{#3C3C3C}\cdot(\color{#9E3ACC}\beta\color{#3C3C3C}\cdot\color{#20AC5B}\overrightarrow{a}\color{#3C3C3C})$

Para ver alguns exercícios de operações com vetores, clique aqui.

Se você quer saber mais sobre Vetores na Estudar Com Você, aproveite todo o nosso conteúdo, com vídeos e exercícios resolvidos: https://estudar.com.vc/cursos/vetores?chosen_concept=16481.

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