Resumo: Autovalores e Autovetores em Matrizes Especiais

Autovalores e Autovetores em Matrizes Especiais

Na Álgebra Linear existem certos tipos de operadores lineares e matrizes que possuem características muito importantes. Destas características pode se derivar muitos resultados e conclusões essenciais para o desenvolvimento de processos com estes operadores e matrizes.

Neste resumo você verá propriedades importantes sobre autovalores e autovetores em diversos tipos especiais de matrizes. Começaremos com matrizes idempotentes, autorreflexivas e nilpotentes. Depois veremos matrizes simétricas e hermitianas, matrizes ortogonais e unitárias e finalizaremos com o estudo de matrizes positivas definidas, bem como operadores positivos.

Para todo o resumo, ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})$ será uma matriz quadrada sobre um corpo $\Bbb{F}$ , que pode ser o corpo dos reais $\Bbb{R}$ ou o corpo dos complexos $\Bbb{C}$ . Basicamente isto quer dizer que as entradas da matriz ${\color{#20AC5B}A}$ podem ser tanto reais quanto complexas. Além disso, os autovalores de ${\color{#20AC5B}A}$ serão denotados por ${\color{#EF8722}\lambda_i}$ , com os respectivos autovetores ${\color{#9E3ACC}v_i}$ .

Todos os resultados apresentados neste resumo valem, respectivamente, para operadores lineares. Por exemplo, se determinado fato é válido para matrizes simétricas, também é válido para operadores simétricos.

1. Matrizes Idempotentes

A matriz ${\color{#20AC5B}A}$ é dita idempotente se o produto dela por ela mesma resulta na própria matriz ${\color{#20AC5B}A}$ , isto é:

${\color{#20AC5B}A}^{2}={\color{#20AC5B}A}$

Neste caso, os autovalores de ${\color{#20AC5B}A}$ só podem ser iguais a $0$ ou $1$ , e assim, obtemos o nosso primeiro resultado sobre autovalores e autovetores de tipos especiais de matrizes:

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é idempotente $\implies {\color{#EF8722}\lambda_i} =0$ ou ${\color{#EF8722}\lambda_i}=1$ 

2. Matrizes Autorreflexivas

A matriz ${\color{#20AC5B}A}$ é dita autorreflexiva se ela é igual a sua inversa, isto é, se o produto dela por ela mesma for igual à identidade:

${\color{#20AC5B}A}^2=I$

Neste caso, os autovalores de ${\color{#20AC5B}A}$ só podem ser iguais a $1$ ou $-1$ , e assim, obtemos o nosso segundo resultado sobre autovalores e autovetores em matrizes especiais:

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é autorreflexiva $\displaystyle \implies {\color{#EF8722}\lambda_i} =\pm1$ 

3. Matrizes Nilpotentes

A matriz ${\color{#20AC5B}A}$ é dita nilpotente se alguma potência sua for a matriz nula, isto é, se existe $k\in\Bbb{N}$ tal que:

${\color{#20AC5B}A}^k=0_{\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})}$

Neste caso, ${\color{#20AC5B}A}$ só possui um autovalor, que é $0.$ Resumindo:

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é nilpotente $\displaystyle \implies {\color{#EF8722}\lambda_i} =0$ 

Para os três casos citados anteriormente, a demonstração sai da aplicação direta da definição destes tipos especiais de matrizes, e você pode encontrar um vídeo explicando isto aq

ui.

4. Matrizes Simétricas e Hermitianas

A definição de matrizes simétricas e matrizes hermitianas é praticamente a mesma, apenas muda o corpo de constantes em que se está trabalhando.

- A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{R})$ é dita simétrica se for igual à sua transposta, isto é,

${\color{#20AC5B}A}={\color{#20AC5B}A}^{t}$

- A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{C})$ é dita hermitiana se for igual à sua transposta hermitiana, isto é

$\displaystyle{\color{#20AC5B}A}={\color{#20AC5B}A}^{*}$

Lembramos que a matriz ${\color{#20AC5B}A}^{*}$ representa a transposta da matriz ${\color{#20AC5B}A}$ conjugada, isto é, ${\color{#20AC5B}A}^*=\overline{{\color{#20AC5B}A}^{t}}$ .

Note que uma matriz simétrica pode ser entendida com um caso especial de matriz hermitiana, já que o conjugado de qualquer número real é o próprio número. Os dois resultados a seguir valem para ambos os casos de matrizes especiais definidos acima:

I) Os autovalores em uma matriz simétrica ou em uma matriz hermitiana serão sempre reais, isto é:

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é simétrica/hermitiana $\displaystyle \implies {\color{#EF8722}\lambda_i}\in\Bbb{R}$ 

II) Autovetores associados a autovalores distintos em matrizes simétricas ou em matrizes hermitianas são sempre ortogonais, isto é,

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é simétrica/hermitiana e ${\color{#EF8722}\lambda_i}\neq {\color{#EF8722}\lambda_j}\implies{\color{#9E3ACC}v_i}\bot {\color{#9E3ACC}v_j}$

Você pode encontrar uma demonstração destas duas propriedades clicando aqui.

5. Matrizes Ortogonais e Unitárias

Assim como na seção anterior, a definição de matrizes ortogonais e matrizes unitárias é praticamente a mesma, apenas muda o corpo em que se está trabalhando.

- A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{R})$ é dita ortogonal se sua transposta for igual à sua inversa, isto é:

${\color{#20AC5B}A}^{-1}={\color{#20AC5B}A}^{t} \iff {\color{#20AC5B}A} {\color{#20AC5B}A}^{t}=I$

Uma definição equivalente para matriz ortogonal é que suas colunas/linhas formem uma base ortonormal para $\Bbb{R}^{n}$ .

- A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{C})$ é dita unitária se sua inversa for igual à sua transposta hermitiana, isto é:

$\displaystyle{\color{#20AC5B}A}^{-1}={\color{#20AC5B}A}^{*}\iff{\color{#20AC5B}A} {\color{#20AC5B}A}^{*}=I$

Uma definição equivalente para matriz unitária é que suas colunas/linhas formem uma base ortonormal para $\Bbb{C}^{n}$ .

Assim como foi dito na seção anterior, uma matriz ortogonal pode ser entendida com um caso especial de matriz unitária, já que o conjugado de qualquer número real é o próprio número. Os dois resultados a seguir valem para ambos os casos de matrizes especiais definidas acima:

III) Os autovalores em uma matriz ortogonal ou em uma matriz unitária terão sempre módulo $1$ , isto é:

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é ortogonal/unitária $\displaystyle \implies ||{\color{#EF8722}\lambda_i}||=1$ 

IV) Autovetores associados a autovalores distintos em matrizes ortogonais ou em matrizes unitárias são sempre ortogonais, isto é,

Se ${\color{#20AC5B}A}$ é ortogonal/unitária e ${\color{#EF8722}\lambda_i}\neq {\color{#EF8722}\lambda_j}\implies{\color{#9E3ACC}v_i}\bot {\color{#9E3ACC}v_j}$

Vale lembrar que dois vetores complexos são ortogonais se, e somente se, a parte real do produto interno entre eles é $0$ , isto é:

${\color{#9E3ACC}v_i}\bot {\color{#9E3ACC}v_j} \iff \textrm{Re}\left(\left<{\color{#9E3ACC}v_i}, {\color{#9E3ACC}v_j}\right>\right)=0$

Você pode encontrar uma demonstração destas duas propriedades sobre matrizes especiais aqui.

6. Matrizes Positivas Definidas e Semidefinidas

A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})$ é dita positiva definida se ${\color{#20AC5B}A}$ for simétrica/hermitiana e:

$\left<{\color{#20AC5B}A}x,x\right> >0 \quad \forall x\in\Bbb{F}^{n}-\{0_{\Bbb{F}^{n}}\}$

A relaçao de matrizes positivas definidas com autovalores é a seguinte:

${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})$ é positiva definida $\iff$ ${\color{#20AC5B}A}$ for simétrica/hermitiana e ${\color{#EF8722}\lambda_i}>0,\forall i$

Isto significa que uma matriz será positiva definida se, e somente se, ela for simétrica/hermitiana e se todos os seus autovalores são maiores que zero.

Um operador linear é dito um operador positivo definido se a sua representação matricial é positiva definida.

A matriz ${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})$ é dita positiva semidefinida se ${\color{#20AC5B}A}$ for simétrica/hermitiana e:

$\left<{\color{#20AC5B}A}x,x\right> \geq0 \quad \forall x\in\Bbb{F}^{n}-\{0_{\Bbb{F}^{n}}\}$

A relaçao de matrizes positivas semidefinidas com autovalores é a seguinte:

${\color{#20AC5B}A}\in\Bbb{M}_{n}(\Bbb{F})$ é positiva semidefinida $\iff$ ${\color{#20AC5B}A}$ for simétrica/hermitiana e ${\color{#EF8722}\lambda_i}\geq0,\forall i$

Isto significa que uma matriz será positiva semidefinida se, e somente se, ela for simétrica/hermitiana e se todos os seus autovalores são maiores ou iguais a zero.

Um operador linear é dito um operador positivo semidefinido se a sua representação matricial é positiva semidefinida.

Note que os resultados de matrizes positivas definidas e semidefinidas são quase iguais, trocando-se apenas $>0$ por $\geq 0$ .

Para ver mais vídeos, exemplos e exercícios resolvidos sobre autovalores e autovetores em matrizes especiais, confira o material que a Estudar Com Você possui no link a seguir: https://estudar.com.vc/cursos/autovalores-autovetores-e-diagonalizacao#concept_17149.

Registre-se e continue a aula gratuitamente

Você poderá assistir de qualquer dispositivo