Resumo: Equações Diferenciais

pan class="pstrut" style="height: 2.7em;">i​(t)

EXEMPLO:

Considere o seguinte sistema:

$\begin{cases}{\color{#9E3ACC}x_1'(t)}={\color{#EF8722}x_1(t)}+2{\color{#EF8722}x_2(t)} \\ {\color{#9E3ACC}x_2'(t)}=2{\color{#EF8722}x_1(t)}+{\color{#EF8722}x_2(t)}\end{cases}$

Podemos escrevê-lo na notação matricial:

${\color{#9E3ACC}X'(t)}={\color{#20AC5B}A}{\color{#EF8722}X(t)}$

onde

${\color{#20AC5B}A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{bmatrix}}$

Neste caso, os autovalores de ${\color{#20AC5B}A}$ são ${\color{#1C9BBF}\lambda_1=1}$ e ${\color{#1C9BBF}\lambda_2=3}$ , com os autovetores ${\color{#F8719A}v_1=(1,-1)}$ e ${\color{#F8719A}v_2=(1,1)}$ respectivamente. Assim, obtemos duas soluções L. I. para o nosso sistema, que são

$\displaystyle {\color{#C90000}y_1(t)}={\color{#F8719A}v_1}e^{{\color{#1C9BBF}\lambda_1}t}={\color{#F8719A}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}}e^t$

${\color{#C90000}y_2(t)}={\color{#F8719A}v_2}e^{{\color{#1C9BBF}\lambda_2}t}={\color{#F8719A}\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}}e^{{\color{#1C9BBF}3}t}$

E a solução geral do sistema é dada por

${\color{#C90000}x(t)}=c_1 {\color{#C90000}y_1(t)}+c_2 {\color{#C90000}y_2(t)}$

Caso queira ver um vídeo falando sobre este exemplo, clique aqui.

2. Caso Complexo

Suponha que ${\color{#20AC5B}A}$ possua $n$ autovalores distintos, porém nem todos são reais. Por exemplo, se $\lambda_1={\color{#EF8722}\alpha}+{\color{#1C9BBF}\beta}i$ é um autovalor complexo, então seu conjugado $\lambda_2(t)={\color{#EF8722}\alpha}-{\color{#1C9BBF}\beta}i$ também será autovalor. Nesta seção vamos aprender como encontrar uma solução L.I. associada a estes autovalores para o sistema de equações diferenciais $X'(t)={\color{#20AC5B}A}X(t)$ .

Seja $v_1={\color{#EF8722}a}+{\color{#1C9BBF}b}i$ o autovetor associado a $\lambda_1$ (note que, aqui, ${\color{#EF8722}a}$ e ${\color{#1C9BBF}b}$ são matrizes colunas). O autovetor associado a $\lambda_2$ será o conjugado de $v_1$, que é $v_2={\color{#EF8722}a}-{\color{#1C9BBF}b}i$ . Para encontrar duas soluções L.I. neste caso, podemos proceder de forma diferente da seção 1. O objetivo é fazer com que as soluções sejam puramente reais, sem nenhum termo complexo.

As soluções que vamos tomar são as seguintes:

${\color{#C90000}y_1(t)}=e^{{\color{#EF8722}\alpha}t}\left({\color{#EF8722}a}\sin{\color{#1C9BBF}\beta} t-{\color{#1C9BBF}b}\cos{\color{#1C9BBF}\beta}t\right) \\ {\color{#C90000}y_2(t)}=e^{{\color{#EF8722}\alpha}t}\left({\color{#EF8722}a}\cos{\color{#1C9BBF}\beta} t+{\color{#1C9BBF}b}\sin{\color{#1C9BBF}\beta}t\right)$

Estas soluções podem ser obtidas usando a fórmula de Euler, que diz que

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

EXEMPLO:

Considere o sistema $X'(t)={\color{#20AC5B}A}X(t)$ , onde:

${\color{#20AC5B}A}=\begin{bmatrix}-\dfrac{1}{2} & 1 \\ -1& -\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}$

Neste caso, os autovalores são complexos. Basta tomar um deles para que possamos escrever as duas soluções L.I. para o sistema de EDOs. Considere o autovalor:

$\lambda_1={\color{#EF8722}-\dfrac{1}{2}}+{\color{#1C9BBF}1}i$

O autovetor associado é:

$v_1=\begin{bmatrix}1 \\ i\end{bmatrix}={\color{#EF8722}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}}+{\color{#1C9BBF}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}}i$

Assim, as duas soluções L.I. que podemos obter são:

${\color{#C90000}y_1(t)}=e^{{\color{#EF8722}-\frac{1}{2}}t}\left({\color{#EF8722}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}}\sin{\color{#1C9BBF}1} t-{\color{#1C9BBF}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}}\cos{\color{#1C9BBF}1}t\right)$

${\color{#C90000}y_2(t)}=e^{{\color{#EF8722}-\frac{1}{2}}t}\left({\color{#EF8722}\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}}\cos{\color{#1C9BBF}1} t+{\color{#1C9BBF}\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}}\sin{\color{#1C9BBF}1}t\right)$

E a solução geral será dada por

${\color{#C90000}x(t)}=c_1 {\color{#C90000}y_1(t)}+c_2 {\color{#C90000}y_2(t)}$

Você pode encontrar um outro exemplo sobre sistemas de equações diferenciais com autovalores complexos aqui.

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