Resumo: Espaços Vetoriais

pan class="vlist" style="height: 0.15em;">

Simbolizaremos este elemento por $x=-u$ , como já estamos acostumados.

III) Propriedades do Produto por Escalar

O produto por escalar em um espaço vetorial ${\color{#1C9BBF}V}$ deve satisfazer as propriedades a seguir. Sejam ${\color{#20AC5B}u},{\color{#EF8722}v}\in{\color{#1C9BBF}V}$ e ${\color{#9E3ACC}\alpha},{\color{#C90000}\beta}$ escalares. Então:

- Associatividade:

$({\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#C90000}\beta})\cdot{\color{#20AC5B}u}={\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot({\color{#C90000}\beta}\cdot{\color{#20AC5B}u})$

- Distributividade com relação à soma de escalares:

$({\color{#9E3ACC}\alpha}+{\color{#C90000}\beta})\cdot{\color{#20AC5B}u}={\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#20AC5B}u}+{\color{#C90000}\beta}\cdot{\color{#20AC5B}u}$

- Distributividade com relação à soma de vetores:

${\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot({\color{#20AC5B}u}+{\color{#EF8722}v})={\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#20AC5B}u}+{\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#EF8722}v}$

- Elemento Neutro: Multiplicar qualquer vetor pelo escalar $1$ resultará no próprio vetor.

$1\cdot{\color{#20AC5B}u}={\color{#20AC5B}u}$

3. Reconhecendo Espaços Vetoriais

Vimos na seção anterior que um espaço vetorial é um conjunto ${\color{#1C9BBF}V}$ com operações de soma e produto por escalar que satisfazem as propriedades listadas. Para reconhecer que um conjunto com tais operações definidas nele é de fato um espaço vetorial, você precisa testar que todas as propriedades acima valem para o seu conjunto. Se você encontrar alguma propriedade que não é satisfeita, já pode garantir que não é um espaço vetorial.

Por exemplo, considere o conjunto ${\color{#1C9BBF}V}={\color{#1C9BBF}[-2,2]}\subset\Bbb{R}$ , com as operações de soma e produto usuais de $\Bbb{R}$ . Como ${\color{#1C9BBF}V}$ é um subconjunto de $\Bbb{R}$ , todas as propriedades de soma e produto por escalar valem em ${\color{#1C9BBF}V}$ , pois valem em $\Bbb{R}$ . Porém, considere os seguintes dois vetores: $1,2\in {\color{#1C9BBF}V}$ . Veja que, ao somar os dois, obtemos o número $3$ , que não é elemento de ${\color{#1C9BBF}V}$ , assim, ${\color{#1C9BBF}V}$ não é fechado com relação à soma (é fácil mostrar também que não é fechado com relação ao produto por escalar, tente fazer isto), logo, não é espaço vetorial.

Se tivermos a soma usual e o produto usual, basta testar apenas as propriedades fechadas (seção 2.I). Se a soma e a multiplicação forem fechadas, então o conjunto é espaço vetorial.

4. Propriedades dos Espaços Vetoriais

Vamos mostrar, nesta seção, algumas propriedades que seguem diretamente da definição de espaço vetorial dada na seção 2.

A) Unicidade do Elemento Neutro/Nulo

Só existe um vetor que é o elemento neutro da soma $0_V$.

$\exists !\, 0_V\in{\color{#1C9BBF}V}\, : \,{\color{#20AC5B}u}+0_V={\color{#20AC5B}u}, \quad\forall {\color{#20AC5B}u}\in{\color{#1C9BBF}V}$

B) Unicidade do Elemento Oposto

Para cada ${\color{#20AC5B}u}\in$ ${\color{#1C9BBF}V}$, existe um único elemento, denotado por $-u\in{\color{#1C9BBF}V}$ tal que:

${\color{#20AC5B}u}+(-u)=0_V$

C) Lei do Cancelamento para Soma

A regra que aprendemos na escola de "passar para o outro lado da equação" vale para vetores em um espaço vetorial.

${\color{#20AC5B}u}+{\color{#EF8722}v}={\color{#20AC5B}u}+{\color{#C90000}w}\quad \iff \quad {\color{#EF8722}v}={\color{#C90000}w}$

D) Regularidade do Elemento Neutro

Um vetor multiplicado por um escalar resulta num vetor nulo se, e somente se, o vetor é o vetor nulo ou o escalar é 0.

${\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#20AC5B}u}=0\iff {\color{#20AC5B}u}=0\,\textrm{ ou }\,{\color{#9E3ACC}\alpha}=0$

E) Lei do Cancelamento para Produto por Escalar

A regra que aprendemos na escola de "passar pro outro lado da equação" vale para os escalares que multiplicam vetores em um espaço vetorial.

$\textrm{Se }\,{\color{#9E3ACC}\alpha}\neq 0, \textrm{ então }\,{\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#20AC5B}u}={\color{#9E3ACC}\alpha}\cdot{\color{#EF8722}v} \iff {\color{#20AC5B}u}={\color{#EF8722}v}$

Saber todas as propriedades listadas nesta seção é útil para conseguir reconhecer mais rapidamente que determinado conjunto não é espaço vetorial. Basta verificar que não satisfaz alguma das 5 propriedades acima. Porém, para provar que determinado conjunto é, de fato, um espaço vetorial, não é suficiente provar que valem estas 5 propriedades. Você precisa usar as definições dadas na Seção 2.

Para ver um exercício resolvido sobre reconhecimento de espaços vetoriais, clique aqui.

5. Espaços Vetoriais mais Relevantes

Aqui vamos apresentar os espaços vetoriais mais importantes que você precisa conhecer para o futuro de Álgebra Linear.

1) Espaço Euclidiano

Denotaremos por $\Bbb{R}^{n}$ o conjunto de todos os vetores de $n$ coordenadas reais. As operações de soma e produto por escalar são as mesmas às quais estamos acostumados no $V^3$ . O elemento neutro é o vetor com zero em todas as entradas.

Por exemplo, vale que $(2,-1,0,3)\in\mathbb{R}^3$.

2) Polinômios com Coeficientes Reais

Denotaremos por $\Bbb{P}_n(\Bbb{R})$ o conjunto de todos os polinômios de grau menor igual a $n$ com coeficientes reais. As operações de soma e produto por escalar são as mesmas que estamos acostumados em polinômios. O elemento neutro é o polinômio nulo.

Por exemplo, vale que $p(x)=a+bx+cx^2 \in P_n(\mathbb{R})$.

3) Matrizes com Entradas Reais

Denotaremos por $M_{m\times n}(\Bbb{R})$ o conjunto de todas as matrizes de tamanho $m\times n$ com entradas reais. As operações de soma e produto por escalar são as mesmas que estamos acostumados em polinômios. O elemento neutro é a matriz que possui zero em todas as suas entradas.

Por exemplo, vale que $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.

4) Funções Reais

Denotaremos por $F(\Bbb{R},\Bbb{R})$ o conjunto de todas as funções $f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$ . As operações de soma e produto por escalar são as mesmas que estamos acostumados a fazer em funções. O elemento neutro é a função constante igual a zero.

Por exemplo, vale que $f(x)=e^x \in F(\mathbb{R},\mathbb{R})$.

Para saber mais sobre Espaços Vetoriais, a Estudar com Você possui um material completo, com videoaulas, exercícios resolvidos e exemplos. Basta clicar no link a seguir para ter acesso: https://estudar.com.vc/cursos/1150-espacos-vetoriais?chosen_concept=11602