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Resumo: Produto Misto

Resumo: Produto Misto

Produto Misto


O Produto Misto é mais uma forma de definir produto entre vetores na Geometria Analítica e Álgebra Linear; no entanto, o produto misto é uma operação que envolve três vetores. Para entender produto misto é necessário ter um bom domínio de Produto Escalar e Produto Vetorial, que você pode encontrar nesses links.


Neste resumo você aprenderá a definição de produto misto, as propriedades do produto misto, interpretações geométricas do produto misto e como calcular um produto misto em bases ortonormais.


1. Definição de Produto Misto


O produto misto entre os vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} , v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}} é denotado por [u→,v→,w→]\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right] e é definido da seguinte forma:


[u→,v→,w→]=(u→∧v→)⋅w→\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]=\left({\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\wedge{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\right)\cdot{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}


Note que, para que esta expressão faça sentido, é necessário que a primeira operação feita seja o produto vetorial. Caso façamos o produto escalar primeiro, teríamos que fazer um produto vetorial entre um número e um vetor, que não é possível.


Assim, o produto misto resulta em um número, cujo módulo satisfaz:


∣[u→,v→,w→]∣=∣∣u→∣∣⋅∣∣v→∣∣⋅sin⁡θ⋅∣∣w→∣∣⋅cos⁡ϕ\left\vert\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]\right\vert=\vert\vert{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\vert\vert\cdot\vert\vert{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\vert\vert\cdot\sin{\color{#9E3ACC}\theta}\cdot\vert\vert{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\vert\vert\cdot\cos{\color{#F8719A}\phi}


Onde θ{\color{#9E3ACC}\theta} é o menor ângulo entre u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} e v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} , e ϕ{\color{#F8719A}\phi} é o menor ângulo entre u→∧v→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\wedge{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}.


2. Propriedades do Produto Misto


Nesta seção vamos aprender as principais propriedades do produto misto.


I) Produto Misto Entre Vetores L.D.


Se os vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} , v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}} são todos não nulos, temos que o conjunto {u→,v→,w→}\left\{{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right\} é L.D. se, e somente se, seu produto misto é zero:


{u→,v→,w→} eˊ L.D.   ⟺  [u→,v→,w→]=0\left\{{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right\}\textrm{ é L.D. }\iff \left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right] =0


II) Associatividade dos Operadores


O produto misto entre três vetores pode ser feito trocando a ordem das operações, mas sem trocar a ordem dos vetores.


(u→∧v→)⋅w→=u→⋅(v→∧w→)\left({\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\wedge{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\right)\cdot{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}={\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\cdot\left({\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\wedge{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right)


III) Anticomutatividade


Trocar a ordem de dois vetores no produto misto mudará seu sinal:


[u→,v→,w→]=−[u→,w→,v→]\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right] = -\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\right] 


[u→,v→,w→]=−[v→,u→,w→]\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right] = -\left[{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]


Note que, se trocarmos dois vetores de lugar duas vezes, o sinal se manterá o mesmo no final:


[u→,v→,w→]=−[u→,w→,v→]=[v→,w→,u→]\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right] = -\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}}\right] =\left[{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}},{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}\right]


IV) Distributividade com Relação à Soma de Vetores


[u→+z→,v→,w→]=[u→,v→,w→]+[z→,v→,w→]\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}}+{\color{#C90000}\overrightarrow{z}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]=\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]+\left[{\color{#C90000}\overrightarrow{z}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]

pan class="mopen delimcenter" style="top: 0em;">[z,v,w]


V) Distributividade com Relação ao Produto por Escalar


α⋅[u→,v→,w→]=[α⋅u→,v→,w→]{\color{#C90000}\alpha}\cdot\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]=\left[{\color{#C90000}\alpha}\cdot{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]


Para ver um exercício resolvido sobre a definição de produto misto, clique aqui.


3. Interpretação Geométrica do Produto Misto


A) Paralelepípedo


Sabemos que, se tomarmos dois vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} e v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} não paralelos (isto é, são L.I.), podemos considerar o paralelogramo formado por eles. Tomando três vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} , v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}} L.I., podemos considerar o paralelepípedo formado por eles, como na imagem abaixo.


Produto Misto: Paralelepípedo
Paralelepípedo

O volume deste paralelepípedo será o módulo do produto misto entre os vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} , v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}:


Volume(Paralelepıˊpedo)=∣[u→,v→,w→]∣\textrm{Volume(Paralelepípedo)}=\left\vert\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]\right\vert


A altura deste paralelepípedo será dada por (considere u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} e v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} como os vetores da base):


Altura(Paralelepıˊpedo)=∣[u→,v→,w→]∣∣∣u→∧v→∣∣\textrm{Altura(Paralelepípedo)}=\dfrac{\left\vert\left[{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}},{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}},{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}\right]\right\vert}{\vert\vert{\color{#ef8722}\overrightarrow{u}}\wedge{\color{#20ac5b}\overrightarrow{v}}\vert\vert}


B) Volume do Tetraedro


Um tetraedro é uma pirâmide com base triangular. Dados três vetores u→{\color{#EF8722}\overrightarrow{u}} , v→{\color{#20AC5B}\overrightarrow{v}} e w→{\color{#1C9BBF}\overrightarrow{w}}