Exercício Resolvido Polinômio Minimal

O polinômio minimal $m_A(\lambda)$ de $A$ possui os mesmos fatores irredutíveis do polinômio característico $p_A(\lambda)$ . Como este é o polinômio:

$p_A(\lambda)=(\lambda-i)^3(\lambda+2)^2(\lambda+5)$

Então os fatores irredutíveis do polinômio minimal $m_A(\lambda)$ são:

$(\lambda-i)\;,\quad (\lambda+2)\quad \textrm{e}\quad (\lambda+5)$

Pela definição, o polinômio minimal é o polinômio de menor grau que zera na matriz $A$. Por isso, os expoentes de cada fator irredutível em $m_A$ devem ser positivos e menores ou iguais aos expoentes dos fatores irredutíveis em $p_A$.

Ou seja, o polinômio minimal é um polinômio da forma:

$p_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}a}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}b}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}c}$

Onde:

${\color{#20AC5B}a}=1,2\textrm{ ou }3; \\ {\color{#1C9BBF}b}=1 \textrm{ ou } 2 ; \\ {\color{#EF8722}c}=1.$

Podemos listar todas estas possibilidades:

${\color{#20ac5b}a=1},{\color{#1c9bbf}b=1},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}1}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}1}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1}\\ {\color{#20ac5b}a=1},{\color{#1c9bbf}b=2},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}1}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}2}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1}\\ {\color{#20ac5b}a=2},{\color{#1c9bbf}b=1},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}2}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}1}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1} \\ {\color{#20ac5b}a=2},{\color{#1c9bbf}b=2},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}2}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}2}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1} \\ {\color{#20ac5b}a=3},{\color{#1c9bbf}b=1},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}3}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}1}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1} \\ {\color{#20ac5b}a=3},{\color{#1c9bbf}b=2},{\color{#ef8722}c=1}\implies m_A(\lambda)=(\lambda-i)^{\color{#20AC5B}3}(\lambda+2)^{\color{#1C9BBF}2}(\lambda+5)^{\color{#EF8722}1}$