Exercício Resolvido Polinômio Minimal

Como o polinômio minimal de $A$ é:

$m_A(\lambda)=\lambda^2$

$A$ é uma matriz ${\color{#ef8722}3}\times {\color{#ef8722}3}$ e $m_A$ e $p_A$ possuem os mesmos fatores irredutíveis, temos que o polinômio característico de $A$ é:

$p_A(\lambda)=\lambda^{\color{#ef8722}3}$

Assim, $A$ possui apenas um autovalor, que é ${\color{#9E3ACC}\lambda=0}$. Mas note que ${\color{#9E3ACC}\lambda=0}$ possui multiplicidade algébrica $2$ em $m_A$, logo $A$ não é diagonalizável ($A$ seria diagonalizável se o autovalor tivesse multiplicidade algébrica $=1$ no polinômio minimal).

Porém, mesmo que $A$ não tenha uma forma diagonal, ela possui uma forma canônica de Jordan. As duas possibilidades para esta forma canônica são:

$\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 1 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix} \quad \textrm{e}\quad \begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}$

Como:

$m_A(\lambda)=\lambda^2$

Precisamos de uma matriz $A$ que satisfaça:

$A^2=0$

Para a primeira possibilidade de forma canônica de Jordan, temos

$\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 1 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 1 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 1 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

O resultado obtido não é a matriz nula, logo a primeira possibilidade não é válida.

Para a segunda possibilidade de forma canônica de Jordan, temos

$\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\color{#9E3ACC}0} & 1 & 0 \\ 0 & {\color{#9E3ACC}0} & 0 \\ 0 & 0 & {\color{#9E3ACC}0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Como o resultado obtido é a matriz nula, podemos tomar esta matriz como a matriz $A$. Assim:

$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$