Exercício Resolvido Formas Quadráticas

Temos a seguinte forma quadrática:

$Q(x,y)={\color{#EF8722}3}x^2{\color{#20AC5B}-3}y^2{\color{#1C9BBF}-8}xy$

Esta forma possui a seguinte matriz:

$[Q]=\begin{bmatrix}{\color{#EF8722}3} & {\color{#1C9BBF}-4} \\ {\color{#1C9BBF}-4} & {\color{#20AC5B}-3} \end{bmatrix}$

Queremos encontrar uma base $\beta$ tal que:

$[Q(x,y)]_\beta=ax^2+by^2$

Esta base é a base dada pelos autovetores da matriz $[Q]$, visto que não deve haver termos mistos $(xy)$ na forma quadrática acima. Primeiro, encontremos os autovalores. O polinômio característico é:

$P_Q(\lambda)=\det([Q]-\lambda\cdot I)$

$P_Q(\lambda)=(3-\lambda)(-3-\lambda)-16=\lambda^2-25=(\lambda-5)(\lambda+5)$

Assim, os autovalores são ${\color{#9E3ACC}\lambda_1=5,\lambda_2=-5}$. Encontremos os autovetores ${\color{#9E3ACC}U_1},{\color{#9E3ACC}U_2}$ associados a cada autovalor. Basta resolver, para cada autovalor ${\color{#9E3ACC}\lambda}$, a equação $(A-{\color{#9E3ACC}\lambda}I){\color{#9E3ACC}U}=\overline{0}$. Teremos:

${\color{#9E3ACC}\lambda_1=5}\implies$$\begin{bmatrix}-2 & -4 \\ -4 & -8\end{bmatrix}{\color{#9E3ACC}U_1}=\overline{0}\implies {\color{#9E3ACC}U_1=(-2,1)}$,

${\color{#9E3ACC}\lambda_2=-5}\implies$$\begin{bmatrix}8 & -4 \\ -4 & 2\end{bmatrix}{\color{#9E3ACC}U_2}=\overline{0}\implies {\color{#9E3ACC}U_2=(1,2)}$

Assim, na base $\beta$, $Q$ é dada por:

$[Q(x,y)]={\color{#9E3ACC}\lambda_1}x^2+{\color{#9E3ACC}\lambda_2}y^2={\color{#9E3ACC}5}x^2{\color{#9E3ACC}-5}y^2$ .