Definição de Subespaço Vetorial
Agora, vamos ver como reconhecer subespaços no papel aqui nesses exemplinhos.
Se a gente tiver que o espaço vetorial é o R 2, com as operações de soma e produto por escalar que já conhecemos.
Vamos pegar esse subconjunto S bonitão aqui.
Já vemos de cara que o elemento neutro tá aqui, é o zero zero.
Vamos checar as operações então.
Se a gente somar o vetor 1 1 com o vetor 2 2, vamos ter o vetor 3 3.
Só que isso tá fora do subconjunto, né¿ Então, ele não pertence a S.
Então, isso aqui não é um subespaço.
Vamos brincar agora com as matrizes 3x2.
Vamos pegar esse subconjunto bonitão aqui.
Mas pera, o subconjunto que eu to pegando é o próprio espaço das matrizes 3x2.
Pode isso, Arnaldo¿ Pode!
Afinal, o conjunto
é subconjunto dele mesmo, ué.
Então, como já sabemos que é espaço vetorial, então as matrizes 3x2 são um subespaço vetorial.
Agora, e se a gente tivesse o subconjunto só do vetor nulo, é subespaço¿ Bom, vamo vê né.
Já sabemos que com certeza o vetor nulo tá nele, né¿ Bom, agora como só tem um elemento, sempre que a gente somar o elemento neutro com ele mesmo, vai dar o elemento neutro.
Então, a soma está contida nesse subconjunto.
Agora, se multiplicarmos o vetor nulo por um escalar, ele vai continuar sendo o vetor nulo, sempre.
Portanto, o produto por escalar também está sempre contido.
Então, temos que sim, o subconjunto formado somente pelo elemento neutro é sempre subespaço.
Da hora ne¿ Vamo prum exemplinho mais tenso agora.
Vamo testar agora com o espaço P n e considerar o subconjunto de todos os polinômios p com grau m menor que n.
Bom, se todos os coeficientes desse polinômio de grau m forem zero, ele é o polinômio nulo, então o vetor nulo do espaço ta aqui pelo menos.
Agora, se formos somar polinômios de grau m menor ou igual a n, só vamos ter polinômios de grau menores que n, né¿ Porque não conseguimos aumentar o grau de polinômios se somamos dois polinômios de mesmo grau, pois somamos cada variável com um grau m com a outra variável de mesmo grau m, e continua com grau m.
Então, a soma está contida nesse subespaço.
Agora, se multiplicarmos um polinômio por um escalar, ele vai manter o grau também né¿ Então, a multiplicação por escalar também está contida nesse subconjunto e, assim, S é um subespaço vetorial.
Pera!
Parece mais simples do que deveria né¿ E vai ficar mais fácil ainda conforme vocês se acostumarem com essa brincadeira;)
