Reconhecendo Subespaços Vetoriais
Vamo agora prum exercicinho que dá pra gente 5 subconjuntos e pede pra gente verificar se eles são, ou não, subespaços vetoriais.
Vamo lembrar primeiro então o que precisa acontecer pra um subconjunto ser um subespaço.
Precisamos que, em primeiro lugar, ele tenha o vetor nulo do espaço vetorial.
Em segundo e terceiro lugar, precisamos que a soma e o produto por um escalar real estejam contidos nesse subconjunto.
Na A, temos que o espaço vetorial é o R3 e dai o subconjunto são todos os vetores que tem a primeira coordenada igual a zero e tanto faz as outras duas.
Então, pra começar, o vetor nulo, que é 0,0,0, está contido sim nesse subconjunto.
Agora, vamo considerar dois vetores desse subconjunto, 0, y1, z1 e 0, y2, z2.
Quando formos somar eles, com a soma normal que já sabemos fazer nos reais, vamos ter o vetor 0, y1 mais y2, z1 mais z2.
Esse vetor ainda tá em S né¿ Porque basta que a primeira coordenada seja zero.
Então, S é fechado pra soma.
Falta só checar o produto por escalar.
Se fizermos lambda vezes o vetor 0, y e z, só multiplicar cada coordenada pelo escalar, como estamos acostumados.
Daí, vamos ter o vetor 0, lambda vezes y e lambda z.
Assim, como a primeira coordenada ainda é zero, S também
é fechado para o produto por escalar e esse é um subespaço vetorial.
Vamo ver a B agora então.
A única exigência do subconjunto S é que a coordenada x seja um valor inteiro.
Bom, o vetor nulo tá contido então já, certeza.
Agora, quando formos somar, a soma de números inteiros sempre dá um número inteiro, então esse subconjunto tá fechadinho pra soma.
Só que, no produto por escalar, temos que lambda pode ser qualquer valor real.
Então, fazendo lambda vezes x, y, z, vamos ter o vetor lambda x, lambda y e lambda z.
Assim, se lambda fosse, por exemplo, raiz de 2, já ia zuar tudo né¿ Porque raiz de 2 é um número real, só que ta longe de ser inteiro.
Então x vezes raiz de 2 não ia ser inteiro, e daí vai tá fora de S.
Logo, a B não é subespaço.
Vamo checar a C então.
Ela começa a falar de matrizes agora.
Esse subconjunto S é formado por todas as matrizes 2 por 2 que são invertíveis.
Só que ai já temos um problema.
Pra uma matriz ser invertivel, ela precisa ter o determinante diferente de zero.
Mas a matriz nula tem o determinante zero, ué.
Então, S não contem o vetor nulo e portanto, não pode ser um subespaço.
Então vamo pra D.
Na D, temos o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3 e queremos que o polinômio seja maior ou igual a zero, pra qualquer valor de t.
Ou seja, o polinômio nulo com certeza tá dentro, porque ele vale zero sempre ué.
Agora, se dois polinômios são positivos, com certeza a soma deles também vai ser positiva, ora bolas.
Então, S tá fechadinho pra soma também.
Só que agora, no produto por escalar, temos que lambda vezes p de t precisaria ser sempre maior ou igual a zero.
Mas isso precisa valer pra qualquer valor real e, se lambda for negativo, zicou tudo.
Então, a D não é subespaço.
Vamo, pra acabar, checar a E então.
A E pega o espaço com todos os polinômios existentes e forma o subespaço com os polinômios em que p, quando a variável vale 0, é igual a 2 vezes p quando a variável vale 1.
Ora, o vetor nulo tá ai dentro, porque ele sempre vale zero, uai.
Então ta check.
Agora, quanto a soma, se tivermos dois vetores, p1 e p2, calculados no valor zero.
Como na soma de polinômios é só somar as variáveis de mesmo grau, isso dá na mesma que fazer o polinômio p1 mais p2 e dai calcular isso no valor zero.
Então, p1 de 0 mais p2 de zero é igual a 2 vezes p1 de 1 mais 2 vezes p2 de 1.
Só que, como esse lado é igual a p1 mais p2 de zero, podemos fazer igual do outro, e vai ficar 2 vezes p1 mais p2 de 1.
Assim, essa soma também ta contida em S.
Agora, falta só checar o produto por escalar.
Só que esse ai é de boinha.
Se multiplicarmos o polinômio p por lambda, vai multiplicar por lambda dos dois lados da igualdade e, assim, é só cortar os lambdas e a igualdade continua valendo.
Então, S é fechado pro produto por escalar também e, portanto, é um subespaço.
