Sistemas Lineares e Subespaços no Espaço Vetorial dos Reais (Rn)
Galerinha, agora a gente vai aprender algo explosivo do Rn que vai ajudar muito a vida de vocês pra essa P3.
Vamos aprender como relacionar os subespaços do Rn com sistemas.
Bom, sendo direto e reto então, todo subespaço de Rn é um conjunto solução de um sistema homogêneo com n incógnitas Se o sistema for não homogêneo, então o conjunto solução não forma um subespaço de Rn, porque não teremos o vetor nulo na solução ne¿ Então, vamos ver basicamente como a gente vai fazer isso, rapaziada, resolvendo dois sisteminhas bonitões.
Vamo começar por esse aqui.
Bom, ele tem duas equações para três incógnitas, então já sabemos de cara que ele vai ser SPI.
Bom, vamos resolver
então.
Podemos fazer escalonando a matriz dos coeficientes, mas é tão simples que nem precisa.
Se a gente somar a linha 1 com a 2, vamos ter que 2x mais 2z é zero.
E se subtrairmos a linha 2 da linha 1, vamos ter que 2y é zero.
Então, temos que y é zero e x é igual a –z.
Portanto, o conjunto solução desse sistema é –z, 0, z.
Se nós fatorarmos o z, vamos ter que o conjunto solução é z vezes -1, 0, 1.
Mas pera, o vetor -1, 0, 1 está no R3, né¿ Então, temos que -1, 0, 1 é um conjunto gerador de um subespaço W do R3.
E é basicamente assim que conseguimos um subespaço no R3 com um sistema homogêneo de 3 incógnitas.
Agora, vamos brincar com esse sistema maiorzinho.
A gente tem que ele tem cinco incógnitas né ¿ Então, vamos conseguir um subespaço no R5 com esse sistema.
Como ele é maiorzinho, vamos escalonar a matriz dos coeficientes para facilitar.
Escalonando, ficamos com isso.
Agora, vamos voltar para as nossas incógnitas e ficar com isso.
Só que vamos precisar de duas variáveis livres ainda, né¿ Porque temos 5 incógnitas e restamos com as mesmas 3 equações.
Então, vamos deixar o x4 e o x5 livres e escrever todos os outros em função deles.
Assim, chegaremos nesses valores.
Portanto, escrevendo o conjunto solução, teremos que ele é assim.
Vamos separar as parcelas com x4 das parcelas com x5, assim.
Agora, podemos novamente isolar esses termos, e ficaremos com o conjunto solução dessa forma.
Então, esses dois vetores são geradores de um subespaço X do R5.
Bonito né?
Isso vai ajudar muito a gente mais pra frente, então vamo seguir aprendendo!
