Bases Canônicas em Espaços Vetoriais
Bom galerinha, agora vamos aprender algo que vai chocar seu mundo.
São as amadas bases canônicas.
Nãonãonão, pera la, não tem nada a ver com canoas não, deixa eu tirar isso dai.
Bases canônicas são as bases mais simples e mais intuitivas dos espaços vetoriais.
Então, por exemplo, vamos pegar o R4.
A gente precisa de 4 vetores LI para formar uma base nesse espaço.
Então, os mais simples são os que tem 1 em uma das coordenadas e zero em todas as outras, assim.
O primeiro vetor da base tem o 1 na primeira coordenada, o segundo na segunda, e assim por diante.
Dá pra ver que assim realmente conseguimos gerar qualquer vetor do R4 com esses quatro.
Se a gente pegar o vetor 2, 4, 1, 2, ele vai ser 2 vezes o primeiro mais 4 vezes o segundo mais 1 vez o terceiro mais 2 vezes o quarto.
Repara que, no Rn, então, as coordenadas
do vetor na base canônica é o próprio vetor.
Agora, se formos expandir isso para o Rn, vai ser a mesma lógica, com 1 em uma das coordenadas de cada vetor e zero em todas as outras, até a última coordenada no último vetor, assim.
Agora, e para as matrizes, qual pode ser a base canônica delas¿ De novo, se tivermos as matrizes 2x2, parece ser muito simples só usar a mesma lógica do Rn.
Vamos por 1 em uma das posições e zero em todas as outras, assim.
Parece bem simples né¿ Então, para matrizes de m linhas e n colunas, vai ser assim a sua canônica.
Agora, e para os polinômios¿ Vamos precisar que nossa base tenha um vetor que gere as constantes e um vetor que gere cada x elevado a um grau diferente.
Por exemplo, no P2, temos que a base canônica é 1, x e x quadrado.
O primeiro serve para conseguirmos as constantes, o segundo para conseguirmos as variáveis de primeiro grau e o último para as variáveis de segundo grau.
Então, temos que no Pn de x, temos que os vetores da base serão assim, em que o último vai ser x elevado a n.
Mas e se for só o espaço vetorial P, que possui todos os polinômios existentes¿ Então, pra tentarmos escrever uma base pra esse espaço, a gente teria que usar todos os graus existentes até infinito.
Não vamos tentar fazer isso, porque não precisamos nesse curso, então é mais suave galerinha.
Agora, para funções, da mesma forma que para o espaço dos polinômios, precisaríamos de infinitos vetores para tentar formar uma base desse espaço, então não vamos definir uma base canônica pela quantidade infinita de vetores que teríamos que usar.
Só resumindo então pra vocês, a base canônica do Rn é essa, a das matrizes de um tamanho m por n é essa e a dos polinômios de grau n é essa.
Prestaram atenção em quantos vetores precisamos em cada exemplo pra formar uma base¿ Esses números vão ser importantes no futuro, então fiquem atentos e vamo com tudo;)
