Consequências da Definição de Dimensão de um Espaço Vetorial e Teorema do Completamento
Bom galerinha, a gente viu váaarios conceitos até agora para essa P3, mas vou ter que concordar com vocês, muitos deles são meio abstratos e tal.
Afinal, a gente vive no R3 e tudo mais, mas o que é o R4 tá ligado¿ A gente não vê essas paradas, pode ter qualquer coisa já, uns monstros e pa.
Então, ‘vamo’ dá uma recapitulada junto nesse monte de teoria pra não deixar nada passar e juntar tudo na cachola.
Pra começar, espaços vetoriais são conjuntos de qualquer coisa que tenham uma operação de adição e outra de produto por escalar que obedeçam a 8 propriedades bonitinhas.
Já subespaços vetoriais são subconjuntos que tem as mesmas operações dos espaços vetoriais onde estão e que também são espaços vetoriais.
Um jeito muito fácil de checar se um conjunto é subespaço é se ele tem o vetor nulo.
Algo importante de subespaços é que um subespaço vetorial do Rn é sempre um conjunto solução de um sistema homogêneo.
Além disso, temos que um conjunto gerador de um espaço vetorial é um grupo de vetores que consegue gerar qualquer vetor daquele espaço com uma combinação linear entre eles.
Se os vetores desse conjunto gerador forem LI, então temos uma base desse espaço vetorial.
Bases canônicas são bases simples e rápidas de pensar.
No Rn, usamos essa, nas matrizes, usamos essa, e para os polinômios de grau n, usamos essa.
Além disso, temos que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base.
Com isso, todas as bases de um espaço tem o mesmo número de elementos.
A dimensão do Rn é sempre n, a dimensão das matrizes m por n é sempre m vezes n,
e a dimensão dos polinômios de grau n é sempre n mais 1, por causa da constante.
Além disso, todo conjunto LI está contido em uma base e todo conjunto gerador contém uma base do espaço vetorial.
Agora, se a dimensão de um espaço vetorial for n, e n for um valor finito, então qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores e um conjunto LI com n vetores é uma base desse espaço vetorial.
Já um conjunto gerador tem no mínimo n vetores, e se tivermos um conjunto gerador de V com n vetores, então ele é uma base.
Nessa aula a gente vai aprender a brincarmos um pouco mais com o conceito de base e de dimensão.
Sabemos que base é um conjunto gerador LI de um espaço vetorial e que todas as bases de um mesmo espaço tem a mesma dimensão.
Agora, se bases são conjuntos LI que geram todos os vetores em um espaço vetorial, se a dimensão do espaço é n, então o máximo de vetores LI nesse espaço vetorial é de n vetores.
Porque todos os vetores desse espaço vetorial vão ser combinação linear de algum dos vetores da base.
Portanto, temos que se a dimensão de um espaço vetorial é n, então as bases desse espaço vetorial tem sempre n vetores e o máximo de vetores LI nesse espaço vetorial é de n vetores.
Agora, vamos aprender que na verdade tudo isso é igualzinho aquela feijoadona na casa da avó.
Você precisa de feijão, lingüiça, arroz, farofa e uma couve pra ter aquela feijoadona.
Então, é como essa fosse a base do espaço vetorial feijoada.
Se a gente tivesse tudo isso mais uma orelha de porco ou uma costelinha, ainda estaríamos conseguindo gerar uma feijoada, só que temos mais que o necessário e podemos ter uma feijoada se tirarmos isso.
Só que e se não tivéssemos lingüiça¿ Pô, sem lingüiça não é feijoada, não conseguimos gerar uma feijoada.
Então, todos os elementos ainda são pertencentes a uma base da feijoada, mas falta coisa pra ser base da feijoada.
Se a gente acrescentasse a lingüiça, ai conseguiríamos uma base da feijoada.
E vai ser a mesma lógica do teorema do completamento.
Tem um teorema que chama teorema do completamento que diz que podemos conseguir uma base de um espaço vetorial V de dimensão n tanto a partir de um conjunto LI com menos que n vetores quanto a partir de um conjunto gerador com mais que n vetores.
Vamos começar vendo quando temos um conjunto LI com menos vetores que na base.
Vamos pegar um espaço vetorial V com dimensão n e esse conjunto LI com 3 vetores.
Se formos adicionando mais vetores nesse conjunto, contanto que o conjunto continue LI, em algum momento vamos chegar em um número de n vetores e assim, ter uma base.
Então, os vetores que a gente vai adicionando é como se fosse a lingüiça que faltou naquela feiojada da avó.
Portanto, todo conjunto LI de um espaço vetorial está contido em alguma base do espaço e podemos ir completando esse conjunto até chegar nessa base.
Agora, se tivermos o mesmo espaço vetorial V com dimensão n, um conjunto gerador de V precisa ter uma base contida nele pra conseguir gerar todos os vetores do espaço.
É igual a feijoada com mil e uma coisas, se não tiver o básico que define a feijoada, não é feijoada.
Então, se tivermos um conjunto gerador com n+2 elementos, esse conjunto com certeza é linearmente dependente e se tirarmos os dois vetores desse conjunto que estão zicando tudo, ou seja, os que são combinação linear dos outros, a gente consegue obter uma base a partir de um conjunto gerador.
Só pra vocês lembrarem do que é importante então, basicamente se a dimensão de um espaço é n, todas as bases tem n elementos LI e esse é o máximo de elementos LI no espaço.
Além disso, todo conjunto LI com menos que n vetores está contido em alguma base e todo conjunto gerador com mais que n vetores contém uma base.
