Exercício Resolvido Escalonando com Vetores nas Linhas
Bom rapaziada, esse exercício fornece pra gente um subconjunto com 4 vetores do R4 e fala que estamos gerando um subespaço S com eles.
Daí, ele pede o número de subconjuntos de A que são uma base de S.
Ok, e como vamo saber isso¿ Bom, em primeiro lugar, vamo tentar descobrir qual é a dimensão do subespaço que eles tão gerando.
Depois, vemos quantos subconjuntos linearmente independentes conseguimos formar com esse tamanho.
Então, pra descobrir a dimensão desse subespaço, vamo fazer algo que já tamo acostumados faz tempo, escalonar.
Assim, vamo por os 4 vetores em linha numa matriz.
Agora, só escalonar.
O primeiro passo pode ser fazer a linha 3 menos a linha 1, assim.
Daí, podemos substituir agora, de novo, a linha 3 pela linha 3 menos a linha 2.
Seloco, zerou
tudo, que delicia.
Agora, só fazer a linha 4 virar a linha 4 menos 2 vezes a linha 2.
Zerou tudo de novo, que brisa, cheia de zerinho a nossa matriz.
Então, agora que estamos com a matriz escalonada, temos que uma base para esse subespaço são esses dois vetores e que a dimensão de S é igual a 2.
Pronto, já conseguimos a informação que queríamos, a dimensão de S é dois.
Agora, temos que ver, no meio desses 4 vetores, quantos conjuntinhos com 2 vetores são linearmente independentes.
Por que isso¿ Porque, como a dimensão do subespaço é 2, se tivermos 2 vetores LI, eles com certeza serão uma base do subespaço, pela definição que aprendemos.
Bom, pra ficar mais fácil, vou chamar o primeiro vetor de v1, o segundo de v2, o terceiro de v3 e o quarto de v4, pra economizar espaço.
O conjunto de v1 com v2 é LI, como vimos escalonando, foram os que sobraram.
Agora, o conjunto de v1 com v3 também é LI.
Conseguimos saber essas coisas facilmente vendo os zerinhos nas coordenadas.
A terceira coordenada de v1 é zero, e a de v3 não é, então um não pode ser combinação linear do outro.
Pronto, dois já são LI.
Agora, v1 com v4 também é LI, só ver que os zeros tão em lugares diferentes.
Vamo ver v2 com v3 então.
De novo, v2 tem um zerinho aqui na primeira coordenada e v3 não, assim, não podem ser combinação linear um do outro.
Logo, tem mais um conjuntinho LI aqui.
Agora, vamo ver v2 com v4.
Opa, pera lá, v4 é duas vezes v2 né¿ Então esse aqui é LD, rabisca ele ai.
Falta só ver agora v3 com v4.
Bom, como v4 tem esse zerinho e o v3 não, nem precisamos ver se são proporcionais, com certeza não são.
Portanto, esse conjuntinho é LI também e conseguimos concluir que tem cinco subconjuntos que são uma base B de S.
Assim, isso vai dar alternativa B, de base.
