Exercício Resolvido Utilizando Sistemas para Reconhecer Bases e Subespaços
Nesse exercício, o enunciado nos fornece uma matriz A e fala que o subespaço S de M2 vai ser formado por todas as matrizes B que comutam com A, ou seja, de forma que B vezes A seja igual a A vezes B.
Daí, ele pede pra determinarmos a dimensão de S.
Bom, podemos considerar que todas as matrizes B nesse subespaço são do tipo a, b, c e d.
Então, multiplicando essa matriz por A e igualando com A vezes essa matriz, temos essa igualdade.
Daí, fazendo essa
multiplicação, vamos chegar que essa matriz, com 2 a, a menos b, 2c e c menos d é igual a matriz com 2 a mais c, 2 b mais d, menos c e menos d.
Agora, só pra ficar mais claro, vamos passar essa matriz pra o outro lado subtraindo.
Daí, vamos restar com essa igualdade.
E olha só!
Podemos montar um sistema linear homogêneo com essas informações.
A partir dai, podemos usar o número de variáveis livres para determinar a dimensão do subespaço gerado.
Bom, vamos escrever esse sistema então, vai ser esse aqui.
Ora bolas, temos 3 equações falando pra gente que c é igual a zero.
Ok, já entendi isso, c é muito zerinho.
Então, vamo sumir com essas duas, que são inúteis, tão só repetindo informação, e vamo ficar com esse sistema mais simples.
Bom, agora não temos como melhorar mais isso.
Temos que c é um valor definido e podemos escrever A como 3B mais D, e temos que deixar b e d livres.
Então, temos duas variáveis livres nesse sistema.
Portanto, a dimensão do sistema é 2, como o exercício pediu.
Isso vai nos dar a alternativa A, de amor.
