Exercício Resolvido Utilizando Sistemas para Reconhecer Bases e Subespaços
Nesse exercício, o enunciado fornece pra gente um subespaço S no espaço das matrizes quadradas 3 por 3 com umas condições bem estranhas.
Daí, ele pede pra determinarmos a dimensão de S.
Então, pra começo de conversa, vamo escrever como deve ser uma matriz 3 por 3.
Ótimo.
Já deu pra ver que as matrizes 3x3 tem nove incógnitas.
Agora, o enunciado nos fornece que uma coisa é igual a outras duas.
Então, podemos separar isso
em 3 igualdades.
Isso é igual a isso, isso também é igual a isso, e por fim, o segundo é igual ao terceiro.
Daí, se passarmos tudo desse lado da igualdade para o outro, vamos ficar com um sistema assim, já separando cada variável em cima da mesma variável.
Bom, então temos um sistema homogêneo com as variáveis desse espaço vetorial.
Portanto, só precisamos descobrir quantas variáveis livres ele terá, que descobriremos a dimensão desse subespaço.
Assim, vamos montar a matriz com os coeficientes desse sistema.
Para escalonar, é bem tranquilo, já vou até deixar a matriz escalonada aqui.
Então, vamos ficar com a última linha nula e, portanto, temos só duas equações úteis.
Assim, como temos duas equações úteis e 9 incógnitas, esse sistema vai ter um número de variáveis livres igual a 9 menos 2, que é 7.
Portanto, a dimensão de S vai ser igual a 7.
Tchanam.
Mais fácil do que parecia, né?
Com isso, já podemos assinalar alternativa B e ir assistir uma bocha na TV.
