Igualdade entre Subespaços
Agora nós vamos aprender a comparar subespaços.
Sim, a comparar eles.
Então vamos começar.
Nós temos dois subespaços, um subespaço S1 picles e S2 2012, os dois com dimensão n, tu acha que vai ficar lado a lado¿ Tá, deixa eu parar de falar abobrinha.
Vamo falar serio aqui agora.
Se a gente tiver dois subespaços S1 e S2, como podemos saber se eles estão contidos um no outro ou se eles geram o mesmo subespaço¿ Então, é isso que vamos aprender aqui.
Vamos começar vendo como checar se um subespaço S1 está contido em outro subespaço S2.
Isso vai acontecer somente se conseguirmos escrever todos os geradores de S1 como combinação linear dos geradores de S2.
Porque isso ¿ Porque isso vai significar que os vetores geradores de S1 estão contidos em S2 e, consequentemente, o S1 inteiro também.
E voilá, assim que vemos se
S1 está contido em S2.
Pra checar se são combinação linear, podemos usar todos os macetes que já aprendemos até agora.
Mas e como eu vejo se os dois conjuntos geradores geram o mesmo subespaço¿ Oras bolas, se S1 estiver contido em S2 e S2 estiver contido em S1, então eles são o mesmo subespaço.
Então, se conseguirmos obter os geradores de S1 como combinação linear dos geradores de S2 e os geradores de S2 como combinação linear de S1, então isso significa que S1 está contido em S2 e que S2 está contido em S1 e, por isso, S1 é igual a S2.
Então, pra checar se dois conjuntos geram o mesmo subespaço, precisamos provar que um está contido no outro e vice versa.
Vamos ver isso, pra variar um pouquinho, num exemplo, pra ficar mais claro pra vocês.
Se a gente tiver S1 aqui, gerado pelos vetores 1, 2 e 0,1 e S2, gerado pelos vetores 0, -1 e 1,1.
Queremos saber se algum deles está contido no outro ou se geram o mesmo subespaço.
Vamos começar tentando escrever os vetores de S2 como combinação linear dos vetores de S1.
Temos que o vetor 0, -1 é -1 vezes o vetor 0, 1, e que o vetor 1, 1 é o vetor 1, 2 menos o vetor 0,1.
E pronto, conseguimos concluir que S2 está contido em S1.
Agora, vamos ver se S1 também está contido em S2.
Conseguimos escrever o vetor 1,2 como o vetor 1, 1 mais -1 vezes o vetor 0,-1 e o vetor 0,1 como menos 1 vezes o vetor 0,-1.
Então, S1 também está contido em S2.
Logo, os dois geram o mesmo subespaço, então S1 igual a S2.
Mas espere.
Eles são subespaços de dimensão 2 né, porque tem 2 vetores LI.
E eles estão no R2, que também tem dimensão 2.
Oras bolas, são 2 vetores LI no R2, que tem dimensão 2.
Isso é uma base do R2, ué.
Então, como a dimensão dos subespaços é igual a dimensão do espaço vetorial em que estão, os vetores geradores desses subespaços geram R2 e esses subespaços são, na verdade, o próprio R2.
Então, S1 é igual a S2 e ambos são iguais ao R2.
Tchanam.
