Exercício Resolvido Comparação entre Subespaços
Vamo seguir com os exercícios de comparação entre subespaços!
Esse exercício dá pra gente 3 subespaços do P3 e pede pra gente comparar eles, ver se são iguais ou estão contidos uns nos outros, aquela coisa de sempre.
Os subespaços S2 e S3 estão bonitinhos e prontos pra serem analisados, mas o S1 não tá com uma cara muito boa.
Vamo dar uma ajeitada nele então!
Esse subespaço é dado por todos os polinômios de grau 3 tal que a sua derivada no ponto 1 é igual a 0.
Bom, sabemos que essa é a forma geral dos polinômios de grau 3.
Derivando, ficamos com isso daqui!
Agora é só aplicar o ponto 1 e igualar a zero!
Fazendo isso, ficamos com b=-2c-3d Ou seja, a única variável dependente aí é o b!
Sendo todas as outras
variáveis livres.
A gente pode escrever o subespaço dessa forma: {(a,-2c-3d,c,d)} Colocando em termos das variáveis dependentes, ficamos com isso daqui.
Agora, podemos passar isso pra base canônica do P3, e vamos ter que nosso S1 é dado por: [1,-2t+t^2,-3t+t^3] Agora que temos uma forma bonitinha pro S1, podemos começar a comparar cada um deles.
A primeira coisa que conseguimos ver, é que S1 não está contido em S2.
Isso porque S1 apresenta o termo 1, e é impossível gerar ele a partir de combinações lineares dos termos de S2.
Mas os outros dois polinômios de S1 estão presentes em S2, então tem grandes chances de S2 estar contido em S1.
Vamos ver se conseguimos escrever esse polinômio do S2 como combinação linear dos polinômios de S1.
A gente tem que: t^3-t^2-t=1∙(t^3-3t)-1∙(t^2-2t) Logo, temos que sim!
S2 está contido em S1.
Mas, eles não são o mesmo subespaço!
Vamos agora compara S1 com S3.
Já vou deixar o S3 aqui com os polinômios já expandidos pra facilitar.
Repara que os dois subespaços tem o 1, isso já elimina o problema que tivemos entre S1 e S2!
Vamo começar tentando escrever os polinômios de S3 como combinação linear de S1!
O t^2-2t+1 a gente pode escrever como 1∙(t^2-2t)+1∙1 Já o t^3-3t^2+3t+1 fica igual a 1∙(t^3-3t)-3∙(t^2-2t)+1∙1 Com isso a gente já conclui que S3 está contido em S1.
Agora vamo ver se o contrário também vale.
Podemos escrever o t^2-2t do S1 como sendo 1∙(t^2-2t+1)-1∙1 Pra fechar, basta escrevermost^3-3t como 1∙(t^3-3t^2+3t+1)+3∙(t^2-2t)-1∙1 E sucesso mais uma vez!
O S1 está contido no S3!
Daí a gente tem que os dois são o mesmo subespaço!
Voltando pra alternativas, nossa resposta é a E de Eita!
