Intersecção entre Subespaços
Nesse vídeo, vamos aprender um pokito más sobre a intersecção de dois subespaços.
A intersecção de dois subespaços, S1 e S2, vai ser formada por todos os vetores que estão em ambos os subespaços.
Além disso, temos que a intersecção de S1 e S2 também é subespaço.
Sempre.
Porque, como o vetor nulo tem que estar em ambos para serem subespaço, então ele vai estar na intersecção também.
E também, se um vetor estiver na intersecção, significa que suas combinações lineares também estão, porque elas precisavam estar em S1 e em S2 pra serem subespaços.
Ok, parece de boas né¿ Mas como caçambas eu descubro uma base pra intersecção de dois
subespaços e qual a dimensão disso¿ Usando simplesmente tudo que a gente usou até agora nesse curso.
Vocês até já sabem do que eu vou falar né¿ Sistemas e escalonamento.
Isso mesmo galera.
O subespaço intersecção entre S1 e S2 vai ser o conjunto solução do sistema homogêneo que tiver as equações que definem ambos os subespaços.
Meio confuso¿ Vamos ver com um exemplinho prático então.
Vamos brincar com o P2.
Temos esses dois subespaços no P2, S1 e S2.
Agora, em S1 temos que todos os polinômios dele, na forma a mais bx mais c x quadrado, quando x vale 1, valem zero.
Então, a mais b mais c vale zero.
Pronto, temos a equação que define um dos subespaços.
Agora, no outro subespaço, temos que todos os polinômios dele, também na forma a mais bx mais cx quadrado, quando x vale 1, são iguais a quando x vale zero.
Então, temos que a mais b mais c é igual a a.
Então, b mais c é igual a zero.
Agora, temos equações que definem os dois subespaços.
A intersecção, S1 com S2, vai ser o conjunto solução desse sisteminha.
Resolvendo ele, vamos chegar que a vale zero e que b é igual a menos c.
Então, o conjunto solução é 0, -c, c.
Isolando c, temos o vetor 0, -1 e 1, que está na base canônica.
Tirando da canônica, temos que uma base da intersecção de S1 com S2 é o vetor –x mais x quadrado.
E portanto, a dimensão da intersecção é 1.
Mas e se a gente tiver subespaços que não são tão fáceis assim de conseguir um sisteminha logo de cara¿ Ah meu amigo, isso são cenas do próximo capítulo.
