Exercício Resolvido Relação entre Dimensões
Nesse exercício, temos um espaço vetorial V de dimensão 7.
Daí, temos dois subespaços de V, que V é igual a S1 mais S2 e que a dimensão de S1 é igual a dimensão de S2.
Daí, queremos saber o que isso implica pra dimensão da intersecção entre S1 e S2.
Bom, vamos por partes então.
A dimensão de V é igual a 7.
Daí, temos que V é igual a S1 mais S2.
Então, como
eles geram o mesmo subespaço, podemos afirmar que eles tem a mesma dimensão.
Assim, a dimensão de S1 mais S2 também é 7.
Agora, como temos que a dimensão de S1 é igual a dimensão de S2, vamos pegar a formula que relaciona as dimensões.
Usando o que sabemos, vamos chegar que a dimensão da intersecção entre S1 e S2 é igual a 2 vezes a dimensão de S1 menos 7, já que S1 e S2 tem dimensões iguais.
Assim, precisávamos saber a dimensão de S1 e S2 para descobrir exatamente qual a dimensão da intersecção.
Só que, pelo que temos aqui, já conseguimos afirmar que, como 7 é impar e 2 vezes a dimensão de S1 é par, essa subtração só pode ser impar, já que dimensões são sempre números inteiros.
Assim, a dimensão da intersecção com certeza é impar, e já temos uma alternativa com isso.
Portanto, só assinalar a alternativa B e partir para o abraço.
