Exercício Resolvido Relações entre Subespaços
Nesse exercício, temos um espaço vetorial V e são feitas 3 afirmações sobre subespaços contidos nele.
Vamo analisar uma por uma então.
Começando pela 1, ela fala que, se temos um conjunto A1 gerador de um subespaço S1 e A2 um conjunto gerador de um subespaço S2, então a união de A1 com A2 é um conjunto de geradores do subespaço S1 mais S2.
Bom, nós vimos isso na teoria né¿ Se juntarmos geradores de S1 e geradores de S2, teremos que esse é um conjunto gerador de S1 mais S2.
Então, a primeira afirmação é verdadeira.
Agora, vamo ver a segunda Ela também nos fala de dois subespaços, S1 e S2, com seus dois conjuntos geradores A1 e A2.
Só que daí ele fala que a intersecção entre A1 e A2 vai ser um conjunto gerador do subespaço S1 com
S2.
Epa, isso ai não tava nas nossas aulas, será que é verdade¿ Bom, vamo, pra variar, pegar um exemplinho.
Vamo brincar com o R2.
Vamos supor que o subespaço S1 é gerado pelo conjunto A1, que é os vetores 1, 0 e 0,1, e que S2 é o subespaço gerado pelo conjunto A2, que é formado pelo vetor 1,1.
A intersecção entre dois conjuntos, A1 e A2, é diferente de falar sobre a intersecção entre subespaços.
Intersecção.
Intersecção de conjuntos é, na verdade, os elementos que estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos.
Só que como A1 e A2 não tem elementos iguais, a intersecção entre A1 e A2 é o conjunto vazio.
Só que, se formos ver, a intersecção de S1 com S2 não é o vetor nulo.
Ora, temos que o vetor 1,1 pertence tanto a S1 quanto a S2.
Então, não conseguimos gerar o subespaço intersecção S1 com S2 com a intersecção entre os conjuntos A1 e A2.
Portanto, a 2 é falsa.
Agora, vamo ver a 3.
Ela nos dá 3 subespaços de V e diz que S1 não tem intersecção com nenhum dos outros dois subespaços.
Então, a intersecção de S1 com a soma de S2 com S3 também tem que ser nula.
Ok, vamo de novo buscar um contra exemplo.
Sempre bom procurar nos reais.
Vamo pensar no R3.
Se S1 fosse gerado pelo vetor 1,1,0, S2 fosse gerado pelo vetor 1,0,0 e S3 fosse gerado pelo vetor 0,1,0.
Temos que, realmente, a intersecção de S1 com S2 e com S3 é nula, porque não tem vetores iguais nos dois subespaços além do vetor nulo.
Só que a soma de S2 com S3 vai ser gerada pelos vetores 1,0,0 e 0,1,0.
Agora, como podemos ver, temos que o vetor 1,1,0 está contido nos dois subespaços.
Logo, a intersecção entre S1 e a soma de S2 com S3 não é nula, e a 3 é falsa.
Assim, só a 1 é necessariamente correta e chegamos na alternativa A de atletismo.
