Exercício Resolvido Projeção Ortogonal
Vamo agora ver mais um exercício de projeção ortogonal.
Esse aqui dá uma base pra gente, fala que a é um número real e que v, w e z são vetores que ele dá pra gente.
Aí, vem três afirmações chatinhas pra gente ter que ver se são verdade ou não.
Vamo lá então, A afirmação 1 fala que v e w são ortogonais.
Bom, batendo o olho parece que sim né¿ Porque ce faz 2 com -1 e 1 com 2, aí da 2 menos 2 e vai dar zero esse produto escalar.
SÓ QUE NÃO.
Prestem atenção aqui.
Esses dois vetores estão escritos em uma base qualquer.
Em nenhum momento disseram que essa era uma base ortonormal.
Então, como não sabemos se essa é uma base ortonormal ou não, então não podemos afirmar com certeza isso.
Assim, isso não é necessariamente verdade, então a 1 é falsa.
Vamo ver a 2 agora.
Ela fala que o conjunto v, w e v menos a projeção de w em
v não é uma base de V3.
Bom, vamo pensar.
A projeção de um w em v vai estar na direção de v, né¿ Supondo que isso é esse w1, vai ser esse vetor.
Quando eu fizer v menos esse vetor, vai ser esse vetorzinho aqui.
Ele é paralelo a v né¿ Então, os dois vetores são linearmente dependentes por si só, então o conjunto inteiro já é LD.
Assim, não tem como ser uma base do v3.
Portanto, a 2 é verdadeira.
Agora vamo pra 3.
Ela tá falando que se o vetor z não é ortogonal nem a v nem a w, então o conjunto projeção de z em v, projeção de z em w, z é Linearmente dependente se e somente se a for igual a zero.
Bom, vamos pensar.
As projeções de z em v e em w são proporcionais a v e w, né¿ Porque, como os vetores estão na mesma direção, podemos dizer que isso é alfa v e também é beta w.
Assim, pra ver se esses três vetores são linearmente dependentes, vamos ter que montar o determinante com os três e ver quando dá zero.
Bom, assim vamos ficar com esse determinante bonitinho aqui.
Pela propriedade de determinante de que, ao multiplicar uma linha do determinante por um número, é como se multiplicássemos o determinante por esse número, podemos tirar alfa e beta desse determinante, assim.
Agora, reparem que nem alfa nem beta podem ser zero.
Isso acontece porque, como z não é ortogonal nem a v nem a w, qualquer que seja o vetor z, ele vai ter uma projeção em v e em w.
Assim, alfa e beta são diferentes de zero e podemos passar dividindo e sumir com eles.
Pronto, basta calcular esse determinantezinho então.
Calculando ele, chegamos que -5 a precisa ser zero pra o determinante ser zero.
Então, esses vetores só são linearmente dependentes mesmo se a for zero.
Portanto, a terceira também é verdadeira.
Assim, temos que só a 2 e a 3 são verdade, o que dá alternativa E, de E NESSA LOUCURA DE DIZER QUE NÃO TE QUERO, VOU NEGANDO AS APARENCIAS, DISFARÇANDO AS EVIDENCIAS, MAS PRA QUE VIVER FINGINDO, SE NÃO POSSO ENGANAR MEU CORAÇÃO, EU SEI QUE DÁ EEEE.
