Exercício Resolvido Norma de um Vetor
Agora a gente tem mais um exercício bonitão de produto escalar que vamos ter que usar a definição de norma.
Nesse aqui, ele da pra gente o módulo de dois vetores, v e w, e dá a medida do ângulo entre v e w.
Aí, ele pede o cosseno do ângulo teta entre v mais w e v menos w.
Ok, uma coisa que vocês precisam lembrar sempre em exercícios desse tipo de algelin é que eles vão te dar mil informações e geralmente todas são importantes.
Então, é sempre bom prestar bastante atenção no que o enunciado tá te dizendo.
Vamos começar pensando no que o exercício quer.
Ele quer o cosseno do ângulo entre dois vetores.
Oras bolas, vamo fazer o produto escalar entre eles então, não¿ Daí, vamos ficar com módulo de v+w vezes módulo de v menos w vezes cosseno de teta.
Esse é o jeito de fazer em que aparece o que queremos saber, o cosseno do ângulo teta entre eles.
Só que já sabemos que tem um
outro jeito de fazer isso né¿ Usando a propriedade distributiva, chegamos que isso também é igual a v por v menos w por w.
Agora, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o seu módulo ao quadrado.
Portanto, isso vai dar módulo de v ao quadrado menos módulo de w ao quadrado.
Ora bolas, já temos esses dois módulos né¿ Então, isso aqui vai dar oitinho.
Ora, só que não é isso que o exercício quer, mas isso já ajuda.
Podemos escrever essa igualdade agora.
Então, pra achar o cosseno de teta, só precisamos achar esses dois módulos.
De novo, pra achar essa birosca, vamos lembrar da definição de que o módulo ao quadrado de um vetor é o produto escalar dele por ele mesmo.
Vamo usar isso então.
O módulo de v mais w vai ser a raiz quadrada do produto escalar de v mais w por v mais w.
Então, fazendo a distributiva, vai ser a raiz de v por v mais 2 vezes v por w mais w por w.
Usando a definição de produto escalar, vamos chegar que isso é a raiz de módulo de v mais 2 vezes módulo de v vezes módulo de w vezes o cosseno do ângulo entre eles, pi sobre 6 mais o módulo de w ao quadrado.
Temos todas essas informações no enunciado.
Então, substituindo tudo, vamos chegar que isso é raiz de 10 mais 3 raiz de 3.
Não se assustem com esse número feio, com uma raiz dentro da outra, vai melhorar no caminho.
Agora, vamo achar o módulo de v menos w.
Do mesmo jeito que fizemos acima, isso vai dar raiz de v por v menos 2 por v por w mais w por w.
Novamente, vai dar modulo de v ao quadrado menos 2 vezes módulo de v vezes módulo de w vezes cosseno de pi sobre 6 mais módulo de w ao quadrado.
Usando de novo as informações do enunciado, vamos chegar que isso é raiz de 10 menos 3 raiz de 3.
Oras bolas.
Vamo voltar então pra o que a gente queria achar.
Temos agora os dois valores pra módulo de v mais w e de v menos w.
Podemos substituir e fazer essa multiplicação.
Aí, quando multiplicarmos, vamos ter que isso vai dar raiz de 73.
Assim, só passar dividindo, e temos que o cosseno de teta é 8 sobre raiz de 73.
E voilá, alternativa A de anfiteatro amarelo.
