Norma de um Vetor
Nesse vídeo, a gente vai aprender um pouco mais sobre a norma de um vetor.
Bom, vamos pegar esse vetor AB.
A norma ou o módulo de um vetor é a distância entre os pontos A e B, ou seja, o tamanho desse vetor.
Isso a gente já tinha falado um pouco antes.
Mas como calculamos essa distância¿ Vamos usar a nossa definição de produto escalar pra podermos concluir qual o valor do módulo de um vetor.
O que acontece se a gente fizer o produto escalar entre dois vetores iguais¿ Ou seja, do vetor por ele mesmo¿ A gente vai ter que o produto escalar dele por ele mesmo vai ser o módulo dele ao quadrado vezes cosseno de zero.
Só que como esse cosseninho é 1, a gente pode dizer que o produto escalar de um vetor por ele mesmo é a norma dele ao quadrado.
Da mesma forma, então, a gente pode dizer que a norma de um vetor
é a raiz quadrada do produto escalar dele por ele mesmo.
E por incrível que pareça, esse tipo de definição tem várias implicações na sua vida.
Uma das aplicações disso é na lei dos cossenos, que vocês aprenderam no ensino médio.
Se a gente pegar esse triângulo aqui, A, B e C.
Vamos chamar o lado AB de vetor u, o lado AC de vetor v, com esse ângulo teta entre eles, e o lado CB de vetor w.
Pelo o que já sabemos de vetor, temos que o vetor w é o u menos o v.
Eu quero saber qual é o tamanho desse lado, ou seja, o módulo desse vetor w.
Então, queremos saber o módulo de u menos v.
Se a gente elevar ao quadrado, temos que isso é igual ao produto escalar do vetor u menos v por ele mesmo.
Como a distributiva é válida pra esse produto, como pra qualquer produto honesto, a gente pode usar ela aqui e vamos ter que isso é a mesma coisa que o produto escalar de u por u mais o produto escalar de v por v menos duas vezes o produto escalar de u por v.
Agora, vamos usar o que já sabemos sobre produto escalar pra resolver isso.
De novo, como o produto escalar de um vetor por ele mesmo é a norma dele ao quadrado, então a gente vai ter que isso é a norma de u ao quadrado mais a norma de v ao quadrado.
Pra esse outro, como a gente já sabe que tem um ângulo teta entre eles, então esse termo vai ficar duas vezes a norma de u vezes a norma de v vezes o cosseno de teta.
E por fim, como a gente sabe que norma é a mesma coisa que a distância entre o começo e o fim de um vetor, ou seja, seu tamanho então chegamos que o tamanho desse lado é igual a esse lado ao quadrado mais esse lado ao quadrado menos duas vezes esse lado vezes esse lado vezes esse ângulo.
E tchanam, isso é igualzinho a lei dos cossenos que vocês aprenderam no ensino médio!
Viram que interessante¿ E podem apostar que vêm ainda mais de Algelin por ai que vocês já sabiam e nem faziam ideia.
Até a próxima, galera!
