Exercício Resolvido Propriedades de Produto Escalar
Eae bonitões, vamos começar a brincar um pouco então com essa beleza chamada produto escalar.
Esse exercício fala de um tetraedro regular de aresta unitária.
Aí ele te dá um número alfa que é uma soma dos produtos escalares dos vetores dos lados.
Vamo primeiro visualizar isso então.
Esse aqui é o tetraedro do enunciado.
Aí ele quer fazer o produto escalar entre uns vetores desse tetraedro.
Vamos começar pelo produto do vetor BC pelo vetor AD.
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores é o módulo do primeiro vezes o módulo do segundo vezes o cosseno do ângulo entre eles.
Só que mano, olha esse BC e esse AD.
Tá bem difícil de saber qual é o ângulo
entre eles, né¿ Então, vamo decompor esse vetor BC em BA mais AC, pq daí fica bem mais fácil de achar os ângulos entre os vetores né¿ Vamo só usar, pra facilitar mais ainda, que BA é menos AB, e voilá, temos 3 vetorezinhos saindo do mesmo lugar, então é mamão com açúcar achar o ângulo entre eles.
Então, podemos fazer aqui a distributiva e vamos ter que isso é menos o produto escalar de AB com AD mais o produto de AC com AD.
Agora, sabemos que esse tetraedro tem arestas unitárias.
Então, o módulo de todos os vetores sobre os lados vai ser 1.
Além disso, como todos os lados são iguais, vamos formar triângulos eqüiláteros, e então esses ângulos entre AB e AD e AC e AD vão ser de pi sobre 3, ou 60 graus.
Logo, vamos ter que isso vai dar, então, menos 1 vezes 1 vezes cosseno de pi sobre 3 mais 1 vezes 1 vezes cosseno de pi sobre 3.
Eita, pera lá, vamo cortar um com o outro né¿ Então, esse primeiro produto escalar é zerinho.
Vamo pensar no próximo então.
O segundo é AB vezes CA.
Agora, pra facilitar nossa vida, vamos pegar também o vetor oposto de CA e substituir aqui.
Vamos ficar então com AB vezes menos AC.
Como já manjamos da teoria, podemos tirar esse menos, então vamos ficar com menos AB vezes AC.
Então, como já sabemos que esses dois vetores tem módulo 1 e o ângulo é pi sobre 3, esse produto vai dar menos cosseno de pi sobre 3, que é igual a menos meio.
Daí, vamos chegar que alfa vai ser zero menos meio.
Então, alfa vale menos meio e, portanto, vamos chegar na alternativa D, de dextrógiro.
