Lições de Calculo de Varias Variaveis Reais, Manual de Cálculo Diferencial e Integral. Universidade Federal do Paraná (UFPR)
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mariana-garcia31 de Março de 2017

Lições de Calculo de Varias Variaveis Reais, Manual de Cálculo Diferencial e Integral. Universidade Federal do Paraná (UFPR)

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Definições, Resultados, Formulários e Exercícios Resolvidos.
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Lições de Cálculo de Várias Variáveis Reais Definições, Resultados, Formulários

e Exerćıcios Resolvidos

Apenas o primeiro triângulo, da esquerda para a direita, tem sen x · seny · sen z máximo.

José Renato Ramos Barbosa

UFPR - 2015

Universidade Federal do Paraná

Departamento de Matemática

Manual Técnico-Didático

Lições de Cálculo

de Várias Variáveis Reais Definições, Resultados, Formulários

e Exerćıcios Resolvidos

Autor: Professor José Renato Ramos Barbosa

Chefe do Departamento: Professor Manuel Jesus Cruz Barreda

2015

www.ufpr.br/∼jrrb

Conteúdo

1 Introdução 5 1.1 Origem, Objetivos e Diretrizes das NA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Fundamentos de Cálculo de Uma Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Definições Básicas 19 2.1 Bola Aberta de Centro P0 ∈ Rn e Raio r > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Conjunto Aberto - Ponto Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Ponto de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Conjunto Compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Gráficos de Funções f Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5.2 Conjunto de Nı́vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6 Traço (ou Trajetória) da Curva Parametrizada γ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6.2 Dinâmica de Uma Part́ıcula Percorrendo o Traço . . . . . . . . . . . . . 29

3 Resultados - Cálculo Diferencial 31 3.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Limite da Função Vetorial γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) em t = t0 . . . . . . . 31 3.1.2 Continuidade de γ(t) em t = t0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3 Derivada da Função Vetorial γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) em t = t0 . . . . . . 31 3.1.4 Vetor Aceleração de γ(t) em t = t0 u.t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Continuidade e Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Interpretação Geométrica da Continuidade para Funções Reais de Uma

(Duas) Variável (Variáveis) Real (Reais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2 Propriedades das Funções Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.3 Derivação Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.4 (Vetor) Gradiente de f no Ponto P0, isto é, ∇f(P0) . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.5 Derivadas Parciais de Ordens Superiores para f(x, y) = cosy

x − yx3 . . . . 36

3.2.6 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.7 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.8 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.9 Consequências da Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4 CONTEÚDO

3.3 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Pontos Cŕıticos; Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Teste da Derivada Segunda; Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . 48

3.4 Formulário - Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 Exerćıcios - Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.2 Continuidade e Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.3 Planos Tangentes, Aproximações Lineares e Regra da Cadeia . . . . . . . 56 3.5.4 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Resultados - Cálculo Integral 79 4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Regiões/Domı́nios de Integração Dxy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.2 Área, Volume e Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.1.3 Mudança de Variáveis nas Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.4 Outros Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Funções Cont́ınuas f(x, y, z) sobre Regiões Dxyz do Tipo 1 . . . . . . . . 90 4.2.2 Regiões dos Tipos 2 e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.3 Mudança de Variáveis nas Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.4 Outros Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Formulário - Cálculo Integral - Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Formulário - Cálculo Integral - Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.5 Exerćıcios - Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 Resultados - Cálculo Vetorial 119 5.1 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Definição das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.1.2 Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha . . . . . . . . 125

5.2 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2.1 Cálculo de Áreas via Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2.2 De Green para Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.2.3 Outros Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.3 Exerćıcios - Cálculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Caṕıtulo 1

Introdução

Inicio com o pedido de que este “Prefácio” seja lido e que alguns minutinhos sejam usados para um bom entendimento da gênese e das metas destas Notas de Aula (NA).

1.1 Origem, Objetivos e Diretrizes das NA

Entre duas pessoas, existem três pontos de vista (ou versões) sobre um mesmo assunto, tema, fato ou acontecimento: o (ou a) de uma delas, o (ou a) da outra e o (ou a) correto(a). O que segue é uma visão pessoal de como deveria ser um primeiro curso, não só sobre Cálculo, mas sobre qualquer assunto. Bom, o primeiro ‘aviso aos navegantes’ é que tenho, aqui, a intenção de atingir um público leitor mais voltado as aplicações e não aquele com inclinações mais teóricas. O público-alvo consiste de estudantes, profissionais e interessados das áreas de Tecnologia (Engenharias Am- biental, Civil, de Bioprocessos e Biotecnologia, de Produção, Elétrica, Mecânica, Mecatrônica e Qúımica), das Ciências da Terra (Geografia, Geof́ısica, Geologia e Geomática) e afins (Enge- nharias Florestal e Industrial Madereira, por exemplo). Também são muit́ıssimo bem vindos, colegas, alunos e ex-alunos de Estat́ıstica, F́ısica, Informática, Qúımica e, especialmente, Ma- temática Industrial. Quanto aos que têm mais envolvimento com a Matemática Pura, que se sentem mais inclinados para a abstração, preciso ressaltar que existe um grande número de exerćıcios e aplicações neste, digamos, manual de Cálculo. (Note o uso a palavra ‘manual’ !) Claro que o pessoal da Licenciatura e do Bacharelado em Matemática também é bem vindo. Mas, definitivamente, existem ótimos livros onde podem ser obtidas construções axiomáticas elaboradas e demonstrações engenhosas de teoremas fundamentais. Penso que o aprendizado de qualquer assunto, não só da Matemática, é via ‘aproximação’. Estas NA tentam dar uma perspectiva de primeira abordagem. Afinal, nos primeiros cursos de Cálculo, não é para se aprender a calcular? Entretanto, ainda que possa parecer contraditório, sugiro que o leitor interessado em seguir estas NA, independente do primeiro curso de Cálculo (de Funções Reais) de uma Variável (Real) que o mesmo tenha tido, parta para a leitura das mesmas já tendo estudado, em al- gum momento, limites, derivadas e integrais num contexto de rigor matemático (pelo menos) moderado.1 Assim, por completeza, para revisão/aprofundamento e para contentar, primor- dialmente, os alunos oriundos da Matemática, a segunda metade desta introdução reproduz

1Não existe, na verdade, qualquer contradição, já que o tal (provável) leitor já deve ter conclúıdo o seu primeiro curso de Cálculo, tendo assim estado dispońıvel para aprofundá-lo, durante ou depois da vigência do mesmo!

5

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

uma lista de exerćıcios, sem resoluções mas com várias sugestões, que trabalhei com alunos de um curso de Fundamentos de Cálculo de Uma Variável, por mim ministrado, há algum tempo atrás. Tal lista visa a fundamentação do que já tenha sido estudado e, por isso mesmo, requer uma busca rápida de demonstrações de alguns poucos resultados fundamentais. Saliento que o ńıvel de rigor desta lista é diferente daquele adotado nos caṕıtulos seguintes, como esclareço logo a seguir. Embora seja uma excelente oportunidade para formalizar o Cálculo de Uma Variável estudado anteriormente, leitores com outras aptidões (ou outros gostos) devem desconsi- derar tal lista de exerćıcios, sem perda de continuidade no conteúdo do restante destas NA. O conteúdo dessas NA de um curso de Cálculo (de Funções Reais) de Várias Variáveis (Re- ais),2 cujas primeiras versões remontam há mais de quinze anos, ainda está incompleto e ‘em constante construção’. Dáı é provável que a ordem e/ou a redação dos exerćıcios, bem como a quantidade dos mesmos, variem em muitas das visitas ao endereço

www.ufpr.br/∼jrrb.

Observação análoga vale para os itens das definições, dos resultados e dos formulários. O objetivo aqui é mais operacional do que teórico. Isto significa que a teoria foi submetida a uma ‘lipoaspiração’ e que a ênfase está quase toda na resolução de exerćıcios e na interpretação geométrica e/ou f́ısica dos resultados. Assim, o que se perde em precisão e rigor se ganha em concisão e tempo. Apenas para dar alguns exemplos de estilo:

• Para uma melhor aceitação dos resultados, alguns exerćıcios são resolvidos de mais de uma maneira. Tais resoluções extras utilizam, por exemplo, o Cálculo de Uma Variável ou a Geometria Anaĺıtica;

• Vários resultados são estabelecidos, pelo menos quando exibidos pelo primeira vez, via analogias e comparações com aqueles do Cálculo de Uma Variável;3

• Alguns resultados aparecem sem todas as hipóteses e quase todos os resultados são apre- sentados sem demonstrações (apenas alguns têm, não demonstrações, mas justificativas razoáveis);

• Algumas definições não são apresentadas com a ênfase que mereceriam,4 embora sejam utilizadas a exaustão, por entender que definições análogas, do Cálculo de Uma Variável, são facilmente generalizadas ou que alguns conceitos são fisicamente e/ou geometrica- mente intuitivos. Por outro lado, a internet (via o Google, por exemplo) está áı para suprir eventuais carências pontuais num tópico ou noutro;

• Em alguns resultados e algumas definições e resoluções de exerćıcios figuram śımbolos da Lógica Matemática e outros. Por exemplo:

2CM042 na UFPR. 3Por exemplo, a “equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) num ponto” aparece, pela primeira vez,

como uma extensão da equação da reta tangente ao gráfico de f(x) num ponto. Outro exemplo: A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis é apresentada como uma generalização da mesma para funções de uma variável. Um último exemplo: A Mudança de Variáveis para Integrais Duplas é dada como uma generalização natural da integração por substituição do Cálculo de Uma Variável.

4Por exemplo, Máximos e Mı́nimos no estudo de Otimização e Orientação de Curvas no estudo de Integrais de Linha e Teorema de Green.

1.1. ORIGEM, OBJETIVOS E DIRETRIZES DAS NA 7

– ∴ , usado em conclusões como ‘Dáı’;

– ⇒ , usado quando uma afirmação que o antecede ‘implica’ uma afirmação que o sucede;

– ⇔ , usado quando uma afirmação que o antecede ‘é equivalente a’ uma afirmação que o sucede;

• Em alguns resultados e algumas definições e resoluções de exerćıcios o texto é escrito na forma de uma lista de itens;

• Em alguns pontos em que mais formalização se faz necessária, faço alertas destacados dentro de caixas. Por exemplo, passamos ao largo dos Limites e ao introduzirmos infor- malmente as Derivadas Parciais, o alerta de Limites é ativado. Depois, amarramos as Derivadas Direcionais, dáı as Parciais em particular, a um Limite via a Regra da Cadeia;

• Para que alguém perceba a obviedade de algo, costuma-se dizer, até com um pouco de ironia, “Quer que eu desenhe (para você)?”. Assim, como “uma figura vale mais do que mil palavras”, não economizei no uso de figuras e nas explicações das mesmas.5

No formulário do terceiro caṕıtulo, vários itens são escritos num contexto mais geral, extendendo resultados de duas e três variáveis ou coordenadas para o caso de um número qualquer de variáveis ou coordenadas. Ali, o aluno deverá ter o conhecimento, por exemplo, da notação de somatório. Por ser ainda incipiente, apenas o último caṕıtulo, que trata do Cálculo Vetorial, ainda não tem o seu formulário próprio nem um número grande de exerćıcios. Numa próxima versão, pretendo acrescentar tal formulário e mais exerćıcios, bem como o Teorema de Gauss e um maior aprofundamento do Teorema de Stokes, a estas NA. Tais teoremas, juntamente com o Teorema de Green (que consta da versão atual), são o cerne do Cálculo Vetorial. É conveniente ressaltar que quase todos os exerćıcios aqui propostos são resolvidos logo quando são apresentados ou nas seções dedicadas aos mesmos. Assim, nos raros momentos em que não forem apresentados exemplos que corroborem algum resultado, logo após o mesmo ter sido estabelecido, mas apenas constem enunciados de alguns exerćıcios, estejam certos de que as resoluções dos mesmos serão apresentadas na seção de exerćıcios do caṕıtulo que contiver aquele resultado. Observamos ainda que os pré-requisitos para a leitura destass NA são: um curso de Pré- Cálculo (Matemática do Ensino Médio), um curso de Cálculo de Uma Variável, obviamente, e um curso de Geometria Análitica.6 Falando em pré-requisitos, gostaria de expressar que vejo a

5Tais figuras têm sido geradas ao longo do tempo e de maneiras distintas, de acordo com a temporalidade delas. Algumas foram plotadas utilizando-se o octave e o gnuplot, que são programas desenvolvidos pelo projeto GNU/Linux de ‘software’ livre. Outras foram geradas no xfig, um editor gráfico ‘open source’, e depois modificadas nos arquivos de extensão ‘.pstex t’ para terem letras no formato do texto corrente, escrito em Latex, este outro um programa de editoração e plotagem cient́ıfica bastante utilizado nos meios cient́ıfico e acadêmico. Mais recentemente, inclusive, venho gerando/plotando as figuras diretamente nas linhas de comando dos arquivos ‘.tex’. Em particular, tenho utilizado o pacote tikz. Com este, além de estar produzindo novas figuras, mais claras e limpas, tenho trocado as figuras antigas geradas pelos outros meios citados aqui. Gerei uma única figura (para ser a capa das NA e também a figura 3.6) usando o GeoGebra, um pacote gráfico desenvolvido pelo International GeoGebra Institute, e uma única figura usando o Grapher (para ser a última figura das NA), um pacote gráfico da Apple que vem com o ‘Mac’. Para concluir esse ‘registro histórico’ das figuras aqui produzidas, espero que, no todo, o resultado final tenha sido, além de satisfatório, também agradável aos olhos.

6Por exemplo, é fundamental ter conhecimento de como se calcula distância de ponto a reta (ou a plano) e que as fórmulas cos ′ x = −sen x e sen ′ x = cos x são válidas apenas para x expresso em radianos. Para x expresso em graus, cada uma destas fórmulas recebe o fator π

180 do lado direito da igualdade.

8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Matemática como uma linguagem tipo Português, Inglês, Francês, etc. Assim, temos também ‘Matematiquês’, ‘Fisiquês’, ‘Quimiquês’, ‘Informatiquês’, etc. Aprender uma Ĺıngua é antes, praticamente, ser alfabetizado nela. Já nessa etapa preliminar é preciso estudá-la e praticá-la (para não cometer eqúıvocos com a mesma). Por um lado, note que não é fácil querer fazer um estudo avançado da Ĺıngua sem ter sido alfabetizado nela. Como diz o ditado: ‘O avançado é fazer o básico bem feito!’. Por outro lado, para se ter fluência na Ĺıngua é preciso, além do estudo e da prática, conhecer todo um jargão da área. Apenas estudar na proximidade de cada prova é perda de tempo para quase todos aqueles que assim procedem. Demonstrações dos resultados destas NA, bem como exerćıcios e exemplos similares e mais avançados, podem ser encontrados, por exemplo, nos livros:

• CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, VOLUME 2, Paulo Boulos e Zara Issa Abud, Makron Books, Edicão Revista e Ampliada, 2006;

• CÁLCULO DE FUNÇÕES DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS, Geraldo Ávila, LTC, Sétima Edição, 2006;

• CÁLCULO VECTORIAL, Jerrold Marsden e Anthony Tromba, Pearson/AddisonWesley, Quinta Edição (em Espanhol), 2004;

• FOUNDATIONS OF ANALYSIS, David Belding e Kevin Mitchell, Dover, Segunda Edição (em Inglês), 2008.

Sugestões para o aprimoramento e/ou a clareza das NA serão muito bem vindas. Nesse contexto, agradeço aos colegas Ademir Alves Ribeiro e Marcelo Muniz Silva Alves e aos ex-alunos Diego Wedermann Sanchez e Trenton Roncato Juraszek. Para concluir, dedico estas NA aos meus Pais, Amândio e Conça, e aos meus Filhos, Theo e Ani.

1.2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 9

1.2 Fundamentos de Cálculo de Uma Variável

Apenas leitores com viés para o rigor matemático devem tentar resolver os exerćıcios que seguem.

Parte I

1. R ∋ a é dito um ponto de acumulação de S ⊂ R quando a condição dada na caixa que segue é satisfeita.

Dado ε > 0 arbitrário, existe algum x ∈ S tal que 0 < |x− a| < ε.

Mostre que:

(a) 0 é um ponto de acumulação de S = {1/n |n ∈ N}; (b) Z não tem pontos de acumulação.

2. Sejam: f uma função; a um ponto de acumulação de Dom(f); L ∈ R.

lim x→a

f(x) = L

significa que, dado ε > 0 arbitrário, é posśıvel apresentar algum δ = δ(ε) > 0 tal que a condição da caixa que segue seja válida.

x ∈ Dom(f), 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.

Use tal definição de limites para demonstrar cada um dos cinco itens seguintes.

(a) Se lim x→a

f(x) existe, então tal limite é único.

(b) Se lim x→a

f(x) = L e lim x→a

g(x) = M, então:

i. lim x→a

(f+ g)(x) = L+M;

ii. lim x→a

(f · g)(x) = L ·M; iii. lim

x→a (f/g)(x) = L/M se M 6= 0.

iv. f(x) ≥ 0 (respectivamente, f(x) ≤ 0) para cada x ∈ Dom(f) suficientemente próximo de a ⇒ L ≥ 0 (respectivamente, L ≤ 0). Sugestão: Para o item anterior, considere L < 0 e ε = −L

2 (respectivamenete,

L > 0 e ε = L 2 ). Obtenha dáı uma contradição.

3. Seja p(x) um polinômio. Mostre que p é cont́ınua em a demonstrando os itens abaixo.

(a) Pela definição de limites, lim x→a

x = a.

(b) Pelo item anterior, pelo item ii. da questão anterior e por indução finita, lim x→a

xn = an

para cada inteiro positivo n.

(c) Pelo item anterior e pelo item ii. da questão anterior, lim x→a

cxn = can para cada

constante c.7

7Demonstre também que lim x→a

c = c!

10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

(d) Pelo item anterior, pelo item i. da questão anterior e por indução finita, lim x→a

p(x) =

p(a).8

4. Demonstre que lim x→a+

f(x) e lim x→a−

f(x) existem e são iguais se, e somente se, lim x→a

f(x) existe.

Neste caso, tal limite iguala os limites laterais.9

5. Use a definição adequada de limites para verificar cada item seguinte.10

(a) lim x→2

3x− 1 = 5.

(b) lim x→−1

2− 4x = 6.

(c) lim x→0

x sen (

1 x

)

= 0.

(d) Se g(x) é limitada, isto é, existe B ∈ R tal que |g(x)| ≤ B para todo x ∈ Dom(g), então

lim x→0

xg(x) = 0.11

(e) Se a > 0, então lim x→a

√ x =

√ a.

(f) lim x→−2

x2 + 1 = 5.

(g) lim x→2

1 2x+1

= 1 5 .

(h) lim x→0+

√ x = 0.

(i) Se f(x) = |x| x , então não existe lim

x→0 f(x) pois lim

x→0− f(x) = −1 e lim

x→0+ f(x) = 1.

(j) lim x→±∞

1 x = 0.

6. Se f é uma função definida no intervalo I e y = 1/x, demonstre os dois itens abaixo.

(a) Para I = (a,+∞), lim

x→+∞ f(x) = L ⇔ lim

y→0+ f(1/y) = L.

8Uma função f é dita cont́ınua em a ∈ Dom(f) quando, na definição de limite dada na questão 2, L = f(a). 9Para definir lim

x→a+ f(x) = L, basta considerar Dom(f) = (a, b) na definição de lim

x→a f(x) = L dada anterior-

mente. Neste caso, escreva 0 < |x−a| < δ como 0 < x−a < δ. Analogamente, para definir lim x→a−

f(x) = L, basta

considerar Dom(f) = (c, a) na definição de lim x→a

f(x) = L dada anteriormente. Neste caso, escreva 0 < |x−a| < δ

como −δ < x− a < 0. 10Além das definições de limites já apresentadas, considere agora as definições seguintes, para f definida no

intervalo I e ε > 0 arbitrariamente dado.

(a) lim x→+∞

f(x) = L quando existe algum K = K(ε) > 0 tal que:

x ∈ I = (a,+∞), x > K ⇒ |f(x) − L| < ε;

(b) lim x→−∞

f(x) = L quando existe algum K = K(ε) > 0 tal que

x ∈ I = (−∞, b), x < −K ⇒ |f(x) − L| < ε.

11Note que, embora tenhas que resolver o item anterior pela definição, uma resolução mais simples é via este item!

1.2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 11

(b) Para I = (−∞, b), lim

x→−∞ f(x) = L ⇔ lim

y→0− f(1/y) = L.

7. Use a questão anterior e o item (c) da questão 5 para mostrar que

lim x→+∞

sen x

x = 0.

8. Assuma que f e g são cont́ınuas em a. Demonstre então que:

(a) f+ g é cont́ınua em a;

(b) f · g é cont́ınua em a; (c) f/g é cont́ınua em a se g(a) 6= 0.

9. Use a questão anterior pra mostrar que

h(x) = 8x+

√ x+ 1

2x2 + x+ 9

é cont́ınua para todo x > 0.

10. Se g é cont́ınua em a e f é cont́ınua em g(a), demonstre que f ◦ g é cont́ınua em a.

11. Use a questão anterior para mostrar que a função

ϕ(x) = (

6(x3 − 1)2 + 2+ 1 )3

é cont́ınua para todo x ∈ R.

12. f é dita cont́ınua em [a, b], a < b, quando as duas condições que seguem são satisfeitas.

• f é cont́ınua em (a, b); • lim

x→a+ f(x) = f(a) e lim

x→b− f(x) = f(b).

(a) Mostre que f(x) = √ x é cont́ınua em [0, b].12

(b) Mostre que f(x) = x sen (

1 x

)

não é cont́ınua em [0, b].13

(c) Seja s a função definida em [0, b] por

s(x) =

{ x sen

(

1 x

)

se x 6= 0; 0 se x = 0.

.

i. Mostre que lim x→0+

s(x) = s(0).14

ii. Mostre que s é cont́ınua em [0, b].15

12Usar: item (e) da questão 5 para verificar que f é cont́ınua em (0, b); item (h) da questão 5 para verificar que lim

x→0+ f(x) = f(0); item (e) da questão 5 e questão 4 para verificar que lim

x→b− f(x) = f(b).

13Verifique que embora lim x→0+

f(x) = 0 (pelo item (c) da questão 5 e pela questão 4), f(0) não está definida. 14Use o item (c) da questão 5 e a definição de s. 15Usar: item anterior; item (b) da questão 8, questão 10 e que sen x é cont́ınua para mostrar que s(x) é

cont́ınua para x 6= 0; questão 4 para mostrar que lim x→b−

= s(b).

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

13. Demonstre o Teorema da Conservação de Sinal (TCS), isto é, se f é cont́ınua em c e f(c) 6= 0, demonstre que existe algum δ > 0 tal que f(x) · f(c) > 0, isto é, f(x) e f(c) têm mesmo sinal, para cada x ∈ Dom(f) para o qual |x− c| < δ. Sugestão: Considere ε = |f(c)|

2 para lim

x→c f(x) = f(c).

14. Seja S um conjunto não-vazio de números reais. S é dito limitado superiormente (res- pectivamente, inferiormente) quando existe algum número real B cuja condição dada na caixa que segue seja válida.

x ≤ B (respectivamente, B ≤ x) para cada x ∈ S.

Neste caso, a existência do menor (respectivamente, maior) entre todos tais números B, denotado por sup S (respectivamente, inf S) é garantida. Por causa disso, dizemos que R é completo.

(a) Considere o conjunto S do item (a) da questão 1. Mostre que sup S = 1 e inf S = 0.

(b) Preencha os detalhes da demonstração do Teorema do Valor Intermediário (TVI) dada a seguir.

TVI: Se f : [a, b] → R é cont́ınua e f(a) 6= f(b), então f assume em (a, b) todos os valores entre f(a) e f(b).

Demonstração: Considere f(a) < d < f(b) e S = {x ∈ [a, b] | f(x) < d}. Dáı, como R é completo e via o TCS da questão anterior, obtemos f(c) = d com c = sup S. Para terminar, caso f(b) < d < f(a), aplique o caso anterior para g(x) = −f(x). Obtenha dáı c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.

(c) Use o TVI para verificar que cada uma das equações seguintes tem uma raiz entre os números indicados.

i. cos x = x entre 0 e 1.

ii. 2x3 − 5x2 − 10x+ 5 = 0 entre: −2 e −1; 0 e 1; 3 e 4.

iii. ln x = e−x entre 1 e 2.

15. Demonstre que f é cont́ınua em a se, e somente se, lim h→0

(f(a+ h) − f(a)) = 0.

16. Seja f uma função cujo domı́nio contém um intervalo aberto de centro a, isto é, seja a um ponto interior ao Dom(f). f é dita diferenciável em a quando existe o limite do quociente de Newton dado na caixa que segue.

f ′(a) = lim h→0

f(a+h)−f(a)

h .

Neste caso, f ′(a) é dito a derivada de f em a e

y = f ′(a)x+ (f(a) − f ′(a)a)

é dita a equação da reta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)). (Para uma ilustração de uma tal reta, confira a página 37.) Use a questão anterior para provar que f é cont́ınua em a se f é diferenciável em a.

1.2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 13

17. Use a definição de derivada dada na questão anterior para mostrar que:

(a) f(x) = x2, x ∈ R, é diferenciável e que f ′(x) = 2x; (b) f(x) = x3, x ∈ R, é diferenciável e que f ′(x) = 3x2; (c) f(x) =

√ x = x1/2, x > 0, é diferenciável e que f ′(x) = 1

2 √ x = 1

2 x−1/2.

Ainda, para cada um dos três itens anteriores, obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f em (1, 1).

18. Vale a rećıproca da penúltima questão? Considere, por exemplo, f(x) = |x| e a = 0. f é cont́ınua em a? f é diferenciável em a? (Use a definição de continuidade dada na nota de rodapé do item (d) da questão 3 e a definição de derivada dada na penúltima questão para justificar suas respostas. Confira também o ı́tem (i) da questão 5.)

19. Sejam f e g diferenciáveis em a. Demonstre que:

(a) f+ g é diferenciável em a e (f+ g) ′(a) = f ′(a) + g ′(a);

(b) fg é diferenciável em a e (fg) ′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g ′(a);

(c) f/g é diferenciável em a e (f/g) ′(a) = f ′(a)g(a)−f(a)g ′(a)

[g(a)]2 se g(a) 6= 0.

20. Demonstre a Regra da Cadeia, isto é, se f é diferenciável em a e g é diferenciável em f(a), demonstre que g ◦ f é diferenciável em a e, neste caso,

(g ◦ f) ′(a) = f ′(a) · g ′(f(a)).

21. Use as questões 17, 19 e 20 para derivar a função ϕ da questão 11.

22. Seja f diferenciável em a como na questão 16.16 Se a é um ponto de máximo (respectiva- mente, mı́nimo) local de f,17 mostre então que a é um ponto cŕıtico de f, isto é, f ′(a) = 0.

Sugestão: Sem perda de generalidade, seja a um ponto (interior ao Dom(f)) de máximo local. Considere então o quociente de Newton em a tanto para h < 0 quanto para h > 0. Agora, via os limites laterais de tal quociente, a questão 4 e o item iv. da questão 2, deduza que f ′(a) é simultaneamente ≤ 0 e ≥ 0.

23. Vale a rećıproca da questão anterior? Por exemplo, considere f(x) = x3 e a = 0.

Parte II

1. Uma sequência N ∋ n 7→ xn ∈ R é denotada por (xn) e o inteiro positivo n é o ı́ndice do termo xn. Dizer que tal sequência é convergente para L ∈ R significa dizer que, dado ε > 0 arbitrário, existe um ı́ndice N = N(ε) tal que

n > N ⇒ |xn − L| < ε .18

Neste caso, dizemos que L é o limite de (xn) e denotamos lim n→∞

xn = L.

16Dáı, em particular, a é um ponto interior ao domı́nio de f! 17O que isto significa? 18Todos os termos da sequência de ind́ıces maiores que N pertencem a (L− ε, L+ ε).

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

(a) Mostre que uma sequência constante converge para tal constante.

(b) Verifique que lim n→∞

1 n = 0.19

(c) Demonstre a unicidade do limite de uma sequência convergente.

(d) Enuncie e demonstre as tradicionais propriedades da soma, produto e quociente de limites para sequências convergentes.

(e) Sejam c ∈ R e k ∈ N duas constantes. Use os itens (a), (b) e (d) anteriores para mostrar que lim

n→∞

c nk

= 0.

(f) Demonstre o Teorema do Sandúıche para Sequências (TSS), isto é, se N é um inteiro positivo, xn ≤ yn ≤ zn para cada ı́ndice n > N e lim

n→∞ xn = lim

n→∞ zn = L,

demonstre que lim n→∞

yn = L.

(g) Use o item anterior para mostrar que

lim n→∞

|xn| = 0 ⇒ lim n→∞

xn = 0.

(h) Dada a sequência (xn), se a função f(x) é tal que f(n) = xn para todo ı́ndice n e lim x→∞

f(x) = L, demonstre que lim n→∞

xn = L.

(i) Seja 0 ≤ r < 1. Considere o item anterior e suponha já termos demonstrado que lim x→∞

rx = 0. Qual conclusão é obtida dáı?

(j) Dizer que (xn) é limitada significa dizer que existe B ∈ R tal que

|xn| ≤ B para todo ı́ndice n .

Mostre que toda sequência convergente é limitada.

(k) Sejam

x1 = 3, 1, x2 = 3, 14, . . . , xn = 3, 1415926 . . . dn

e dn o d́ıgito da n-ésima casa decimal de π. Verifique que tal sequência é limitada e convergente.20

(l) Seja xn = (−1) n para cada ı́ndice n. Verifique, pela definição, que a sequência (xn)

é limitada mas não é convergente.

2. Divida o intervalo [0, 1] em n partes iguais. Cada uma destas partes é um subintervalo de comprimento 1/n. Tais subintervalos têm extremos

0, 1

n , 2

n , . . . ,

n− 1

n , n

n = 1.

Para a (parte da) parábola f(x) = x2 com x ∈ [0, 1], considere os retângulos cujas bases sejam os n subintervalos e cujas alturas sejam as imagens por f dos extremos destes subintervalos. (Para uma representação geométrica destes retângulos para n = 8, confira a ilustração que segue.)

19Use o item (a) da questão 1 da Parte I. 20Para a convergência, mostre que π − xn ≤ 10−n para cada ı́ndice n. Depois use o TSS combinado com o

item (i) anterior.

1.2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 15

f(x) = x2

X

Y

0 1 8

1 4

3 8

1 2

5 8

3 4

7 8

1

Seja sn (respectivamente, Sn) a soma das áreas destes retângulos de alturas dadas pelos extremos inferiores (respectivamente, superiores) destes subintervalos. Por último defina 1∫

0

f como o valor da área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo das abcissas e

pelas retas x = 0 e x = 1. Obviamente, sn ≤ 1∫

0

f ≤ Sn.

(a) Calcule sn e Sn para n = 2, 4, 8, 16, 32.

(b) Mostre que lim n→∞

sn = lim n→∞

Sn = 1 3 .21

(c) O que o item anterior te diz sobre o valor de 1∫

0

f.22

3. Como na questão anterior, seja f uma função real não negativa e cont́ınua sobre [a, b]. Divida tal intervalo em n subintervalos, não necessariamente de mesmo comprimento,

[xi, xi+1] , i = 1, 2, . . . , n,

tais que x1 = a, xn+1 = b e, sendo ∆n o maior entre os comprimentos de todos tais subintervalos,

lim n→∞

∆n = 0.

Por outro lado, suponha já termos demonstrado o Teorema dos Valores Máximo e Mı́nimo (TMM), isto é, se uma função é cont́ınua num intervalo fechado e limitado, assuma já termos provado que tal função assume valores máximo e mı́nimo (globais) em tal intervalo. Então, sendo mi e Mi os valores mı́nimo e máximo de f em [xi, xi+1] , i = 1, 2, . . . , n, considere a soma inferior (respectivamente, superior)

sn :=

n∑

i=1

mi (xi+1 − xi) (respectivamente, Sn := n∑

i=1

Mi (xi+1 − xi) )

21Mostre, por indução finita, que

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6

, n ∈ N.

Depois use tal identidade no cálculo de lim n→∞

Sn. Ainda, no cálculo do limite anterior, use o item (e) da questão

1 anterior. Para concluir, utilize um racioćınio análogo para calcular lim n→∞

sn. 22Use o TSS.

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

de Riemann de f em relação a partição {x1, x2, . . . , xn, xn + 1} de [a, b]. Assim, devido a f ser cont́ınua, pode ser demonstrado que os limites lim

n→∞ sn e lim

n→∞ Sn existem e são iguais.

Neste caso, defina a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas

x = a e x = b como sendo tal limite comum. Denote tal área por b∫

a

f. Defina ainda a

função I do seguinte modo:

[a, b] ∋ x 7→ I(x) = ∫ x

a

f.

Demonstre os itens seguintes:

(a) I é diferenciável e I ′ = f, isto é, I é uma primitiva de f;

Sugestão: Inicie considerando a continuidade de f no intervalo [x, x+ h] ⊂ [a, b] para h suficientemente pequeno mas positivo. Dáı, pelo TMM, existem xm, xM ∈ [x, x + h] tais que, neste intervalo, f (xm) é o menor e f (xM) é o maior entre todos os valores de f. (Por exemplo, na ilustração seguinte, xM = x e xm = x+ h.)

y = f(x)

Xx x+ ha b

Agora, compare as áreas dos retângulos aproximantes e da região sob a curva y = f(x) de base [x, x+ h] via

f (xm)h ≤ ∫ x+h

x

f ≤ f (xM)h.

Verifique então que a área entre as desigualdades é dada por I(x+h)− I(x). Estude, para concluir, o quociente de Newton que surge dáı para h → 0.

(b) (Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para Funções Não Negativas)

F é uma primitiva de f ⇒ ∫b a f = F(b) − F(a) := F(x)

x=b

x=a .

Sugestão: Use que F− I é uma função constante.

4. Considere as mesmas hipóteses da questão anterior com uma exceção: f agora pode assumir também valores negativos em [a, b]. Escolha x̄i ∈ [xi, xi+1] para i = 1, 2, . . . , n. Então, como

mi (xi+1 − xi) ≤ f (x̄i) (xi+1 − xi) ≤ Mi (xi+1 − xi) para i = 1, 2, . . . , n, segue que

sn ≤ n∑

i=1

f (x̄i) (xi+1 − xi) ≤ Sn.

1.2. FUNDAMENTOS DE CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL 17

Considere agora tais desigualdades para n tão grande quanto se queira. Como na questão anterior, devido a f ser cont́ınua e lim

n→∞ ∆n = 0, podem ser demonstradas a existência e a

igualdade dos limites das sequências que figuram em tais desigualdades, bem como que

lim n→∞

n∑

i=1

f (x̄i) (xi+1 − xi)

é independente da escolha de x̄i, i = 1, 2, . . . , n. Tal limite é dito a integral definida de

f em [a, b] e é denotado por b∫

a

f(x)dx. Ainda, neste caso, f é dita integrável. (Observe

que, se f é não negativa, b∫

a

f(x)dx = b∫

a

f.) Para terminar, defina b∫

a

f(x)dx = − a∫

b

f(x)dx se

a < b. Resolva os seguintes itens:

(a) Considere a função

f(x) =

{ −x2 se x < 0, x2 se x ≥ 0.

Verifique dáı que:

i. lim n→∞

S2n = 0 com S2n = S − n+S

+ n tal que S

− n e S

+ n são somas superiores de Riemann

de f restrita aos intervalos [−1, 0] e [0, 1], respectivamente.23

ii. 1∫

−1

f(x)dx = 0.24

(b) Demonstre que:

i. b∫

a

f(x)dx = c∫

a

f(x)dx+ b∫

c

f(x)dx se c ∈ [a, b];

Sugestão: Inicie considerando 2n subintervalos de [a, b], digamos

[xi, xi+1], i = 1, 2, . . . , 2n,

com x1 = a, xn+1 = c e x2n+1 = b, e escolhendo x̄i pertencente ao i-ésimo subintervalo anterior, i = 1, 2, . . . , 2n. Dáı, estude

2n∑

i=1

f (x̄i) (xi+1 − xi) =

n∑

i=1

f (x̄i) (xi+1 − xi) +

2n∑

i=n+1

f (x̄i) (xi+1 − xi)

para n suficientemente grande. (Note ainda que, se j = i − n, então o último

somátorio anterior é dado por n∑

j=1

f (x̄j) (xj+1 − xj).)

ii. b∫

a

(constante · f(x))dx = constante · b∫

a

f(x)dx;

iii. f1 e f2 são cont́ınuas em [a, b] ⇒ b∫

a

(f1(x) + f2(x))dx = b∫

a

f1(x)dx+ b∫

a

f2(x)dx;

23Use o item 2.(b) anterior. 24Use o item anterior.

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

iv. b∫

a

f(x)dx ≥ 0 se f é não negativa em [a, b].

(c) Suponha já termos demonstrado o TFC para funções não necessariamente não ne- gativas, isto é, se f : [a, b] → R é cont́ınua, assuma termos provado que

∫b

a

f(t)dt = F(t) ∣

t=b

t=a = F(b) − F(a).

Use tal fato para demonstrar as técnicas de integração enunciadas nos dois subitens seguintes.

i. (Integração por Substituição)

Se [c, d] ∋ x u7→ u(x) ∈ [a, b] é uma bijeção com derivada cont́ınua, não nula e tal que u(c) = a e u(d) = b, então

∫d

c

f(u(x)) du

dx dx =

∫b

a

f(u)du.

Sugestão: Inicie considerando uma primitiva F de f e a integração

∫d

c

f(u(x)) du

dx dx =

∫d

c

F ′(u(x)) du

dx dx

=

∫d

c

d

dx (F(u(x)))dx,

onde usamos a Regra da Cadeia (exerćıcio 20 da Parte I) na última igual- dade. Agora use o TFC na última integral e continue dáı.

ii. (Integração por Partes) Use a Regra da Derivada do Produto (exerćıcio 19.(b) da Parte I) para demonstrar que, se u e v são cont́ınuas em [a, b], então

∫b

a

v(x) du

dx dx = u(x)v(x)

x=b

x=a −

∫b

a

u(x) dv

dx dx

(que costumamos denotar por ∫b a vdu = uv

b

a − ∫b a udv).

(d) Em bons livros de Cálculo de Uma Variável, encontre e resolva integrais que utili- zem, em tais resoluções, as duas técnicas de integração enunciadas nos dois subitens anteriores.

Caṕıtulo 2

Definições Básicas

Como todos devem recordar, sendo A e B dois conjuntos não vazios, uma função f (definida em A a valores em B) associa a cada elemento a ∈ A um único elemento f(a) ∈ B; A é o domı́nio de f; f(a) é a imagem de a (por f) e o subconjunto de B de todas tais imagens é a imagem de f. Aqui estudaremos funções f cujos domı́nios são subconjuntos do Rn e cujas imagens são sub- conjuntos do Rm, isto é,

A = Dom(f) ⊂ Rn e Im(f) ⊂ Rm = B.

No já estudado ‘Cálculo de Funções y = f(x) Reais de Uma Variável Real’ temos n = m = 1:

• Para todo x ∈ Dom(f) ⊂ R, existe y ∈ R tal que y = f(x).

Aqui estudaremos principalmente os casos em que:

• n = 2 e m = 1: Para todo (x, y) ∈ Dom(f) ⊂ R2, existe z ∈ R tal que z = f(x, y);

• n = 3 e m = 1: Para todo (x, y, z) ∈ Dom(f) ⊂ R3, existe w ∈ R tal que w = f(x, y, z);

• n = 1 e m = 2: Para todo t ∈ Dom(f) ⊂ R, existe (x, y) ∈ R2 tal que (x, y) = f(t);

• n = 1 e m = 3: Para todo t ∈ Dom(f) ⊂ R, existe (x, y, z) ∈ R3 tal que (x, y, z) = f(t).

No primeiro caso temos Funções Reais de Duas Variáveis Reais. Por exemplo, a função f que a cada vetor (x, y) associa o seu comprimento f(x, y) =

x2 + y2. Dáı, por exemplo,

f(3, 4) = √

32 + 42 = 5 u.c. e f (√

2, 1/2 )

=

√√ 2 2 + (1/2)2 = 3/2 u.c..

Outro exemplo, a função f(x, y) = xy que calcula a área de um retângulo cuja base mede x u.c. e cuja altura mede y u.c.. Assim, por exemplo, f(2, 2) = 4 u.a. é a área de um quadrado cujo lado mede duas u.c.. No segundo caso temos Funções Reais de Três Variáveis Reais. Por exemplo, a função f que a cada ponto do espaço associa a sua distância ao plano OXY. Dáı, por exemplo,

f(7, 4,−2) = 2 u.c. e f(1, 2, 3) = 3 u.c.;

Nos dois últimos casos temos as Funções (a Valores) Vetoriais (de Uma Variável Real) ou Curvas Parametrizadas e, em geral, seus domı́nios são intervalos da reta real. Além disso,

19

20 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES BÁSICAS

é conveniente ressaltar que as ‘coordenadas’ de f(t) também dependem da variável independente t, isto é, x = x(t), y = y(t) e z = z(t). Por exemplo, a função f que a cada instante de tempo t ∈ [0, 2π) associa a posição f(t) = (cos t, sen t) de uma part́ıcula numa circunferência de centro na origem e raio unitário. (Aqui, x(t) = cos t e y(t) = sen t.) (Em geral, denotaremos tais funções vetoriais por letras gregas. Por exemplo, no lugar de f usaremos γ. Além disso, por abuso de notação, funções vetoriais com imagens em R3 e com uma das componentes nula podem ser consideradas como funções vetoriais com imagens em R

2. Por exemplo, no lugar de γ(t) = (x(t), y(t), 0) podemos usar apenas γ(t) = (x(t), y(t)).) Como todos devem lembrar dos estudos iniciais das funções reais de uma variável real, y = f(x), o domı́nio e a imagem de f podem ser (e quase sempre são) intervalos (ou reunião de intervalos) da reta real.1 Cada um desses intervalos pode ser de um dos seguintes tipos: aberto, fechado, aberto à direita e fechado à esquerda, fechado à direita e aberto à esquerda, limitado ou ilimitado. Iniciaremos nossos estudos generalizando o conceito de intervalo da reta real para subconjuntos do Rn que aparecem, com certa frequência, como domı́nios de funções de várias variáveis. Terminaremos este caṕıtulo estudando ‘Gráficos’ de funções de duas variáveis e ‘Traços’ de funções vetoriais. Mas antes, vamos determinar os domı́nios e as imagens de algumas funções z = f(x, y) e w = f(x, y, z):

1. z = x2 + y2 pode ser obtido para todo (x, y) ∈ R2. Dáı Dom(f) = R2. Por outro lado, como a soma de dois quadrados no mı́nimo é 0 e (tal soma) pode se tornar tão grande quanto se queira (ao variarmos os pontos do domı́nio), temos que Im(f) = [0,+∞).

2. Para z = x+y√ 1−x2−y2

, note que:

(a) O domı́nio é dado por

Dom(f) = { (x, y) ∈ R2

∣ 1− x2 − y2 > 0 }

= { (x, y) ∈ R2

∣ x2 + y2 < 1 } ,

isto é, o domı́nio é o conjunto dos pontos do plano que pertencem ao ćırculo de centro (0, 0) e raio unitário, exceto aqueles que pertencem a sua circunferência x2+y2 = 1;

(b) Em considerando pontos do domı́nio arbitrariamente próximos da circunferência x2 + y2 = 1, temos que o numerador x + y é limitado, podendo ser negativo ou positivo, e o denominador

1− (x2 + y2) se aproxima de 0 pela direita, isto é,

z = (x+ y) · 1√ 1− (x2 + y2)

se aproxima de ±∞. Dáı Im(f) = (−∞,+∞).

3. Para z = ln (

9− x2 − 9y2 )

, note que:

1Por exemplo, o domı́nio e a imagem de y = √ x é o intervalo [0,+∞). Outro exemplo, o domı́nio de y = ex é

o intervalo (−∞,+∞) e a imagem é o intervalo (0,+∞), enquanto que o contrário ocorre para a função y = ln x. O domı́nio de y = tan x é a união de intervalos

· · · ∪ (−5π/2,−3π/2) ∪ (−3π/2,−π/2) ∪ (−π/2, π/2) ∪ (π/2, 3π/2) ∪ (3π/2, 5π/2) ∪ · · · ,

enquanto que a sua imagem é o intervalo (−∞,+∞)!

21

(a) O domı́nio é dado por

Dom(f) = { (x, y) ∈ R2

∣ 9− x2 − 9y2 > 0 }

= { (x, y) ∈ R2

∣ x2 + 9y2 < 9 }

=

{ (x, y) ∈ R2

x2

9 + y2 < 1

}

=

{ (x, y) ∈ R2

x2

32 +

y2

12 < 1

} ,

isto é, o domı́nio é o conjunto dos pontos do plano que pertencem a elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre o eixo dos x (com vértices em (±3, 0)) e eixo menor sobre o eixo dos y (com vértices em (0,±1)), exceto aqueles pontos que pertencem a sua fronteira x

3

32 + y

2

12 = 1, isto é, 9−

(

x2 + 9y2 )

= 0;

(b) Em considerando pontos do domı́nio arbitrariamente próximos da fronteira da elipse 9−

(

x2 + 9y2 )

= 0, temos que 9− (

x2 + 9y2 )

se aproxima de 0 pela direita, isto é, z se aproxima de −∞. Por outro lado, 9−

(

x2 + 9y2 )

atinge o seu maior valor quando x2 + 9y2 alcança o seu menor valor, isto é, quando x = y = 0. Dáı

Im(f) = (−∞, ln 9).

4. Para w = cos (

1− x2 − y2 − z2 )

, note que:

(a) O domı́nio é dado por

Dom(f) = { (x, y, z) ∈ R3

∣ 1− (

x2 + y2 + z2 )

≥ 0 }

= { (x, y, z) ∈ R3

∣ x2 + y2 + z2 ≤ 1 } ,

isto é, o domı́nio é o conjunto dos pontos do plano que pertencem a esfera de centro (0, 0, 0) e raio unitário: cada um desses pontos está a uma distância da origem não maior do que 1 u.c.;

(b) Note que, para cada ponto (x, y, z) ∈ Dom(f), como

0 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ − (

x2 + y2 + z2 )

≤ 0 ⇔ 0 ≤ 1−

(

x2 + y2 + z2 )

≤ 1

⇔ cos 1 ≤ cos (

1− (x2 + y2 + z2) )

≤ cos 0

⇔ cos 1 ≤ w ≤ 1,

temos que Im(f) = [cos 1, 1].

22 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES BÁSICAS

2.1 Bola Aberta de Centro P0 ∈ Rn e Raio r > 0 • Para n = 1, é o intervalo aberto ]P0 − r, P0 + r[;

P0 − r ❞

P0 t ❞

P0 + r

A figura anterior ilustra um tal intervalo aberto.

• Para n = 2, é o conjunto dos pontos de um ćırculo de centro P0 e raio r, exceto aqueles que pertencem a sua circunferência, isto é, aqueles que distam de P0 exatamente r;

P0

r

A figura anterior ilustra uma bola aberta de centro P0 e raio r em R 2.

• Para n = 3, é o conjunto de todos os pontos de uma esfera de centro P0 e raio r, exceto aqueles que distam de P0 exatamente r.

Em geral, uma tal bola aberta é o conjunto

{ P ∈ Rn

∣ ||P − P0|| < r } ,

onde ||P − P0|| representa a distância euclidiana entre P e P0.

2.1.1 Exemplos

• Para n = 1, P0 = x0 e P = x, a bola aberta é dada por { x ∈ R

∣ |x− x0| < r } ;

• Para n = 2, P0 = (x0, y0) e P = (x, y), a bola aberta é dada por { x ∈ R2

(x− x0)2 + (y− y0)2 < r } .

2.1.2 Observação { P ∈ Rn

∣ ||P − P0|| ≤ r } é a Bola Fechada de Centro P0 e raio r.

2.2. CONJUNTO ABERTO - PONTO INTERIOR 23

2.2 Conjunto Aberto - Ponto Interior

Cada ponto P0 de um subconjunto aberto de R n, digamos, A ⊂ Rn, é interior (a A), isto é,

existe alguma bola aberta de centro P0 inteiramente contida em A.

2.2.1 Exemplos

• Para n = 1, P0 = 1 é interior ao intervalo aberto A =]0, 2[ pois ]

1− 1 2 , 1+ 1

2

[

⊂ A, por exemplo. Contudo, 0 e 2 não são interiores a A. Na verdade, A é aberto: qualquer ponto P0 ∈ A é centro de algum intervalo aberto contido em A;

• Para n = 2, considere o conjunto A ′ de todos os pontos do primeiro quadrante, exceto aqueles que estejam nos eixos coordenados. A ′ é aberto pois qualquer um de seus pontos é interior (a A ′). Nenhum ponto dos eixos coordenados é interior a A ′;

• Para n = 3, todos os pontos de um cubo são interiores ao mesmo, exceto aqueles perten- centes as suas faces. Um cubo sem as faces é aberto.

2.3 Ponto de Fronteira

P0 ∈ Rn está na fronteira de um subconjunto A de Rn se toda bola aberta de centro P0 intercepta A e intercepta o complementar de A em Rn.

2.3.1 Exemplos

• Para n = 1, {0, 2} é a fronteira de A =]0, 2[;

• Para n = 2, para o conjunto A ′ dos pontos do primeiro quadrante que não estejam nos eixos coordenados, a origem e todos os pontos que pertecem aos semi-eixos coordenados positivos formam a fronteira de A ′;

• Para n = 3, as faces de um cubo formam a sua fronteira.

2.4 Conjunto Compacto

Um subconjunto C de Rn é compacto quando contém a sua fronteira e está contido em alguma bola fechada. Se apenas contém a fronteira, C é dito fechado. Se apenas está contido em alguma bola fechada, C é dito limitado.

2.4.1 Exemplos

Nos exemplos anteriores, tanto A quanto A ′ não são compactos. Contudo, [0, 2] é compacto pois além de conter a sua fronteira está contido em, por exemplo, [1 − 1, 1 + 1]. Agora, ainda que consideremos a união de A ′ com a sua fronteira, tal união não é um conjunto compacto pois nenhuma bola fechada pode contê-la. Finalmente, um cubo, incluindo as suas faces, é compacto.

24 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÕES BÁSICAS

2.5 Gráficos de Funções f Reais

de Uma Variável Real é o conjunto

G(f) = { (x, f(x)) ∈ R2

∣ x ∈ Dom(f) } ;

de Duas Variáveis Reais é o conjunto

G(f) = { (x, y, f(x, y)) ∈ R3

∣ (x, y) ∈ Dom(f) } ;

de Três Variáveis Reais é o conjunto

G(f) = { (x, y, z, f(x, y, z)) ∈ R4

∣ (x, y, z) ∈ Dom(f) } .

f, no primeiro caso, tem domı́nio contido em R e gráfico contido em R2; no segundo, domı́nio contido em R2 e gráfico contido em R3; no último, domı́nio contido em R3 e gráfico contido em R

4. Na ilustração seguinte, exemplos de gráficos (ou partes dos mesmos) dos dois primeiros casos são representados(as). Note que não há possibilidade de se ilustrar tridimensionalmente o último caso!

(x, f(x)) (x, y, f(x, y))

2.5.1 Exemplos

Em alguns poucos exemplos, podemos usar algumas figuras geométricas conhecidas (planos, esferas, parabolóides, etc) para a visualização dos gráficos.

1. Para z = f(x, y) = −x − y + 1, primeiramente note que existe z para todo (x, y) ∈ R2, isto é, Dom(f) = R2. Agora, de z = −x−y+ 1 temos x+y+ z− 1 = 0. Esta é a equação do plano ax + by + cz + d = 0 para a = b = c = 1 e d = −1 (veja figura 2.1). Por fim temos

G(f) = { (x, y,−x− y+ 1) ∈ R3

∣ (x, y) ∈ R2 } .

2. Para z = f(x, y) = √

1− x2 − y2, primeiramente note que existe z (não negativo) para (x, y) ∈ R2 tal que 1− x2 − y2 ≥ 0, isto é, x2 + y2 ≤ 1. Dáı, Dom(f) é a bola fechada em R

2 com centro na origem e raio 1. Agora, da equação da esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1, segue que z = ±

√ 1− x2 − z2. Dáı, desconsiderando o sinal negativo, temos que

G(f) = { (x, y,

1− x2 − y2) ∈ R3 ∣

∣ x2 + y2 ≤ 1 }

é a semiesfera unitária superior (veja figura 2.2).

Agora, ‘secções transversais’ de um gráfico G(f) dado acarretam curvas espaciais que, quando projetadas no plano OXY, são ditas curvas de ńıvel da função z = f(x, y). Estas, juntamente com intersecções de G(f) com planos verticais (paralelos ao eixo OZ), resultam num modo qualitativo de se obter G(f) como veremos a seguir.

2.5. GRÁFICOS DE FUNÇÕES F REAIS 25

-1 -0.5

0 0.5

1

x

-1

-0.5

0

0.5

1

y

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

z

Figura 2.1: Gráfico da função z = f(x, y) = −x− y+ 1 para x e y variando entre −1 e 1.

-0.6 -0.4

-0.2 0

0.2 0.4

0.6

x -0.6

-0.4 -0.2

0 0.2

0.4 0.6

y

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

Figura 2.2: Gráfico da função z = f(x, y) = √

1− x2 − y2 para x e y variando entre −0.7 e 0.7.

2.5.2 Conjunto de Nı́vel

Curva de Nı́vel c, c ∈ R fixo, no plano OXY

É a projeção no plano z = 0 (plano OXY) da interseção do gráfico de z = f(x, y) com o plano horizontal z = c (plano paralelo ao plano OXY de altura c), isto é, é o conjunto

{ (x, y) ∈ R2

∣ f(x, y) = c } .

Superf́ıcie de Nı́vel c, c ∈ R fixo, em R3

É o conjunto { (x, y, z) ∈ R3

∣ f(x, y, z) = c } .

Para f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, por exemplo, as superf́ıcies de ńıvel são esferas com centro na origem cujos raios pertencem ao conjunto [0,∞). De fato, uma tal esfera é a representação geométrica do conjunto

{ (x, y, z) ∈ R3

∣ x2 + y2 + z2 = (√

c )2 }

com c ∈ [0,∞) fixo. Note ainda que a superf́ıcie de ńıvel 0 é representada pela origem do sistema OXYZ.

comentários (1)
muito bom mesmo
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