Lista 9 - Exercícios - Cálculo 1A, Notas de estudo de Cálculo. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
Barros32
Barros3222 de março de 2013

Lista 9 - Exercícios - Cálculo 1A, Notas de estudo de Cálculo. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)

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Apostilas e exercicios de Matemática da Universidade Federal Fluminense sobre o estudo do Cálculo.
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Lista 9 Cálculo I -A- 2008-1 16

Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matemática

GMA - Departamento de Matemática Aplicada

LISTA 9 - 2008-1 Função impĺıcita

Taxas relacionadas

1. Determine a expressão de pelo menos duas funções y = y(x) definidas implicitamente pela equação xy2 + x + y = 1. Explicite seus domı́nios.

2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação sec2(x + y) cos2(x + y) = 3 2 . Calcule

f ′ (π

4

) , sabendo que f

(π 4

) = 0.

3. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação x2−x√xy+2y2 = 10. Encontre o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função f no ponto (4, 1).

4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0) , sabendo que f(x) > 0, ∀x ∈ R.

5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cissóide de Diocles cuja equação é (2− x)y2 = x3.

(a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da curva em (1, 1);

(b) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico da curva nos

pontos em que x = 3 2 .

y

x

–4

–2

0

2

4

–1 1 2

6. Considere a lemniscata de equação ( x2 + y2

)2 = x2−y2 (figura ao lado). Determine os quatro pontos da lemniscata em que as retas tangentes são horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes são verticais.

y

x

–1

0

1

–1 1

7. Cascallho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, de modo que o raio do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3 m.

8. Uma câmara de televisão no ńıvel do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. A câmara está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taxa de variação da distância entre a câmara e a base do ônibus espacial, 10 seg após o lançamento (suponha que a câmara e a base do ônibus estão no mesmo ńıvel no tempo t = 0).

9. Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P à 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo à 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P .

150

200

P

(a) Antes do ponto P , a distância entre os aviões está diminuindo? a que taxa?

(b) Os aviões correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos aviões mude a sua trajetória?

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Lista 9 Cálculo I -A- 2008-1 17

10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 +4y2 = 1. A abscissa x está variando a uma velocidade dx

dt = sen 4t. Mostre que (a)

dy

dt = −x sen 4t

4y (b)

d2y

dt2 = sen

24t + 16xy2 cos 4t 16y3

.

11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha dx dt

> 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.

12. Uma escada de 8 m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?

13. Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3/seg. O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m. Com que velocidade o ńıvel h da água está subindo no instante em que h = 5 m?

água

10 m

15 m

h

14. O raio de luz de um farol, que está situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotações por minuto). Considere a altura do farol despreźıvel em relação a sua distância até a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ângulo de 45

com a linha da praia.

RESPOSTAS

1. y = f(x) = 1−√1 + 4x− 4x2

2x

y = g(x) = 1 +1 + 4x− 4x2

2x ;

domı́nio = (

1−√2 2 , 0

) ⋃( 0, 1+

2

2

)

2. 1 3. 0

4. 1 4

5. (a) y = 2x− 1 (b) y = 3

3x− 33 e y = 33x + 33

6. Tangentes horizontais em:

x =

6 4

e y =

2 4

;

x =

6 4

e y = − √

2 4

;

x = − √

6 4

e y =

2 4

;

x = − √

6 4

e y = − √

2 4

.

Tangentes verticais em:

x = 1 e y = 0; x = 1 e y = 0.

7. 10, 6 cm/min

8. 278, 54 m/seg

9. (a) está diminuindo à velocidade escalar de 750 mi/h

(b) 20 min

11. (2, 1)

12. velocidade escalar de 655

m/seg = 80, 9 cm/seg

13. 0, 9 100π

m/seg = 0, 2865 cm/seg

14. 96π ∼= 301, 6 km/min = 5, 03 km/h

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