Lista de exercícios Boldrini, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de exercícios Boldrini e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! amo MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Data: 07/08/2019 E SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA Turma: Engenharia Elétrica esto INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE GOIÁS Disciplina: Álgebra Linear e Campus Goiênia Professor: Paulo César da Silva Júnior . ” Tópico: Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes, 12 Lista de Exercícios — Álgebra Linear 1. Sejam -1 fi 2 eo 0-0 É = = D=[2 1 a=[5 1 à) 30 1 € a l ] Encontre: ajA+B DA-C JB-C JCc.D eJD-A ND-B 8 -A h) -D Deva SL = fe nie]: So AU= A então e -SjpA=| 0, 0]: =A, então x = . Se A é uma matriz simétrica, então A - A' = Se A é uma matriz triangular superior, então A' é Se A é uma matriz diagonal, então A' = an iu . Verdadeiro ou falso? a) CA) = (A) bD)(A+B) =B+A' c) Se AB=0,então A =0ouB=0. d) (KA) (kB) = (k ka )AB (A) (-B) = -(AB) f) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA. g) Se A-B=0,entãoB.A=0. h) Se podemos efetuar o produto A « A, então A é uma matriz quadrada. 7. So ADS AS Ano RS : » 32 8. Se A é uma matriz triangular superior, então A? é 9 x 1 2 4-8 E 10 Ache x, ), Z, w se E | 5 4 ô : fis 2 1; 4750 Ponhbxal 22 10. Dadas A=|2 1 -C3]),B=|)2 1 1 1JeC=|3-2 41 = 4 3 A 2 2 5 ame O mostre que AB = AC. 11. Suponha que A + 0 e AB = AC onde A, B, C são matrizes tais que a multiplica- ção esteja definida. a) B=€? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I é a matriz identidade, então B=C? 12. Explique por que, em geral, (A +B) £ A? +2AB+B? e(A+B)(A-B) + AB. QEadEs ELA. 5 » Ea 13. Dadas A=|-1 4 5|,B=|1 3 S|eC=|-1 3 4|, 1EESREA ES RSRAS RS a) Mostre que AB=BA=0,AC=AeCA=C. 7 à b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A? - Bº = = (A-BJ(A+B) e (ALBP=A?+B?. 14. Se A = [ É E ache B, de modo que B? = A. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. De 4x x 3x a = VsbaBE 3y+2z utah Vito Z pac- Descreva todas as possíveis matrizes 2 X 2, que estão na forma escada redu- zida por linhas. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. ada 452043. 000l (C)ishO; obut2u2 2 otlida der É dos RS SD, ed Ze DRUG a 2-1 dio DES dad 5. Dado o sistema 3x sy =1 2x tz=3 Sx+ p= z=0 escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema original. 6. Determine k, para que o sistema admita solução. -4x +3y=2 5x - 47 =0 X- y=k Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) de cada alimento, determinou-se que: i) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. ii) O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, O unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E. iii) O alimento II tem 2 unidades de A, 2 unidades de B, 5 unidades de C, 1 unidade de D e 2 unidades de E. iv) O alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 2 unidades de D e 13 unidades de E. v) O alimento V tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades de D e 2 unidades de E. Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada? Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10m? 140 g de nitrato. 190 g de fosfato e 205 g de potássio. : Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes características: í) Cada quilograma do adubo I custa 5 u.c.p. e contém 10 g de nitrato, 10 g de fosfato e 100 g de potássio. ii) Cada quilograma do adubo II custa 6 u.c.p. e contém 10 g de nitrato, 100 g de fosfato e 30 g de potássio. iii) Cada quilograma do adubo III custa 5 u.c.p. e contém 50 g de nitrato, É 20 g de fosfato e 20 g de potássio. iv) Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.c.p. e contém 20 g de nitra- to, 40 g de fosfato e 35 g de potássio. Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.c.p. a cada 10 m? com a adubação? Dê o número de inversões das seguintes permutações de 1, 2, 3, 4,5: 35412 b):2 142304 os 4324 d) No determinante de uma matriz 5 X 5, que sinal (negativo ou posi- tivo) precederia os termos 413425434441452 € AysAaa0 33042451? Quantas inversões tem a permutação (n n-1 ... 2 1) dos números sig, n-1,n? 2 08 =] Calcule det|3 0 2 4.3 EA a) pela definição b) em relação à segunda coluna, usando o desenvolvimento de Laplace. E SE EIA): “3a Dadas as matrizes A = [ a] eB= [; a calcule a) det A + detB b) det (A + B) . Sejam A e B matrizes do tipo n X n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. a) det (AB) = det (BA) b) det (A!) = detA c) det (2A) = 2 det A d) det (A?) = (det A)? e) detAj <detA f) Se A é uma matriz 3 X 3, então a An + ap An + ahi = da Do + dolo + dosÃos 226 asp dj - Dada A = o E : $ calcule Igrelos Ag a) Aos o) Ass b) Ass agieta Propriedade: O determinante de uma matriz triangular Anxn é igual ao pro- duto dos elementos de sua diagonal. a) Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular supe- rior (genérica) 5 X 5. (Sugestão: Use e abuse do desenvolvimento de La- place.) b) O que você pode dizer sobre o número de soluções dos sistemas abaixo? 5x, + 2x - 3x3 + 9x, =0 Esfnçãa o 3x, +9x3 724 =0 -2x3 + x4=0 x=1 3xs + 2x4 E = 0 aa TIO sen cio CS, (ii) -9x%3- + 9x =0 3% Eis =0 x=0 Calcule det A, onde a) Sopeel 20, e) TE o; 2 + O, 22-00 3 chi i Colo Qui Es [Dm O 1 1 eU: RR d b) e 0 0.00 19 18 DSO 0: A=|-6 m = 0-0 4 V2 V3)0 0 8 És Sa 6 e] Encontre A”!, onde a) REST 2 WEZ b) O dede TZ = se de 020 1a te =] aa 2, SA 0 a oq a Ds] 1 1 1 SO. co) La Amp Dio 2 dad qi, . Dada a matriz A=/0 2 1] calcule Scot: 3 a) adj A b) det A o AS 1 1 1 . Mostre que det|a b cl=(a-b(b-c)(c-a) Dad 2 . Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P-!AP. Mostre que det A = det B se A e B são semelhantes. - Verdadeiro ou falso? a) Se det A = 1, então A! = A. b) Se A é uma matriz triangular superior e A”! existe, então também A! será uma matriz triangular superior. c) Se A é uma matriz escalar n X n da forma kl,, então det A = k”. d) Se A é uma matriz triangular, então det A = q, +... + Am. . Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer: = 2y + 2= DER = y-52=4