Lista exercícios - Boldrini, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista exercícios - Boldrini e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! 170 ÁLGEBRA LINFAR Para responder a isto basta utilizar a matriz de 5.5.1 com é -< para à primeira reflexão e 9 = a para a segunda. Temos então (verifique): e 1 Sai 3 ! 1+V3 RE “Cao 3d ya | 13 d 2 2 do - 2 + 1-43 Concluímos, então, que o feixe estará na direção de (US , 3, O mesmo raciocínio poderá ser feito quando estamos com espelhos planos no espaço. Façamos um exemplo. Vamos mostrar que se tivermos 3 espelhos colocados dois a dois perpendiculares, qualquer feixe de luz de raios paralelos que incide sobre o conjunto sairá paralelo à direção de incidência após as refle- xões (veja a Figura 5.5.4). Figura 5.5.4 As matrizes associadas a cada espelho podem ser obtidas observando o que ele faz com cada um dos vetores da base canônica. Obtemos então: 100 1 00 Lo O M,= o 1 0),M=|0 1 0]/,M=|0 1 o 001 o 01 9 0 «1 para os espelhos [, Il e IN respectivamente (verifique). Se o feixe de luz incidente está nu direção (a, b, c) a direção do feixe refletido pelo conjunto será d a -a el=MeM-Melb|=|5 f c -€ O mesmo resultado será obtido se as reflexões se derem em outra ordem (M,MaM,, MiM2Ma etc.) Podemos concluir, portanto, que a direção de saída é paralela e contrária à de entrada. A reflexão da luz (ou som) feita em espelhos não planos não é descrita por transformações lineares. Você verá alguns exemplos de espelhos não planos em 11.7. Aguarde! Transformações Lineares 171 5.6 EXERCICIOS 1. Seja T:V > W uma função, Mostre que: q) Se T é uma transformação linear, entã s o T(0) = b) Se T(0) O, então T não é uma traraornação Tea 2. Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: a fRoR? pretty x-y) b)g:Rê>R Ge spray e) 4:M,>R a(o] dj kiP>Ps ut tbrters ox! + bx! 4 ex e M:RISR? 12 (Dr (x y, ap | ra A NR->R all 3. 2) Ache a transformação linear 7:R? > R? tal : que T(1,0, 0) = (2, 0), T(O, 1,0) =(1,1)e T(0,0,1)=(0, -1). ) b) Encontre v de Rê tal que T(v) = (3, 2). 4.4) Qual é à transformação linear TIRZ>R? tal : que T(L, ND) =(3 T(0, -2) = (0,1, 0)? = Be b) Ache T(1, 0) e T(O, 1). <) Qual é à transformação linear S:R3—>R? tal que S(3, 2, 1) : » 3, 1) =(1, 1), S(0, 1,0) = (0, 2) e S(0,0, 1) = (0,03? 61) d) Ache a transformação linear P:R?>R? tal que P = soT, 5. a) Ache a transformação 7 do plano no plano que é uma reflexão em torno da teta x =). b) Escreva-a em forma matricial. 6. No plano, uma rotação antihorária de 45º é seguida por uma dilatação de "2, Ache a aplicação À que representa esta transformação do plano. 172 ÁLGEBRA LINEAR 1 . 7. Qual é a aplicação A que representa uma cuntração de 47 seguida por uma rotação horária de 45º? 8. Verifique qual o núcleo é imagem e suas respectivas dimensões das transfor- mações dadas nos exemplos do parágrafo 5.1. 9. Dados T:E'> V linear e injetora e ur, Mo. -., Uk, Vetures Ll em U, mostre que (T(m), .. Tlm) é LL. H 3 10. Sejam R, S e T três transformações lineares de Rº em Rº. oa Se IR]J=|2 1 Ile o 1a -2 Va Esi=|3 1 2), ache 132 0 T tal que R = SoT. 11. Sejam a = KI, 1, (0, Di cê = 1, O, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 0) bases de R? e Rº respectivamente e q) Ache TF. b) Se Stx, y) = x), 2), ache (SF 10 c) Ache uma base y de Rº tal que [TI = ho 9 [O 1). - e setri= [4 aJeisi= [> ? E) ate os. 13. Se RG D= 0x x- pe Sa 27) =0 22-24), a) Ache [ROS]. b) Ache [SOR]. Transformações Lineares 173 14. Seja Vo espaço vetorial de matrizes 2 X 2 com base 16. 17. e lapa ss , b Se T:F>R? é dada por r [2 il =(2+d b+o), 4) Ache FÊ onde q é a base canônica de R?, i 1 Se sro belsç= 1 fo 1 b) Ache S e, se for possível, (a, b) tal que Sta, b) = E 7] . a 1.2 . Seja T;R? >R? tal que [7] = há 21, Ache os vetores u, y tal que 4 a) T(uj=u b) TC) = — Mostre que se T:V> W é uma transformação linear, 2) bn(T) é um subespaço de W. b) ker(7) é um subespaço de V. Sejam Se T aplicações lineares de V em W Definimos S + T como (S + T)v = S(v) + T(v) para todo v E Ve definimos «S como (aS)y = =a-S(v) para todo «E Reve a) Mostre que $ + F é uma transformação linear de V em W b) Mostre que aS é uma transformação linear de Fem |, c) Mostre que X = (T | TV > W] é um espaço vetorial sobre R. «) Suponha que dim P = 2 e dim W = 3. Tente procurar dim X . No Exercício 1! determine ker T, Im T, ImS, ker Se comprove a validade dos teoremas 5,3,9 e 5.4.5 para estas transformações. . Considere a transformação linear T;RÊ > Rº dada por T(x, y, 2) = (2, x-), -2). a) Determine uma base do núcleo de T. b) Dê a dimensão da imagem de 7. e) T é sobrejetora? Justifique. d) Faça um esboço de ker Te tra T. aibliotega de > ciência À Tecuoltigra Pe!