Livro elementos orgânicos de máquinas, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Madeireira
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Livro elementos orgânicos de máquinas, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Madeireira

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HALL. HOLOII'EXKO. LAUGHLIX

ELEITIENTOS RGÂNICOS DE trlÁOUlNAt (2.a ED,ÇÃoREV,SADA, ResuÍÌ|o da Teoria 32() pr.oblemas rêsolvidos 266 probl€Ínas propostos

Ìroduzido oor PAULO MURITO A, DA ROCHA

GOI,EOIO SGIIAUM

McCRAW-HILL

ÂLLEN S. HALL, JR" M. S., Ph, D. ALFRED R. HOLOWENKO, M.S. HERMAN G. LAUGHLIN. M. S.

ÌÌCIIÁ I]ATÀLO(}B'(i'rcÀ

(Pre!â.âdo Fro cenho ae câialoetçáo-ú-'ontë

câmÁrâ Bra6 êt't tto Ì,|üo sP)

llaic€È Par' @iá]oso rist€m6uco:

Ensenra.lã me.ânlce 621 070 g. uen*"*

' rÌojeto : !Ìns€lhEÌts mô"ìnl'À rrl

'l lEE€rhâri' me.lnlcd €ll 0?0

{. P.ol€to ttê mÁqutta. : tnsênha.la h..Ânlo ilt rl '

ELEMENTOS ORGANICOS DE

MAQUINAS TRA.DUçÃO

PATILO MTJRILO ARAUJO DA ROCHA ENCNIETTO MICÂMCO

lÃo P Ur.o OI JAI{EIFO HOiI2ONÌE

AtEOf,E

I I

HâI, Âllen strickrâlit, i917-

stíckland IIâu têl ÊêrnÀn a

Rochâ, são Pâdoi P, iÌúst (c!réçÃo schaüú)

Projê'o 2 Eaênn'íe m'dr'

artueô R. 1Í. IÁusNi. Êênaí G III TIIU'

ìó. IV. sérl€: schauÉ

ilctft

Do OriÈâl

Ethau,rr't (lutline of Theory and Probl.ems ol

Machine Design

publicado nc Ë.U.4. por SchM pübliúirg Co. coprÌidt @ 19ót by MccÍM-Hi\-re.

CoptÌisht O 1970 da Fditdr Mccraw-Hill do B.sit üdr.

_. I.".t]., pâne d$ra publicaçãó podcÌá aí r€pruduid4 erqÌdad. pero sist ma-ÌerÉval" ou tÍârsmitidâ (le qlarqud Dodo @ pú qurtqq ourÍo @io, *ir cate

llï.?i""Ì; ïïËi,3;"1" rorocólia. de sÍÀvâç5o, u ootroq so DÍéviâ turoÌia{ão 5UMÁRIO

Scsudâ Edição vn D(

r - IltrodúFo I 2 Esrudo dar TeDsõs De*nvoÌvidàs eú Elmdt6 de Máqüms 9 3 - Ajulaed e Tolerâncias ilê Peçs MêtáìicâB 33

46

8 - Velaidade CÌíÌica de Eirc! e Áryúes 9 - T 'ânsisão d. Polêbcia . . . . . . , . . . ,

l0 - Proieio de AcoplúeDro\ t l - Châvelâs, Pi t ro! e ÁrdÊ' Fsktadò . . . . . . . . . . . . . . . 12 - PÀrafrac d. Acionuerlo e de União lJ - Edotço\ oos Púúusos

fodot o..tit.ilo. ptt. tln|!. Nnúgn.* wn dot pk EOÍÌOBA rrcGÊ^W-H[L m AR^Sll- LIDA.

Ru Ì.b69ú, 1105 ^(

Cond3 dê BonÍm, r3t^ slô P ulo Ê|o D€JAatEttìo

-ESÌADO DÉ SÀO P ULO EsÍ^DO @ ÊrO OEJÁ!|E|nO

Ìeblon.:22-295í9 Ì.têlonê:€-5&34 BEIO HORIZOI{ÌE PORÍO ALÊGFE

MII{AS GEÂÀS Fb cRÁIIOE t)o SUL

7 - úbrição nis Máquine

5 - Fl€rão € Fldbagen 6 - Prcjero ilê Eld.nros

êm Elef tntc i lê MáquiB . . . , . , . , , . 65 de Máquus sob a Âçãô d€ Cúgs

119 t44 167 189 217 229 241 260 2:77 298 3m 346 377 399 4t2 426 438 474 496 517 542 5ó0 581

15 FEic . . . . . . . . . . 16 MolÈ!. . . . . . . . . . t7 - Iorças oa EtrgEnagcn5 18 tueÍeúgds Ci l íúdr ica . . . . . . . . . . . . . 19 - EolreÈseor Helicoidais ... 20 - EúgÍemeÉrs Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . 2r - P&aÍúo SeD.I im . . . . . 22 - Múcoie de Rolâúetrro 23 - Proi€to é LubÌificação dè Mú@is de Deslimelto .-..-..... 24 Aciomílo por Côreia! . . . . . . . . . . .

Ar. João de B.rbq l-75o Jrr

25 - Solda

trdie Atrúoo

PREFÁCIO À SEGUNDA EDIÇÃO

^ litdarua técnie, em Íi)9 i(Íom, 'trriqu@-ç

coÍtinuâdmente

@s 'Fas

c bos púlica4('€s! @mo 6ta qe m6 couhe â hoüa i'e prêfaciiÍ'

Or DrircÍpios qE norteiú o liEo haçiÚ* Duoâ aP@Dla4ão Ìeô

'i"" - p.ario p.rt;r"-"or. hmôúict d'

Úodô â ptmiÚ um táol edo_

O íaro il,È Dão s obsvâtío o sisieúa úétri@' prcblem4 ile oíg'm'

@tÍdiando oixs 'Il)tru

téoi6, sAô iutifedas plênÚcÍté Essa nos'

Ie d. daaeniolvim.úo, ât€o.ieiloÍ€s quê s@os ile &t'Y àoP estÍãúeÊto c

Á obrâ úG tl,á út idéis c!4Â {ra Yivência proÍiisional ê iÚênção de

*m autos m Íom icquÍvo e obietiva de âprcsêntála" principa&Énte'

l:m rclâéo @ qeÍ.ícic dc aPticÀção'

I{eüft, ainils, a$éctos d! difercútés Íat@a: cinemático' eúático e di-

ra-,co, ã i-."1 u "*-,ir

umâ perfeita údeiâç59 ':tÍe

oi difereÍte elê-

meltos úeâDlsói m€.ânic6 qE @mPGm rmâ m4una

^o loúgo de sW erpqiçõe e' É foÍEa d' su tratmento' co{dlz

@nr

*srltanç4 o 6rudaÍG ou o técúi@, aG cílcdos e âo PÍojeto' com õ @neza

dê oD 6"irado Podli'vo.

À iDPrsão âp@íÈ iL e .prc*otai cmo elementár €m arg$ (tos

8ú16 rÍdadc, aDt$nlâ-.os, ooFaÍismúq Do su cútutrto um

'on' teúito $üstaÍial ü'trc ainila dG ngos dâ tôíio êtü'l'

Corrluindq itiríam qüê eíâ obÌâ' a pÚ <l'e ma 6Ídição essÚiaÌ-

c6L didrric4 cortrrbui ebÈmodo {úo uú au'iüd expÌe$irc Ú 6tudan_

re, e pojeti!Ía e ao coÍtaúq de máqünõ' hêm como' p@ncrìc um pare

dÒ vdio de r@ã liteÍúür. técú@.

M]{RCO STIPKOVIC FILHO

{-.-.. -*.-.,--*t **

PREFÁCTO

Drobìpmaq prúli.o( ' onhÉiút nl G dG 'ódisc

e t3bPtâÈ pora 'ibrúlgtlÉ MúLG

ã**"ìi.* * .*- *, plênum'trte alrúçddo ap.c slqm Úd d" e'periâF

;:;;t'; -;i,;; " *,:*"" ry" *l tïïXÌ,;ï;ïiJ,iï;i,; ;'iÌïï['J"-Ï;'.ïiïï::ï"ÏilÏ:"::ï#;;;i. "r'*.à r "* *ítido que 6tê üYro é dientâdo.'-

;;,'"'* dÊtem 4r.ê rrsl'Âlbo â @ sÌúdÌ trúnIm dê Íìs$4 Tiv6

-n,.ï *"-,", *U- n*'oin ie dos ltlatPriaj'

ê nináúi'a dâs Máquimr' ÍoEÚ

#i*:"',:ïïrï#*'JJlï1'"ï"1ts:"Ëi"üï$ï,.;i"$h*,r l'"li.Ë"ï

-JJ'";;t',*i c au'|ors ti'am-nì6 im.Nmeore âsÌud@idc

por

sms .rítid6 dÍstÌurrÌs € sueÉsr6'-*-"","-*

-" -*a* "sp€{ial

a ES Àft' Fmtêsot de PÌojeio de Máqui-

"- ;ï; *;l; ,",,; pìa'",,'rc' J:':i"; :.ïff ïï"*inT'::,,ï

ÂG núLod. o ele E€ dele o méü)do sesddo por ú(

-ì,*ì *"-**- Mq spü's(te" da fómuls

dê Lè*is'

Àqaderimenld eÌl€Nir@ pdrli'ulÊmente a NL lleÜ! llâvden'

'ão por

"* ff:;;,;;; ;;;ui(j; d' an" erár'a

D6 risus 'ujo

rcarÉmo é @

ïïYilfffi.".r^,.ii'"i,ï-' * *" â \ isun'ição d*edpêoha

* ;;".* c"au 'g''a'

o Às 'esuitrr€.€nÚdldes ret remj'!ào que trG

n-'í],1ì. ",o"*,

mrérir de dÌeito d"lcite l in'oln Fle'rrir compÚr'

il:ï;p,,ï.; Beúins uúurs"rú6 As'iarioo \t' À'a Râinodi e

Nlr. Jobn Bovd d sdlinehou'e ue(lri' LompanÌ

Introdução

À.S- IIa[ JÌ.

H.G. IÁuahlü

Capítulo 1

Projeto3 ile engenharia consistem na cÌiação de planos d€

máquinas, estruturas, sistemas ou idealização de pÌocessos pâIa

reaìizarem funções beú dôfinidas

Um pÍojeto' compõe_se das seguint€s etapa6:

ít) reconhecjúento ê coÍlstatâção dâ sua nacess;dadé; isto

d,eÍiíte o poblem\ .

(2) estudo de alileÍentes encaminharÈentos do pÌoblema e

seÌeção de ún deles que será estudado eü mâioies detalhes; deste

estágio, fâzem parie pesqüisds especrais' se necessário;

G) deÌíneenenlo do anlePdjero da fláquina' estÌütuÌâ, sistema

ou DÌocesso setecionado. Com isto estârá estabelecido o aspecto

geral e possibilitará a organizâção 'Jas especilicações dos compo-

nentes mais iúPortantes;

(4) dinensionameoto de todos os compooeotês e prcparação

dos desenhos d especificações pormeno 'â'ìos'

Nas primeiras etapas do pmjeto, o projetistâ ê tm Üiedor''

aí ele porle dar vazão à sua capacidade inventiYa'

Os alesenhos e especiÍicações finais de ürÌr proieto 3ão o

.êgislro de uma ioÍinidade de decisões \as úllimas ctapas do

t,ãbâlho o prcjêtista ê o honem que lom& as decisães Cabe-lhe

trabaÌnar sáürhmente baseado em princípios cienííficos comple-

mentados poÌ dados enpíricos. Contudo, deYemos coÌxpreendex

aue a ciêo. ia Dode apêoâs estâbeleccÌ üúi tcs dtotro dos quâ;s uma

i.ciseo <leve ". .

tont"a" ou evidenciar cslât iql icamcole os êlci log

ale uma certa decisãó. A decisão tem que ser do pÌojetista; daí â

caÌacterística prlncipaÌ de um bom projet;sta ser, poÌtantor o

óom-senso ao tomar as decisões.

- l

2 EI,EÌÍENToS oRcÂNrcos DE Míqunüs

O projelo de umâ D.iqui!â dcve scgúr um tübaÌho semelhaúte ao apresentado ne Fie. 1-1.

cÁP. I INTRODüçÃo

Cinemática, Estática, Dinâmica e Resistência dos Matedais. CoD- tudo, todos os assuìtos lecionados em um .urco de engenharia são indispensáyeis a um bom pÌojetista. Entre estec assuntos de Ìeal iúpoúâüciâ podeÍÌos c;târ a NomogrâIia, Ecoüoüia, Metalurgia, Tereodinâmica, Transmissão de Calor, Mecânica dos Fluidos e EÌetricidarte. O estudante âo iniciar-se em PÌojeto de Àfáqì]inas devê ter algum conhecimenÍo de todos estes assuntos.

À Ìelação de perguntas e pÌoblemas sobÌe Mecânica aqui apresetrÍada, dará ao leitor uma possibiÌidade de veÌificar seus conhecimentos cDm Ìelação a assuntos básicos. Devem ser respon- didos, coretaüente, sem consultâs, pe-Ìo menos 90% dos quesitos âpresertâdos. Em càso conftáÌio, recomeÂda-se que seja Ieitâ üma Ìeüsão deste assuÌìto.

REVISÃO DE Mf,CÂNICA

(Ô rcmÍn rrnóúel ite indbalho é d. S lútu. as resrstds sõ.o aIoúB ao Jim do .ãpíttto.)

F!çê or eÊq@úas què quiser. Dê s respcras côm aô uida.lcs coÌ.eras.

r. Quaì â potêaciÀ ne$ária pâÌa môye. uú ca@ q 60 m.p.h. (96 kn/h) âo loneo d€ unâ stradâ ho.imnraÌ, hnyendo uma fo.ça uisrenre de 500 lb (225ke), na direcão do noviúênio se o rendinerto @câni@ torat é dc s5%l

2, Un pdafGo de lÌúmissão de porênci{ €stá sendo pesJNádo com otâção coEtante p€la aplicação d€ uú momento dê to4ão de r50 b.pot (r?0 ke.cn). Qual o t.ahàlho 0b.poD Gs.cn) realizãdo po. rctação I

3. Una poüa de 10 pol (25 cm) de diâúerm csrá Donrade €ú uma útuoe a meia distâÌciâ ertre dois múcsi6 sepeados de 30 pol (?5 cm). À pôliÈ é acionâda por uma cdreia com os úmos puÌaúdo-a yeúicâlmenL para cima. Se a fo.qâ no rúo í€úo da coÌfeia ê de 600 lb (2?o ks) c Ío r@o I|oEo é de 200 Ìb (90 ks), qúár o DáÌimo momenro fleror e o máÌimo moDenro d€ rorção 6e a potência é rêtíadâ por uúa ila ertemidsdês da ároÍe, errav& de uú ;copla@úto fidivel I

4. Co$iderê-se um cabo pâsado soba uúa Íbìiâ qüe sha ÌiÌrem€nre eú tomo do eLo. Em úâ d6 èhenid{des do caho há ú peso de 200 tb (90 ks) e na ou[.a ú de s0 lb (22,5 ks). Ddprezúdo a nNá d! potia e o ar.ito, caÌculâÌ

5. Um quâdE rígido, @ fo.mã de À. é consrituido de irês etemenros, ligÂdG po. int€rmó.lio de pinos; o quadú está colocado eh ú plâno seú atrito e suporíÀ uha foça F âDlicada yê.ticÈÌúenic pare baüo no pino do Ìériice. Fúe. uú €qmma do dis8Ìlma de colPo IiÌre pea cada elemenro, mGrrúdo rodas @

€squemâ de

Fis. l-t

. Depois de asspntadas as cspêciÍi.ações gerais, deve€e estâìe_

teÍct o armnjo cinêmático dâ máquina. À etápa seguirìÍ,e consiste em um estudo das forcas atuantes, estudo este airda incompleto noe casos em que as foÌças provenientes de acelerações sejam consideradas, poÌqìre Dão são codìecidas as massas das DaÌtes móveis. Com êstas iDÍormaçôes podê ser Íciro um ant_cpmjeto clos componentes (ainda não müito prêciso pois trão são conhecidas exatamente todas as forças). Àgora estamos habiütados a fazer üma análise maie exata das lorças e a completar o projeto. Além

.da resistência e Ìigidez, muitos fatores aÍetaú as decisões Íinai6, como Bejâm epaËncia, liEitações de peso e espaço, Íacilidade de obtenção da marérìa-pr;ma, têcnicas de ÍabÌicação etc.

O exposto acima é apenas utrl reeumo do problema mas, apes€Ì disso, não deve ser esquecido. Toilas as etapa! mencionadas estão haslante interÌigadas; há um contínuo processo de vaivém, ilustrado pêlac selâs eDì l jnba tracejada na Fig. l_. .

_ Por exempÌo, depois de ììÌna p mei.a tentativa de pÌojetaÌ o€ elementos dc uma c€Ìta máquina, uma anáÌise dinâaica pode acusaÌ o aparêcimcnlo de êlcÌadas forças dê irárcia e obrigar, portalto, a uma revisão no esrÍuema cineìÌÌático da mesma.

As ciências Ìnas intimament€ .etacionadas ao projeto de ÍBáqüinas são a Maremática e a Fisica, r,endo especiat Jesúque a

ó. {o) Quôl ôi derúição natemári@ de bomerto dè tuérciq de um áEal

(ò) DoboDstrú aF o úonetrto itè irêEi! ate uú EiâD8uló, @ .ek6o À um ei$ qE pNe lelo *u cerrú de úase e *ja pâúbro À b@, ê ht'1r2.

(c) DêmoBrraÌ qre o uódulo ire êtuttucia peâ o itú (Õ) é ÕÀï6-

(d) T€trdo por b66 qu€ o bodêtrto ito inércia de ua &!ão cirol& d! reÌação e um diâ@trc é .d164, dôte@iÍe o @@Íto dë iÍéreio de úú cobq circdd tendô uú diâetu qüèEo de rr FI ô [m iliâ@t o iúrdno de 2 pol

(.) DedoDtuaÌ dmo * pode obter @m r@ávêl rmiúo o @uêÍro dê inérciq dê uú áEa toial,lhtê i.iesüIe.

?- O rctor dê um úoto elético pëâ r0 lb (5 ks) e teú 4 Fol (10 cm) de diâ- nêtrc. Quâl o tempô @cNáÌio p&a a *l@idade do moto. paü de 0 4 t.800 Í. p.n., Ádmitindo uD eomento de to.ção lfftdte de 20 ìb.pol (2,5 N.m) ê a não distêrciâ de cúga 6tda, dúel€ esie períodol

SuÍbr que o útoÍ ó uÊ cilinde bomgCn@.

a. Delidr momento íletôr. Qual a coov@ção @múm@te âdolâda pM

dete@iÍa! o sinál do Eommto íletoÌl DemoNtÍd o aposto, lDr inteBédio d6 co.Fos isÌsdG 0ivr6), @NistiDdo em pequens sqõé retidd6 d6 dt|@i- dad6 ilê úa yiga simplMente apoiada, cqÌreeÂda de tal @do q@ exitt! momerto Iletor psiiivo na vizitrüúça iÌa ext@idade 6sueÌda e m!'hto fletoÍ neeatiao na viziDiúça dq ertÉmidade dirciia da vka.

9. Sê Na moL! d€ílete 2 pol (5 cn) sob l'@ cúca de 500 lb (225 ks) qüoÌ a enqgia t@ozÚada 3e a ctug ó gadualúenê apücad{t

ì0. DelúÈ o hp e moEi.e que s potêncis @ bp Ibrle s expre Iú:

EI,EMIII\MOS OBGâÌ.IICOS DE MíQÚINTS

F' 0b) x r/ (pés,hú) - r0b Dol) x ?V(r.D.m.) 63.000

- I(ks.cn) x NG.p.@)

' " _- -ì.16-

x to,

P= 33.000

D _ F(ts) X Y(úoítnin)- ,l 5í)

' tt. Iluttr s'aficmdtê a ilistÌibuição dè tdÁõB sobt€ a eção t @ll:el de uM viga n6 eguiat6 ctsG:

(a) Têúsão deüda à fleúo (Mc[), eú @â visâ siEpidnmte lFoiad qE

é (r) siúétÌica en Elú€o âo eüo nêuló da 6eéo tÌ?Ey4al; (2) süo-étÌica @ reÌacão ao citado eüo.

(ò) Teúão de t.a€o ou @mp@são (F/4) devidâ â ma cesa dial

(.) T€nsão dê torção ("./J) deúda ao tll@eiio de td!ão aplíoâdo (ôó p&a

eì@êrtos de @o reta ci.cde).

(d) TeÍsão cÈaÌhete (vQlÌò) @ um visa siúpleô@te apoiadr c@: (Ì) seoão tÌ@vdsal circ"rü; (2) *éoila$v6âr ret&süle e (3) eéot ,EvêBar

12. (a) Se ú elenênlo de uma máquinq *tá cúr€sado do tôl modo quo

s tr& ienBõ€â principais em @ ÍDíto são: tensão de túção ilê 600 !6i; têo!ão de iração d6 800 p6i è do, qual é â Etuima i€$ão cislhana€ !o !o!to I

crr. f ì1ÌTRODUçÃO

(ó) ÂnálDep ao âcima d@to que s trê5 t@!õé prieipâis são: @nplesôeo

dô 600 !si, c@püsão dê 8{rc !6i € zN.

Ì3. (d) Se rú hoúêú !!]r@a úa ds exíEúidâdes de uúâ colda (cabo)

! l'@ árore ê pe(tEâ n& out a extEúidÀde üE pe de r00 lb, quâì â {orcã

trdi.iya dese|Nlüda na cdda (câho) I

(ó) Qre tosËo o:isiiriÀ E coÌda (catú) e on 'sd' drftDidaiìê uô bonem

a pq.s com úúa foÍça de 100 ÌÌ,1

14. Uú cmiDhão @E ptu!É ilê 3 pés ilé iliâúetrc elt@o, Eoveae ô 60

pê/s. Quar a rehidade rêratiYa ao slo dé um ponto da pqiíeria do púeu' mâi8

_.ru't.a"_r*"i*t {to slo em m dado iNttute I Qual À vêtocidÀile Úsulü

G.p.m.) il6 rod6 @t6 @ndiçõd I Qual a a@leÍa6o ile uD PDto da !ê'iíeÍia

ito pneú eú coltato cd o $lol

15. Utu eÍs€úseú óDica t@do um diâ@tm pimitiÍo de ? pol (r?'5 cÚ)

é entada ú è{.úiitade ile uúa áfrore, €m boÌânço, À 14 pol (35 cm) do útual

Dáb Eóriúo. A coÌsÀ ra eneÌúageú têm I *guint6 @m!o!@ts: túeencial

& - ì . 200 ìb (540 L8), .adial r' = ?00 lb (315 ks) e diâl

'a = 500 lb (225 ks)'

(d) Câlcülü o @'ìhro de toição que cda força fe ôurgiÌ ú árde

íò) Cqbdü o motuÍto fleior ala ároe' !Ò hqDcal nais P'6xino' deYido

(.) Cqlculd o úoIÌuto fletor Bulitut€, da ámre, no mancaÌ mais sóxiúo

1ó. Uú Eiìuto! de Ìermida.le tmdo uu elação de 10:l' quÚdo tdtado

@ú o@ vetei.rsde dó estradã de I o00 ip ú psra fomeer uú mol@Lo d"

tor6o tle 50 lb pol, ftc*itóu <té u@ momento de ó ìb pol Qusl a eficiêeia

ú. Um alitl41âdor d6peja deia ôobre DD ltá.slDrtÀdor de coreiÁ' €m

Èovillmto e dt@ado horidtslúèírê. Se ! rel@idaite dÓ trNPorüado! é dê

2.txlo pês/úiÍ € â v&ão do ali@ÍtÀdor é ile 15-000 lb/nin, qual a fô'ça ne6_

a;rla a riout o toa;Fo.tadorl Delrzd o âtÍito deseNolvido eÍtre os

GlêEmts dê !cid!ú@ao do tr@Iriador.

r8. Uma visa dê âço, siúpl6úen1€ aPoiâda, quúdo cÚe8!dâ com uma

foa,l rre 20o ìh eú Á, t@ üE o{Edam€ulo de 0'4 pôl eú B Que força' aPlicadâ

ú A- cdsá üE aÍuda@lto ilê 0,1 IDI eE Á I

19. Utu detúe@ FlúeráÌiâ mdee coú uma veldidÀde angule de

20 radA e a Í€úda{ìe de eu @irc dê savidaile 6 de 10 pâ/s' Qual a ôua

.*"*i. A"C.i*l CoúidEú . eosÈÍagEú cono un citindrc IEtudo t0 lb

€ têldo !E diâ@tp rle 6 Fol

,0. À éqüação dif@isl dd ú@iúento de ú siete@ vúrete cob

âEdteiúento (ú6a + mola) de ú glÀü de libérdade ê 8t + 5i + 122=0

Qual á fteqiiêúeia úatuar do sistemsl (A! uidad€' 3ão lb' pol' s')

'21. Nuú ôisú.ma tuholGbiêla_meivelq adúitn q@ à bi€la 6tá Újéiis

a uE tuvi@to túl que i &elerslcão de uma enremidadê em rekçeo À outÍa

ó d.20o pés/s' (60 id/f) ê fú, ú âDsllo de !0o @m relncão à direrão do êiro dú

llú. O ".-p'.".i.

A. hi.Ia é dê I por (20 c!) Caldtd 3úa vel@idúdê e

.cêl€.&cão ansulúè.

xmMEN!9S OnGÂNTCOS DE úíqUrNrS

tr, Uú cato dê âço é eltolãdo du8 ve6 eú tmo iÌe um FGt4' Eb

üma da! 6xüeúidad6 lpüca-e lr@ {oÍç. P e À outlt uDÀ fq& de 31000 lb-

^dnúilído um co€ficimrê dô atrito isuaÌ a 0,15 det€@ine: (c) { fotca P Í.@-

.úÍlÀ pála fad o caho nover-Èe @ setr eÍtido; (ô) Âfoça P'ne63áÌi! 6 wite qüo o cabo se moÌ& no sentido da foÍça iÌe 3.000lb,

23. Uú bloco péedo 100 lb dscansÀ sobE ll@ spêÌficie húi'onial.

Sê o coêíiciento do arÌiro é 0,3 (túto o €táti@ quanÍo o dinâmi@), qud a foÌçâ

de âüito desnvolÌida * a fo&a apÌicada ao bl@, ôm uD diíqão Dürlelq À

süpeÌficiê boÌi@ltsl é dê: (a) l0lb; (ó) 20lb: (.) 30 Ib: (d) 40 rbl

,0" -- -,rl

Fis- l-l

F 5n' ;---tt----:-----

I Fig' l-4

' 24, À bmÀ de âço, dgida, sr[entada ú Fia. r-2. tem 20 pol ilc coDpÌi- bênto e suâ s€ção reÍa é ú qüadrado.le 1pol de lâdo. A bâm 6tá ú reÍD@ sôbft ll@ ôupeÌIiciê hori@ntâl, eE !ftito, qlfudo uma fôÍla P : ã,orb é

Êìbitâmdte âplicâdâ. Deiê@irü: (a) o úáÌiúo E@@tô flerdi (ò) a ná-

xinÀ têr!ã9 dsida à fle!ão.

25. ÀpÌcÀe ao útor de um motor elétri@ (Fia. l3) de tunento ite iúércia

IÀ, uE @ú@to ile rorção co6túte. O pinhão eioú duc deêúgcE, uma dB quais 61á lieEila a una úNa de úl'@nto de i!ércia /í e I orúa À l'@ basa {i6 enento iÌè iné&ia ZÀ. À alação À1 : DrÍDr é ieunr a 3. Quâl deve H a nÌacão rÌr - DalD! pda que a eneenaeÉm 4 tclha a @ior @lÉação

úedü pGslveÌ I D6prsü q úGa da e!8@esd.

26. À bma ils aço apÌ€sentsda ú FÈ. u rêm 30 pol ile @pÌiúêrto e

suÀ ssção retâ é uD quailrado de 1 lol aLè lsdo. À Ì,ea 6tá @.epoue &bÉ

u@ supeÌfúto hori@Dtal, seú ahito. Du6 Íorças iguâb e ol8ts ilè 20'0 lbi L

cr?. 1 ÌNTBoDoçÁo

câda, 6o sübitaúeíte apliced6. Co6iddúilo a büa !ísids, detaúinú: (c) o n6litu momêÍto tlet!È; (à)  ná'iúa 1ê4ão d€corenie.

Á mÀioÌ ou menoÌ faciÌidâde em se aplicar os pÌincipios

da Ìnecânica à análGe racionaì e ao projeto de elementos de má- qüiüas, coúo em qualquer outra atiüdade, depende, principal-

mentÉ, de pÌática. Os capíinloi segúntes Yisam a daÌ esta pÌá-

tica ao €studâÌrte.

O segui4te plâno de estudo é rccomendado paÌâ cada capítulo:

(1) LeÌ a expücação ala teoía e pÌincipios.

(2) FãzeÌ os pmblemas rcsolüdos. ÜsaÌ lápis e papel.

DeseÀvolyer toalos os detalhes por si mesmo, seguindo as indicações

dadas. (Àlgrms dos pÌoblemas resoÌvidos estão altamente detalha- dos, outÌos têm akumas etapas de cátculo omitida-s.)

(3) Fazer os pÌoblemâs pÌopostos. Àpôs ler o problema, ye.ifrcaÌ detalhadam€nte quais oB princípios a aplicar. De pÌefc-

Ìência Dão yoltaÌ a olhar poblemas ÍesolYidos semelhantes ao que

estâ ÌesolYetrdo.

Os pÌobleaâs Íesolüdos pelo leitoÌ deYem ser gumrlados, pois

poderão ser de grande ütüdade em ÍütuÌo pÌóxÌmo.

(4) EstudaÌ a teoÌia tântas yezes quântas foreú necessárias para compreendèla perfeitâmente.

RESEOSTÀ9 - CÁPÍi'I]I,o I

94, hp (93,2 hp).

9!2lb pol (1 065 ks.cm).

ilíò = ó.000 Ib.rDl (6?50 l(g.cú), ? = 2.000 lb.pol (2.250 kg.co).

80 Ib (36 ks)-

À3 fôíçG se il€eDvoÌvú ao loneo dc í!è lado&

Yide qúlqü6 ülGlerto de M*6nice.

o,a9 s (0,47 3).

Vi{iô quarquã ìÌGrdto iic Reistência dc Matdiai6.

500 Ib. Fol (562 Lg. cF).

TN: ?ã.0{õ"

t.

3.

1. 5.

ó.

a. 9-

ro.P: 2ÍTNt2 x 33.000

u. Vide quarqnd ìi@-terto de Rdistêrcia d@ Maleiatu.

lr. (a) rO0 F6i. (ò) 700 tôi.

13. (a) 1o0lÈ. (Õ) loo Ìb.

14.

16.

ú.

19.

20.

21.

EÌ,nrrENros oncÂNrcos DE NÁqurNÀs

382 r.p.m., 2.400 pés/s:.

(a) Moúento de tof(ão devido a 500 lb=0,a7001b:0ea1.200 lb = 4.200 lb.FÌ (4 720 ks-cm).

(6) Mo@D1o lteb. deyido e 500 Ìb = r.?í) Ib g)l (r.970 ks.cm), a ?00 lb :9.800 lb. pol (rr.000 Lg.cm), a r.200 lb = ró.80O lb.poÌ (r8.900 Ls-cú).

(.) 16.800 lb pol (2r.000 ks-cn).

at,4%.

258 ÌÌr.

50 Ib.

250,93 lb-pé.

16,15 rad.^, 150.ad./s'.

P = 19.??0Ib, P' : 455Ib.

(d) rob, {ò) 201},, (c) 301b, (d) 301b.

592 ll, poÌ, 3.550 psi.

R, = t/t-s = \3a.

5?5lb pol, 3.450 p€i-

2t.

u.

26.

Estudo das Tensôes Desenvolvidas em Elementos de Máquinos

Capítulo 2

O pÌojeÌo de 'náquina

enyolye, além de outÌas corúiderações,

o dimensiotralnento coÌre'bo de seus elemetrtos parâ que po€Êâm

ÌesistiÌ, com aegurança, às Ìensões úáúmâs induzidas quaìdo ele

está su.ieito, sepâÌsilamente, ou a uma combinação de esloÌços

de nexão, lorção, trâção ou compÍessão.

Os elementas úâìrulaiuÌados coú materiais dúcteis, como og

aços doces, são neaoe .esistentes ao cisalhamento e são pÌojetados

toúândo-se poÌ base a mâÌima tensão cisaÌhante; os matrúatuÉdos

com úateriâis qüebÌadiços, como o ferro fundido e ceÍos açoB duÌos,

são uEúalm€nte projetados tomanilo_se por base a máÌima tenÊão

da túâção oü co4pressão.

Os valoree mánmo e minimo das tensõ€s normatu'

a"(eáÌ.) oü o"(mín.), que podeú ser esforços de tÌação oü com- p€$são, são deteÌminadoe, no caso de Íôrças âgindo em um rinico plaôo, poÌ:

G),íúáx.) : -!r '" +l(=q;'ï

(2) drnín.) : *!,' -leg+,h

Às equa!ães (f) e (2) dão os valores algébricos nâximo e mínimo

onde:

o, é o eslorço em um ponto cÌitico sujeito à tmção ou coú- pressão, normal à seção tmmr.eÌsal côEsiderada e pode ser devido à flexão, a câÌga! axiais ou a uma combinação das duas.

10 u,EìdENTos oRa^Nr@s DE üÁqúôrÁs

Quâüdo d, Ìepresenta tÌação, deye ser pÌec€di.lo do siDsl mais (*) e, quando rêprcsetrta compÌessão, do sinâl m€nos (-);

d! é o €sÍorço no mesmo ponto crítico Dâs em ìtma diÌeção normâl a t,, Deve, também, ser precedialo pelo sinal conveniente;

tr é o esfoÌço cbalhante rìo mesmo ponto cútico agindo em ura plaDo noreal ao eixo dos y G)lâno rz) e eú um plalo normal ao eixo dos a (ptano yz). Este esforço cisalhante pode seÌ Botiyado poÌ momento de torção, caÌga noÌ!Ìal ao eleúento oü a Ìrma conrbi- üa(ão do8 dofu. À Ìq)resenÍâção da orieDtação d€€sas tensõ€s é {eita Ì1A Fig. 2-l;

dímáx.) e d"(mfu.) são chamadâs &ruões prl:rúipais e aparecem eú pÌanos ortogonâis, châmadGs pknos prr:ncipaÈ. N€stes plmo6, o cisâlhameÂto 6 nulo. Pâra us cârÌegâmetrto birlimensional, a terceira tensão priacipal é nuÌa. À ÌeprBetrtação da oÌientâção das te$ões princjpaÀ é Íeita na Fig. 2-2-

Fis. Èl Fig- 2.2

O eÈforço étualharte mríximo,. r(máx.), no potrto cÌítico em estÌrdo, é igual à maior das semialilerenças eDtre dua-s das tlês tensõe.s púncipais (não despÍezaÌ nenhuÍÊa temão pdncipât, mesmo qüe aeja nuÌa). No caso de üm caÍegametrto bidimensiomÌ, tem-se:

a" (máx.) - a" (míú.)

d.(mín.) - 0 2

t(máx.) = a. (náx.) - 0

cÀP. 2 TEì{EõES DEsENvoLvIDÁs TM xT,EìÍENms DE TÍÁQÚINÀS 11

das quais se coDriderará a de maior vâÌor ÌÌuúédco. Os planoB onde o cfualhamento é máximo, são incÌinados de 45o com os Dlâüos principais, corno aparece na Fig. 2-3.

Fis. 2-3

A aplicação das equações (1) e (2) reqìier a determiDação de d,, o, e 14 no ponlo cútico do elemento da máquina. O ponto crítico é aquele no quâ.l as cargâs âplicadae produzem os esfoÌços conbinados máximos. Em uma viga, podemos ter as tensões indicaalas a 6egÌriÌ e cujos yalores seÌão substituidos nas equações (1) € (2), caso atueú em uú mesmo ponto.

.Mc P..Í , e tr , - +

-

F ; .

Ìeúbrândo quê eslas leDsòcs podem

teÌ o sinal mais ou menos, depcndendo de se trataÌ dô tração ou compÌessão;

r- : ï +

o- para seção íÌansv€rcal ciÌcular (quando estas

temões são pâraÌeÌaÁ);

M : momento fletoÌ, lb.pol; d : distância do eixo neutro à superficie extema, poì;

r : raio da seção ciÌcDÌar, pol;

I : moúento de inércia da seção Ìeia, em relação ao eixo; treutrc, pol';

P A T J

: carga axial, lb; : área dâ seção transyeËal, polt; : momento de torção, Ìb.poÌ;

momento de inórcia polar, da seçãó reta, poÌa;

cisâÌhamento, na barra lletida, psi; VQ

12 Er,f,MENTos oRcÂNrcos DE üíqÜrN^s

y = carlegameÈto que produz o cisalhamento ttansveÌssl,

na seção reta, Ìb;

6 = laÌgura da seção conterdo o poúto cÌitico' pol;

Q = momentô estático da iireâ da seção r€ta âciúa ou abatr(i

iÌo ponto cdtico, em reÌação ao eüo neutÌo, polt;

4V d, (máx.) = ii nara uma secão eircdâr

ê ocorÌe tro eúo oeubo;

o, (máx.) : ji rara umÊ seçÈo retansular e ocoÌre Úo €üo

o" (mâx) : a úâúma tensão, algebúcâmente' psi;

í"(mín) = a mlnima teúsão' aÌgebÌicametrte' psi;

r(máx.) : a márima tensão cisalhante, psi'

PROBLf,MAS RESOLYIDOS

l. Uma peça de 4Ìáquina de 2 pol (5,0 cm) d€ diâúeiÌo e

f0 pol (25 cm) de compriúento é engastadâ em um extÌemo' como

umã viea em balanço, e serâ usâda para denonstÌâÌ como se deteÌ-

-ioo*ï, ""t*ço" a" t .ção, coÉpÌessão e cisâlhâmeÍto' paÌa YáÌris

tipos iÌe câÌregamerto unianial. Observar que' neste exempro'

a, = 0, nos pontos cÌíticos.

Oü$:. À soÌÌrção cleste probÌeúa será Íeita eú ìrnida'les métÌicâa'

NBte .as. lodd 6 pontos do èÌ6úento 6tão sujeitc à mêm! t$íq

, = i4= tx25 = rq.es*t ,' -14

o,= + A= +ffi = + 6e,0 k8/cm';

EiE. 2-4

cÀp. 2 rENsõËs DFxiEÌ{!ÌoLyrDÁs ErÍ Er,EMxÌìrog DE MáeúrNrrs

dn (úáL) = r, = + 69,0 kc/cú'(trâéo)i

"(oár) =

; X 69,0 = 3a,5Ì.sfú' Girlrhdménio).

lb, FLz.@

GpontcÁeAsãocdt ic6,

t! = 0, n6 poút6 á ê A;

, M. 270x 25X61><25 " '=

+; - FË = + 5s{ ls/@'. úo poúüo Á;

" '= - ;= - 55oLs/@', e Doí io a;

Fie. 2-5

di(báÌ.) : + ssola/cú' (r.âÉo @ porto Á)i

d. (níú) - 0 (@ ponto 4);

'i(o6!) - o (d polÍô a)i

t'(níú.): - 55{ teicú' (@mpt6ão no ponto a)i

r(m&.) = t X 55o - 225 &a/cDz (cisâÌh@oto sc

poúto! ,4 ê A).

k T..rt ,

N6te c@, 6 poú16 cíti@ ôcol!ú na superrrie etu!.

' 2.000 lb pol.(2s ks:m)

6$? rÈ. 2ó

?. 2.300X2.5X32 -_. ,

r'(ú&) = + 94L&rcE' (íÍâ60);

13

2' Diâm. (s,o cm) " =

10" (25 cn)

14

{d)

EÍ,EMÍNIOS OBGÂNICOS

', (nhJ

- - 9a ks/d' (@npÉeo);

"(nâÌ.) = 9aÈs/cn' (cbath@edô).

o3ponic4eBôãodit icG.

" ,=+i=+5s0ks/@',

600 tb (270 ks)

" , - -$=-ssot" l " - ' ,

' - -$=l l . r7"- ' , *p""- rcÁea:

otr{úax., = f-. +

on(rúD.J - 225 - 242 = - r? k8/cú1 (@úpesão ú !oúr, B);

on.fo'Át) - - 225 + 242 - + r?ks/dnt (tÌa6o rc poDro B);

6'(Âit.) = - 225 - 242 = - 46? ks/@? (@mp{€são m Pont B);

"(mÁt.r - _-- _ 24: Lc/@' (.isrlhajlblo ú Donro .4):

íd6r) = -=-l:l - ,:- = 242 ks/@' (ciÃaÌlallur,o tro poDh a).

OìeeÌvaÌ que 6 valoB úslutos d6 teúíê ms pontos Á ê B 3ão 6 eú.

Os sinoi6 ds rêGõê romais indicam tração ou coúpÌ€€ão ênqudto qo. o 3iDãl

'dâ tdÁão dê iúalhamento úão têm imtbrlâei4IDi3 o púieto é b@ario @ *u

DE üÍQuDÌIs

2.0d) lb-pol. (23

I'E. 2.7

- 225 + 212 : 4ó7l,sl@2

(heção no lDrto Á);

600 lb (270 kq)

2' Diám. (5,0 clíì IP = 3.000 lb (1.360 kq)

Fig. 2-8

r,, - o n@ pôtrtos èríti@ Á e a.

2 ' Diâm. (5,0 cn)

(+)'

c^". 2 lENsõEs DEsEÌ[voLvD.{s E]ìr xI,EìrENtDs Dr !ÍíQÌjrNls

pM. o,= +7 t- i= +ó9 t_ sso = 6t9ts/@! (úração);

t (Dtu.) = r- - 619 ks/@t (r.â!ão).

.(Dó!) : + X ór9 = Bog,s}s/cn' (cüÂth@êÀro).

PM.o' - + T -- = + ó9 - sso -

_ 48r keicDt (6Eprèsão)i

d"(níú.) - - 48rk&'cú, ( EpEsão).

'(úái) - +. a8r:2a0,5ts/.e! (cisarh@nia),

(t T,!4õô . úso d,ial

Os pontos c!íricoe @rrem É süpeútcie €xr€!&

r, + | á- È ó9 [8/@r-

t4=ï:e1\elú ' l

.ô it;;iì- o"(-tu.) = + ; + { ( ; )

F qa, = 2a,s F ee,E - r34 rB/cb'(Lraéo)i

r.(miú.) = 34,5 es,s = ós [c/.bt (@bprseão)r

"(náÌ.) - 995 As/@t (cis,ttìnpqtó).

2.000 lb pol. {23 ks.m)

P = 3.000 lb

I.is. 2_9

Flaao, aat eíol . tofio

Á5 tàsõ6 n;-im{a @rEÌão M Íbltc Á ê B.

2' Diâm.

k)

(1.360 ks)

16 ELETTÉÀIIOS OÊCÂNICOS DE MÁQUINÁS

(1.3@ kq)

Fig. 2-10

',= +! + | - + s5o + óe -

6re ks/cú';

,*=!=s'wt'"",

dn(úíú.) = + 309,5 - 322,5 = - 13ka/@x;

.(úáx.) : 32:,5 k8/cm' (cbalha@!ro)'

EÚt Unidades I sresas

(a) Caryt azial (Ftc. z-t)

o,:1! !91 - + esrni , Ìz!=o"

di (náx.) = í' = + 954 Psi (l'aeão);

7(rnáx.) = r/2 054) - 4?? psi (cisalhaúeúoì'

(ü) Ìrlerao .imPia (Fig. 2_5)

, *= ++= + 600 (r i)4] (64) = +?.6s0Fei @ 4;

d, : ?.ó50 P€i em B;

d,(máÍ.) - + ? 650 p3i (t ação eú l)' dtr(mir) = 0 eú

^:

dn (úáÌ.) = 0 eú B, da(úl' ) = - ?'65OPsi (comprcssão @ B);

r(máÌ.) = Ì/2 (? 650) = 3 825 !èi (cisalh@e o !6 Dontc Á e B)-

(c) ToúõÃ siÌkPles (Fie. 24)

2 000 (r) (32) . -----,õ.=o, Ì . ! :

dí(náx.) = + r'2?2Psi (tação):

d"(nín.) = - r'2?2Fei (@mpÌ*ão);

Í(úÁi) = 1.2?2 PSi (cisalhâúento)'

Crrr. 2 fEr{sõrs DEsENvoLyrDás EM ÍtÀMEìüFog DE MÁertrNÀs

ldÌ FLrão . brçtu (Fis-.z-Ô

ú""+7.ó50p6i@Á:

d,--7.650p€i@B;

77

(.)

Ía=TlJ:1.272rÁisAeBi

dn(m''n-) : + 3.8% - 4.030 : - !05 Ítsi (compn$ão em Á);

ú,(m&.) - 3.825 + 4.030 = + 205 p€i (ír!(ã0 em a);

d'(mín.) = - 3.825 - 4 030 = - 7.855 psi (onpesão en B)i

t(Ótu ) = z- = + 4.030 rEì r.isalhúDênl,o êo / J:

íDtu.) - -; -" - - 4030 (cissr}aúenr.o eD ôr;

Fbztú e angd o.iil (F s. 2a)

rry = o úc Fontc oí0i@s Á è 8.

t - PIA + MclI :9í1+ 7.650 - 8 604 p6i (rracão)

t'(náx.) - d, = 8.604psi (iração)

t(84!.) = r/2 {8.604) = 4.302psi (cÈâìháneoio)

ú. = 954 - 7.650 = 6.696 psi (@úpl8ão)

dí(úái) = 0, d"(-r".1 = 6.696psi {compGÈão)

r{mtu.) = l/2(ô 696) - 3.348 p€i (._6slhúedto).

1'oúÃo . úsa ozial (Fts. 2-9t

a,: PIA = + 954Én

Ìa=i-r .272!6i

""r--.r = S + {(:f)" + t.zzzf -. +n.+ -,.",,0

=7)

(í)

=+r$?p3i( t rsdo) ri{úíú.) : + 4?7 - 1.3óO - - 883!€i (@npEâsão)

'(úár) = l-36tt psi (cisÀlhmenÍ,).

Fbáo, tup @ìal e to.Ãr (t'te. Zr0,

Á6 Lúõ6 máYin* i\ffieo m poqtd .:l ê B.

to)

18 ELÍMÍNTS ORGÂNIC@ DE ITÁQI'INTA

,, - i + T - + 7.6s0 +954 - 8.604ÍEi

' " \Ì . '=;=r.272rsi

""r-*.r : $ * {(1fi)t*

-"* : + s.?s2p.i (r*éo)

dn (Eír) = 4. 302 - 4- 480 = - Ì78 !6i (c@pr6ão)

7(úáÌ) - a.a8{ p6i (cisolhaEmta).

o,- -7.6f i+954- - 6.696pd,

r - 1.272lAi

*{'a* r = - u !e6 +{(!'!9Í1"2 (u Í 'u)"+o.r ' , r :: - 3.348 + 3.581 :+ 23:t (t aéo) d"(níú) = - 3. 318 - 3. 581 : - ó.929 p6i (coEpis6ão):

7 (DÁx.) = 3.58Ì!6i (ctuaìh@êÍto).

d, = - 550 +69 = - 481ks/cm'

" , r .e. . r - - l " ' + r / í

nÏ ' ì +rn"=-2&5+25&5= ' = 18.5 ka/cúr (ttàéo)

d,(mtu) = - 240,5 - 2s8,5 - - a99Le/cn' (cú!úedo)

?(úáx.) = 258,5 ks/@' (cisalhmènto).

2. Uma üga em balânç.o, de 4 pol de coúprimetrto, tendo uüa Êeção Ìeta de 2 pol X l0 pol suporta üúa carga de 6.000 Ìb. QuaÌ a máxiúa ten- são cfualhante e -onde ocorre I

Á náriúÀ teú€ão cÈalhútê poilè oc()rú €n pontns úo Ìoneo da liDha À-À ddido {o @Ìnerto fletor, ôu pode oclrÚ êm IpÍt4 aô 6fô.ço cisalhúto da @eú.

Em poÍtG ao lolgo da liDha À-A:

I'l!.2-tl

ao loÍep da linha D-D dcvido

Go(n lb

4 I 1".

c^p. 2 ,:ÌNsõEs üBaENvoLüDÁs rú Erúrìúos DE ìríeun{r.ã 19

En poDt6 .o toDso dú |i.ha B-A:

.<"*t - i ;Y - (3i)rl#P - 4Eo e". (cissrham@üo).

De5ê Eo.ro, s báriú! rã.ão cisÁlhúre é devida ao ètorço cisaìhetè rla caraa ê o@ft e loqo do eilo @rro &8.

3. Uú ponto cítico de um elemento de máquinâ está süjeito a uú caÌÌegameÍto ÈiaÌiâÌ qüe púdrJz r,, 6! e ,4, como moGtro

a ligura. Determinar m yaloÌes máximo € Ílnimo da teúsão noÌinal e o valor márimo ds tansão cisâìLante.

Sofúção:

{ ' " ( -e-)

= -@. r 'm +./ í 400- (-1200)\ '2 ' ì \ +, f + (3oo) '

: - 30oFi (eônpÌ6úo)

d,(eíL) - - r.300

p6i (@Ì'rssão)

t(oár) - d'(bíoJ - 0 - - Á{E'2

úúa v€ q@ a t€@id têlsão pÌiacipst é = 0.

:1, TÌaçar os dia$smas de momento paÌa os elementos abâixo Ìq)Ésetr t{dos,

20

(1.120 kg.cm), como apâieee e o cilaìhamento máÌimos.

Er,EMEr{rOS ORCâXr@S DE MíQún{ÀS

Fig. àl4

2.000 rh (900 kr)

Fig. 2-17

na Fig, 2-l?- DetermiÂâÌ a tenúo

fig. 2-15 rt. 2-Ì6

5, Uma barra de aço de 2 pol (5 cm) supoÍa 2.000Ib (900 kg) e âléú iÌÌsso pstá sujeita a um mometrto de toÌção de 1.000 lb-pol

oÁp. 2 ÌENsõEs DEsENvoLvrDrs Êú rr,EìrEìr'r,os Dx MíQuo.r,ls

Sorucãor À ten6ão cítid 61á m ponio -4

I - .d164 : ,Y164 = o,1as pol'

J = Ìd!32 = Ì2!32 = r,57 rnlr . P llh 2.000 (2 000 x l /Ìro'-+ 'a+ ; -+=; ' +:oíor" -+t t8op6i

?r (r.000) (r) -^-Í4: / : 15?

:oóÍe€l

di(ntu.) - I r. tso/: l v{a rstÉFJ õl_tF - + 3 30s Fi (rFsão)

"(-á'.) : 14tlso/ìtT (63?P = l . ?r5 psi (cisarüanenio).

P.lo tìda@ nÁ!,i@:

I - Ì (5t1ô4 =3O.7cní. J - : : r=6r.4cml

90o (900 x 2,5) {?.s) ",- 2sÌtr.:

l - iro]]:;- I r25 L€/.m'

' ry =;-

- - :4s.?Ì€hD:."r-a'.,= r ï '.{(+i f (4r.?},. +2r4Ì€hm, (,râçào)

6. Uúa baÌra de ferro lundido de 3 pol de diâúetro está (rujeitâ a um esforço axial de compressão de ì2.000 lb e a um mo-

mento toÌsor de 2.500 lb.pol como âparece nâ Fig. 2-18. &inaÌ as tensões nonnais máxima e mfuuna.

Deter-

Fig. 2-lB

22 EI,EMRNTOS OB4ÂNICOS DE üÍQÚTNTA

n, - - o2 .qìql (a) = - r.?oo rtsi

Í,, - (2.soo)-{Is) (32)

- 472 .

a^(atu.) - - t.zoolz + J\.Í3ooliool?Í@8 = + u2p.i (rra6o)

di (Eú!.) - - r.822 psr (@úpresão).

7, CalculoÌ a úáriúa tensão

Fis. 2-19

a máÌima tensão cisalhâúte na Seção À-À no elemeúto Ìq)Ì€ent{do

na Fig. tl9.

r ?'*200X I = ì.600 Ìb.!ol ilwida è c&eâ de 20{,lb tt = 500 X I = 4.000lb.pol deyidqs à cúsa {ìe 500 tb ì4 = 200 X l0 - 2.ooolb.pol dêvide à cesa de 2lx) ìb.

O 'tr@cmo

fleto. tolal é o veíor sme da doi5 úúeÍt6 fleto6.

ì4(rorãD = y'i.õodJ-ã.ooF = 4.4?0tb.ÍDl;

P M. 5'00 í4.4?0) O) (64)ú,--A t -

; - - - - - - ; t -= -o.s,Fl

Tì tnT (16) (l.600) 14 = j - - .ü = --- ; t -= ' .u-*

o, (-rn.) = - s.sre/: - VGIõlF-fÌiìzoF = - 6-025 psi (6mp.edo)

.<^*S = .'FntgÌzP + <tnnf : B-ro0 p3i (cisalh@dto).

Oh6qvü.que t' (ni!.) é o @ior valor 8'hsluto d4 teÍgo @@aL

cÁp. 2 mNsõEs Dtr&NvoLVrD_Ás rlü EÍ.sMÃrrr!'S DÌ uÍqorNls 2g

8. DeteÌminâÌ a espessüÌa necessária à cantoneira na.S€ção Â-À, quaüdo caÌÌegada coúo mo€tÌa a Fig. 2-20, a Íia de qu€ a máximÀ tatrsão de tÌâçào seja 10-000 psi.

-t 'r

ni 7tí = 2.m0 lb .pot.

.t.000 tb

Fie. 2-b

il4 : (1.000) (2) : 2.000tb.pól nâ S€{ão A-À P 1.(n0

""r^* 1 = "": nL a !- rff + 93$fI!13)- _,0.**, ó = 0,35 Fol rre]sáÌio pora üúite a t€nsão em t0.000 Ísi,

9. Á barÌa de ligação lateraÌ das Ìodas de umâ locomotiva pesa 60 lb/pé. O coEprimento dâ maniyelâ OP é de t5 poÌ e o

Fig. L2l

Ìaio da Ìoda é de 3 pés. Se a yelocidade da máquina é de 60 mph e o e3Í0Ìç0 de tmção poÌ ro<la é 10-000 lb, calcular or máximog

't.o(F th l.0oo tb

24 EÍ,EMENToS oRGÂNr@s DE üÁqurNrs

esÍorços úormâl e cisalhaÊte na barta, devidos à fuércia e ao caÌre- gameúto axiâI, pâÍa a posição Épr€sentâda tra Fig. 2-21. LeYâÌ em consideÍação o peso da baÌra. À seção rêta da barra é de 3 pol X 6pot.

À 60 n.p.b. âs rdas 6Íã0 feeúdo ,1,6? .p.s-

Tod@ @ pont6 na búa ÌateÌàl tê@ rr@ @lqaéo pl.a haib iF.l a o*

ãe= ã' +d@ - ãp' úa vd que a' = o

aw = rc'z = ì; QÌ x a,67)" = ì 080 p,a./8"-

Ps total (Ll búa = 60 X 6,5 - 3901b.

Foiça de inéda âsindo Í& búrà, edâ .i@ = # x r.ostl : 13 l0o lb.

Foiça líqüda na bdÌa. ÍEa cima : 13.100 - 39O - Ì2.7101b.

À forçâ dial F lode @r d€tdúiDad! iomÀúilo* t mda tl@ira G a b'd

como @r!os liÌr6 e {&end(,* a súa dG @@nre @ reIação e (uto ila

l5Ì7r10.000X36, r - 24.000Ib c5Ìsa uiaL

O moúeúto fl€tor mâÌiúo pes uúa üsa simpleúebra apoiadtr óm cesa

üúifoúemenr€ iÌistlibuído ê _lfl - 1?Trqx?8

- 12!.001, tb'pl.

124.000x3x12 3 X 6t -

3'2fl pet

rn(ú&.) = í" - 8.230 P.i (l'eção)

'(máÌ.) -

-

- 4.rr5p8i (cisaÌh@dlo)'

10. UmÊ cartoneirâ eú foÌma de Z é süpoÌtãda e caÌr€gada

oorúorme a Fig. 2-22. CalculaÌ a máÌiúa tenâão cisalhante na3

Segões À-À e B-B'

P M. 24.000 ,o.=7+-t = rs Ì

CÀP. 2 lENsõEs DEs.EÀTvoLYDTs E}Í EI,EMxNaos DE üÁquô.áa 25

F;e. z-22

C@sid€raldo { part da @toeiÉ aciEr da S€ção A-À liYre, teJ@ no tDíto lV: o! =O e ra =o,

o.=T+ r - l0 000

- 22-000 psi

10 ì0.000x?xlx12

- -=;-ã-=

r(úáÌ.) =-- = lÌ.000p€i Ícbalbampd,or.

C6&idaúito a paÌte iìa cdtoftüa à eque.{tá da Seção B-B @mo uú co4D üre: n@ porL@ 0e À, út = 0 e Ìa = o.

Mc 10.ü10X9XlX12 --- , -* = i - -Ë = 2? 000 p€i (lracão no poor'o À c

' ' doplBõo m porlô Q);

r@r-) = -ï = 13 í10 p6i (cisâlhMmr. oa Spcão BAì.

u. UúÂ aÌdabra ile aço teú l/4 pol de espessuÌa. Uma lorça dê 600Ib é unilormemeste ilìstuüuída conlorme mostra a Fig.2-23. DeteÌminaÌ as máxiúas tetr€ões cisalhante, de tração e de compresão Da Seção À-Á. e no ponto -B.

lF'q*,""",.

Fie. 2.8

O ponto crítico 6tÁ Í6 fiha spêrioM.

". = + + i = reeã##e +ffi. : e.eoon dn (náÌ.) = t, = 6.60op6i (tncão) @ fibrs epdioÌr6 d. Se@

^-À- on{aÍn.) : - 4.200 p6i (6Ep|são) úa Iihês iúqioË do SeÉô A-À

r(úár) - 6.600/2 : 3.300 p6i (cisalha@to) !q' fiDrs mpc.irË da Wo À-^.

No polto B (depúddo 4 lfuetuaçõê dé reÉõ€):

M. P íqX,) {l) (r2ì 6lllt " ,=--+ e - to-pt l t - ITJs;{r ; -6. ínFi(kdo)

= ?.200 psi (rÌ!60)

ó.600 r- ?.200 lr o ooo---Ìãì-ú,(mJ--- 2-+1\- , , -o- = ?,200 !6i (üa!ão)

crp. 2 rENsõqs DEsNl'oLvDts EìÍ E.I,EMÈNros DE ìaÁeÌJaÌÁF

12. Determinar os máximoe esforços rormal e cisalhaate na Seção À-À da maniveÌa Ìepres€ntada na Fig. 2-24 quaado urra caÌga concentradâ de 2-000Ib atua no ceúfio do pino da maúivelÀ.

26 Er,EMENlqs oRcÂNrc'os DE lÍíeDrÀrls

ot-o.r = o * ï' * -dC"";Ì-"I- :

- ó.ó{0 psi (tÌá€o)

rr-6,.1 = 519Érì-1 = r.60op6i (.i.€rhÀú@úo).

Fi,A. 2-21

G poÍr6 c.íticG €tão !s fibrs trenq e diaúkna ita erÂo.

llt = (2.000) (3,5) = ?.0001ì.!ol

r : (2.000) (5) : ro.fiìolÈ.rDl

o. = -44r : (? om) !lill!!t- = 2.6aa *ij ,tr.,

"-:+:ry-:r.sss!"i o-t 'eò

: z.aqlz + t/e.aq8 + tr.awf = 3.620 p6i {úa6o)

r(tuÁ.) = V(t-6-rolAt+ G.sssÌ,= 2-300psi (cisalhaúeúio).

13. Em üm ponto do rotoÌ de uma turbiÌìa a gás (Fig. 2-2S) Íom4 eÈcontÌadas uúa tonsão Ìaalial de + 3-000 psi e uma ten6ão tangen- cial de +7.000 psi. QuaÌ a máxima tensão cisalhaüte De€te Ímnto !

dn(6tu.) - d, : 7.000 !6i (rracão)

"(@tu.) - -j; -: - 3.500p€i

Fie. 2-25

28 DT,EllÍNÍOS ORGÂì{ICOS DE M-ÁQüNIS

(50 cm)

PROBLEMÂS PROPOSTOS

t4. Uma yisa em baÌaíço, de seção .ir.uìd, ê ctrêsadÀ @úfone mGtÉ

ô Fis. 2-26. Em füção de ?, I', Z, d e P sÌeÌe. 4 etpr6sõ€ pâh:

(ô) máúDa trÂção !o ponto Á;

(à) m6Ìida dmpr*ão no ponto á;

(c) máxima t.ação D poDto 8;

{d) náxiÌna coúplessão ú Porro -B: (e) náÌiúo ci.alàameÁto nG pontos 4 e B.

19.sp.: Vc. Prcbl. l.

15. Uú êÌemento de aç! êtá ojeito a ú mo@nto de tonÉo dê Ì.000

lb,pol (r.120 Lc cn) e uma cúsa eiaì de 2.000 lb (900 ts), aplic&rlos @mo

{20 9m) I

1.;

lb (9m ks)

Fis. L27

(a) a Dáxine Ídsão cisaÌhtuíe;

(ü) a máxima tetrúo m@al;

(r) q míDiúÀ teúsão nomar.

Adúp.: (o) r.?40 p6i (125 ks/cn'); (ó) 3.330psi (240 Ì.s/cn'); psi (- úr Lc/cm'l (.onpr€são).

(c) - 2.100

16. U@ bua cndìrâÌ de 2 pol (5 @) de iliânêtrc 6lá sujêitq À um @Í- jueado dc 5.000 lb.lol (tó20 Ls @) e a üma @mp.esão de r5 .000 lb (6 .750 ke) coúo aPa@ ú l_re. 2-2S.

C]P. 2 TÚÌ\-SõES DESÊìiVOI,VDÁÂ EìT EI,EìIÚNTOS DD lTÁQUÌNÁS 29

Fie, 2-:â

(a) a E&ina tdEão ctoâlhútê;

(ò) a útuima ieúsão dê uâ6o;

(.) a úâiúa taNão de dmpr6ão.

ÌÌar.: (ô) 3 9s0 psi (2só ks/cmli (ò) 1 590 Fei (u4 ke/cú'z); (c)-6370

Pei ( 458 Lg/@') {conplEêão).

l?- Dt{ê@tue â máúúa t€úsão cisathaotê Ú eleúenlo eptwliado !a

fi'e. L29.

Rã?.: r. ?85 !6i (cisãÌha@úio).

ÊtA- ,.29 fiA. 230

ls. ^

núiwlâ Ép@ítails nÀ Fk. 2-t0 6tá Bujeit! a uma ca'sâ de

2.000 lb. Detdúilú a;áriEâ teÍsão cisalhÚtê Da Seoeo À-À' otrde o diâmctlo

é ite 2 poÌ.

R6r.r d, = 28.00olxi; '4 -

u 4So IEi; dnúx) = 18 100 !6i'

19. Âs !ê. eoúFo|Ml€ de úa força ssiúdo @ uúe €nerclag€m cônicÀ

"a" -*t-*"t" -tgo"tt, sib âplicadB eú ú Püro ilo diâmet'o p'iúiti@'

co@ rePr€@rqdo !â I"ra. 2$.

30 TIÌIÍENTOS ORGÂNICOS DE MÁQÜINÀS

Dêteútud o úomdto flèror ê o úári@ èfo&o cÈâÌhúrê úasle6o À-rL n rr.: Ì4 = Llsolb !úl; í(6á!.) - 6.120 F€i.

6Lá sDjeií.ã À aéo {ie u@ lúça de

ffi s o0o lb. D6pdú o pm póFio da ffi canlotreúÀ e e 6morÌaçô6 ile tdsõè

ffi *is[FDre. Se s máttú" r4ão de rÌado

ffi d cúLFiÌÀ !ão deÉ eredà dê 5.m0

ffi pd, qual o |'q6 valoÍ qe pode üe.

ãd â. , i -do rr

20. Uúa canioíeira de e@ @ú âs dimdsõ6 rep.€mtldc Í! fre.2-32

-'tr 2"1

Fì8. 2-32

2r. À bds de üsação lataal il6 úda de l'@ l@moüivô !€À 60 lb/pé. O @Ìpriúentô ila maniyela OP é 16 poÌ e o Íaio da rcd 3 p6s. Sc a yêÌocidâde

da rnâqüna ê de ?5 n,ph e o 6forço de tÌÂ{ão, For úda, é dê l0-01rc |b, c&Icold @ útuiús t@sõ€s rcnal € ctualhdÍ€ ú bara, devida à üércia e à câÌsr diúL

. Fis. 2-33

À seção Èts dâ baEa 1êú e diuid$€: i pol X 6 pol.

Pa!.: À@leâ€o d h€m - r.?90 pê/st púa .ina

. fo.çà de i!€ftiÀ na büE = 33.,Í10 lb rtua IÉiú

eíoioo aial íÀ bera : 22.5CO Ib (@bpÌe&ío)

d. (EéÌ) = 27.000 P€r (ta@)

Fis,2-3Ì

crP. 2 lENsõEs DEsENvoLvDls EM Ìr,EMENTos DE üíqïNÀs 31

ti(úíú.): - 29 50o ' (mmpÌes-o)

'(náx_) - t5_250 !6i (cÈarhanqtô).

22. ^s

!êsões d@úúlüd6 em üm poúto de uúa áwore @a, daido r úa ajGrasêm pmada, ío.aú de 5.000 p6i e 9.000 psi, aÌÌüs de iração, lr'e m6ta ! Fig. ?34-

Qual o ntui@ rdrão cisâüsre no ponlot

À6r.: 4 500 tui (cisarhaúelt4).

ìi€. 2_34

21. Deí@iú s! málme reD!õ6 norúâl e ciòalhút€ !a SeçÃo À,A d. @ivela repMtadô na Fis. 2-35, qtrando uma carga de 2.000 lb 6ne!úÂila é aplicada no Éntm do mGnr€ da mdiveta. DeFe& o cidaÌhÀmeDto [Iaús

l%rp.: dr :2,64ìpsi: ra: 1.630 Ítsi! r(már.) = 2.100!6i (cisalha- @to); r, (Eá!) :3.420!Êi.

Fie- 235

24, VÈgalhõè ite l rDl ilê dieBeho, formedo.ÌêeEN do úà ecada, 60 eldadG à nì@a de úô visa @ I (Fie. 2..j6) ê !ú! @nodâ€o do pé, Èão ilobr.de {ie 3 pol rEE f@, E plúo tÌoízoúiqt. Suposdo riids a! qrr@i_ dlilè $Lr'tre, calcuÌd a Dtui@ t@são de cisarhaúdio criadâ Do ve.sqÌhão

32 trI,EìÍEìffOS ORGÂNÌCOS DE !'íquINÁS

por um homêm de 180 lb com o pé no eútro do degrau- D6I|r@o o ê{êilo dâ

curvatua do vereãlhão no cáÌcuÌo.

Àáp.: t(náÌ.) : 2.200 rai.

-&P 8'\-+

Fis. È36 Eie. 2-37

25. Um pe dc r.000lb ê suportâdo @rlo.@ mostla a Fie,23?, Â plÀ-

tâforma de suÈtentação 6tá sujeiÍq s üma @leação de 8 pé9/s'?. Derrúiú

o dieúêtuo da btun úesário pua qú â mán@ &Ísão.isalhmte nâ süa b@

oão uÌl,rapasse 10.000 psi.

26. Uúà múivcÌÀ côrstruída de *çõ6 cilíúdri.6 eldâdB requE ú êfo.ço dc 250 lb pua Ìence. a Éisiêícia (aíÌfto), quúdo * úconEa na !@i6o repre&ntada na [ig, 2-38.

Fie 2-18

(a) Deternind e máxim4 têrsõ6 no@.! e cisalhânte iduida ú

(ó) DetaminÀr I náÌimc tên õê cisalhútB G púre I, II e lII.

R6p.. (a) ta@âx-) -29-000psii t(már.) - r5.000F6i; (ó) (Ì) r0-5í) Íai;

(II) 6.880 p3i: OU) 15.000 rsi.

L.

Ajustagem e Toleráncias de Peças Metól icas

Câpítulo 3

À ajustagem dos componentes de rnáquinas ou de qua\uer üpo de montageü visa a assegurar que estâs peças tenhâm um trabalho em comum ÊatGfaiório. Sendo impossíveÌ â faìÌicâção em grândes quântidades, com medidas exatas, Ioram estudados váÌios siÊtemâs que, peÌmititrdo peçrenas variações nas dimensões cor€q)ondetrtes, não tragam, entrctânio, prejüízG ao tuDciona- eento.

Dínansão on collr nnnínal é a diúensão comum aproximada, escolhida pelo projetistâ pâÌa o conjunto e â pâÌtiÌ da quaÌ serão coosrderâdas as foÌgas e demaìs variações.

DitÍtênsão on cok hose é a dimeNão a partir da quaÌ, segundo um sistema escolhido, seÌão permitidas vâÌiações especificadas.

Tolerârcía ê a náxima variação permissívet na dimensão da peça. I

tro&ld é a difeÌença entÌe as dirüensões básicas corr€ôpondetrtes nas peçâÊ que tenham trabalho em comum. Quardo a foìga é regativa, pode receber o aome de aperlo ott inleìleftncía.

À tolerância pode seÌ bilateml e, neste caso, a cota da peçâ pode variar para mais oü para menos da cotâ básica; por exemplo: 2,500 + 0,003. Pode ser unilâteral e, neste caso, a dimeÌrsão pode ser maior ou menor do qÌre a cota básica mas, para cada caso, só

podeú €rGl,ir uma das sil.uâções ritãdâs. EÀ.: 2,500 + 9'999' _ U,UUJ. S€guÌÌdo as rccometrdações dâ ÀSÀ, a cotâ nominal do Íuro deve eer toleúncias unilaierâis. No sist€ma em que o luÌo tem a di- menbão base, o iliâmetro nÍnimo do furo é a òmensão nomi- nat.

:l![ Er,E]ÍENTos oRc-iNÌcos DE rííqúrNÁs

SiÊtema de furo hase ou notmal. O sistemâ prevê oito cÌasses de montâg€ns, cobrindo desde o emprego de grandes Íolgas ató as montagens Íorçadas:

Ì. Ajustâscm móycÌ com srand€s foÌgas nínimas (loose JtO. É empregada onde a precisão não ê um fâtoÌ essencial. Exem- plos: equipamentos pâra âgricultuÌâ, coÌìstrução de cstÌâdas, mi-

2. ^justaseÍn

móveÌ com foÌgas mínimas mêdlas Uree Íit). Í enpregada m ajustâgens Ìotativâs com velocidadcs acina de 600 r.p.rn. A foÌga é suficiente pârâ pÌover lubrificâção satisÍa- tória. Ex€mpÌos: dínarnos, máquinas opeÌatúzes e peças de

3. Ajustâgem móvel com p(quenas Iolsas mínimas (nedíuzr

lil). É empresâdâ para montase.ns Ìotâtivas com velocidades abaixo de 600 r.p.m. oü paÌa ajustasens d€slizantcs. ExeÍnpÌos: ÍnáquÍÌas, ferrâúentâs e peças de âutornóìrcl, de pÌecisão.

4. { jusrüsFm deJiza' ,re. lô lsâ mínima nula lsnus ! ì ! ) . É empregada quando não é peÌmitido movimento Ìelatiyo sob câÌga' É a dc meror foÌgâ gue pode ser montâdâ â ÍÌão.

5. Àjustagcm incf[a, rotâtivâ durâ, é pràticamente contato de metaÌ com mcÍal (urínsìns Jil). Não é intercâmbiável, usa o sistema seÌeÌivo e exige pequenâs pancadas para coÌocâÌ em po- sição.

6. Ajus[agen inc€rta {oÌçada lc.fc (Iìsht Jit\. Ocasiona inter- fêrênciâ do mâleìial. É usada pa.a montâgerÌs semipcmânentes, parâ acioÌÌamentos ou para fretagem de peças de pcquenâ espes-

7. ^jüstãsem

forçada média, exige razoável pÌessão paÌa a montagem. É usâda pÂ.â tretagem em peças de espessurâ mêdia ou longos ciros. É a dc maior cìasse quc podc ser utilizada em peças extefltas de {erro fuddido. Exemplos: rodas dc locomotiva, armadura dc moto.es e geradorcs, Ìodas de autoÍnóyel el.c.

8. Ajustâsem forçada dura, fretada (Àeary Joree Jil). É usada na montâgem de peças extcÌnas de âço, necessirando de consideráyel prcssão ou de fretasem. ExcmpÌos: Ìodâs de Ìocomotivas ou pcçÂs de gÍandes motores téÌmicos.

Nâ Fig. 3-1 pode-se vcr a aplicação rle tolerâncias pelo processo .Ì ' f r rro nurmal. \" dim,.DsüpÊ r lo nrru são as mesmas qu'r para o caso dc noviÌÌrento reìâtivo, quer para o dc montagem forçada.

âJUSTÁçEìÍ E MLERâNCIÀS DE PEçbS ìTETÁ'-ICAS

!'oLl* E TordâÍdrÊ RacoeiDrú\B

cÁP. 3

I

9

3

5

7

d

Ir

J

35

0,002.5 d:r

0,00{t _0

0,000.0

0,000.25 d

0,000.5 d

0,001.0 d

;lI;I FFFI

;# Es Pârã ajustasens dãs classês I a 4

Kí FF?Fì &, 9lí

: tolerância do {uro : toleÌârÌcia do eixo : folga : foÌca negativa, aperto ou interferência.

PeÍã ajustasens das classs 5 a 8

Ft!.:|.r

Ajüstageú seletivâ, significa efetuaÌ-se o gmpamento das peçâs qüe tenham as cotâs situadas dentÌo de determinados irÌteÌ- valos para depois combiná-las com as correspoDdentes Íambém grupadas em intelYalos. Parâ hso, diyide-se a yariação entrc a

0,001.3 dt,

l *

36 E,EMENros oRGÂÀ-Icos DE ![&uNÂs

Íolqa máxima e a mlnima em um rúmcro de futervaÌos cotrYenietrt€e'

Obtém-se, assim, meÌhoÌ ajusl,agem por menoÌ cüsto de pÌodução'

Por er.mplo: um eiro d" I pol devc ser fabri(âdo de acordo com a

classe de ajustagem 2, cujas dimensõ€s devcm' poÌtãnto, vaiaÌ de

0,998.6 a 0,997.3 pol. O Íüro coffespondente deYe vaúar de l'000'0

a I,001.3 pol. Sc tor reaüzada a montageú bâseailâ na irteÌmü-

tabitidate, a tolga Yariará de 0,00r,4 a 0,004-0 pol' Se fot, poÌém'

ale inter*se mâ ter â lôÌga no interYalo dê 0,002-0 â 0,003 4 poI'

taÌvez por questão de lubrìficação, pode-sc dispoÌ os eixos e fuÌos

em dois grupos, Á e B.

í luros: 1,000.0 a I,000 7 Pol Gruno A (-

[ -B;r"si 0'99?.3 a 0'998 0 Pol

í ll,ros: 1,000.7 a 1,001 3 Pol Crano B (- | t i 'os: 0,998 0 a 0'998 6Pol '

Unindo quaÌqucr f"".." "f* d<t grupo A'a tolgâ YâÍiârá de

0.002.0 a 0,003.4 pol; paÌa o rrulo B a {olsa variâÌá de 0'002 1 a

0,003.3 pot. O resuÌta<ìo dessâ operâção Ioi a obtenção de uma

tolerância menor do que seria de esperar para a c-lassc de usinagem

especificada, sem a cÌevação s{,'nsíveÌ do custo' apenas com peqreno

sacrifício da iniermutâbiÌidade das peças. Se o número de grupos

Iôsse maior, podeÌia ser consegÌìida rariação aintla mercr na lolga'

\aq monLag.ns Íor(âdâq. l .m lârSo empÍcSo esse processo' v isandese

nesse casc a conteÌ as iensões máximas dcniro de limites acei[áYeis'

Nâ tabeÌa de folgas e tolerâncias recomendadas, as classcs de I

a 4 são cataÌogâdâs como intercambiáveis: isto signilicando que

qualtu.r peça da class' porJe scr combinada com â 'orrespotdenLe ' á'

-""-r "ln"rt. manlando-se âc tolgas nos limìl'es prerisÍ'os' Para

as classes de 5 a I, a paÌavra $eaelim indica que as peças deYem s€Ì

gÌupadas para a obtenção do aperto prwisto'

Tensões decorrentes de lnontagem foìçadâ' Essas tetrsões

poalem ser calculadas, considerando+e as duas paúes como cilindÌoe

ãe parede" e"p"s"a", poÌ meio das expressões a seguir (Yef Fig' 3-2)'

4l4 \d", - dt) . d", + d,, pt t'è 1* sJd"" d,\ E-E)

po

õ

= pÍessão na superficie de contâto, psi; = interf€Éncia total, pol;

ondgt

cÀP. 3 ÀJUSIÀGEM E lOLÈIÌÁNCIÁS DE PEçÁS }ÍETíT,ICÀS

= diârnetm iÍtemo da peça futeÌna, pol;

- diâmêlro da superÍície de conlato, poÌ: : diâmerro el temo dâ peça êdcroâ. poì; : coeficieníe de Poisson da peça extema; - coeÍicietrlc d" Poisson da peça interúa:

- módulo de elâsti.idade da pcça PÌlcma. psii

- módulo de elasticidade dâ pcça inlema. psi.

d; d.

Et

I.È. 3-2

Se as duâs peças são do mesmo materiâI, a eqüação acÍma

ee r€duz a:

ô

'' -

-_uilll-!:\ '

E (ü - dt) @,' d"'\

Uma vez determinedo o vâìoÌ de P", as íensões tangenciais

náxioas para uso segurdo a teoria do cisâlhâmeDto máximo,

podeú seÍ obtidas por meio das equações rle Lamé. I

Para a superlície rle di âúrLeÍÍo d,t ct, = #+ì .

para a supeÍÍície de diâmerÍo d" I d," 1 d,, \dâ peça exf,cma: d* - P,\ ol: _ e, I .

pâra â superÍície de diâ_mêrro 4 | d"" + d," \ dâ peça ioLeÍDâ: d, i : , \* , _ a ) .

PaÌa â supeÌÍície de diâmetro d.: oa

Poílem ser usadâs também as equações de Bimie, que Íomecem

ãs tensões tangenciais equiyalêntes eÍn coniugâção com a teo a da

ÌuptuÌâ pela deformação máxima.

38 EÍ,ElrENTos oncÂNrcos DE MíqúNls

Para a superÍicie aom d.: ou - .?-P'd:' d, ' - d" ' '

' rd"' I- d.' ìPaÌâ a suDerfície com d"t ob : p,l: ' ta"- d"

t t t ' ' ' tpeça exIeÌ.aa,

paraasuperÍ íc iecomd.," ;"- - " ( , ; , t f r

- *) . (peça intema)

- ?^ '12Parâ a supêíí.ic com tl,: 6,i

Fo.ças e momentos. À força adal Ítâ\iúa tr'", ÌìecessáÌia para uma montâgem Iorçada, é dadâ por

F" : J".rdLp"

e o momento que pode ser tmìsmiúdo por uma mortâgem ÍoÌçada, 6em que oeorra movimento ÌeÌatiì.o entrc as peças, é dado por

- hp1rúL-2

onde:-È'. T

L

: Íorça axiaÌ, lb; : momento de 1orção transmiúdo, lb.pol; : diâmctro nominal do eixo, pol; = coeficiente de atÌito; : comp m€nto da peça extema, pol; . pr.ssão de .onlalo cotÌe a-s duâs peçá5, psì.

Montagem frctada. À montag€m de peças poÌ apeúo ê Íre qiientemente faciÌitada pelo aquecimento do Iüm até que ixre tenha se dilatâdo de um valor igual ou superior à iÍteúerência. À variação dc temperatura Á7, necessária paÌa a obtenção de um aumento ó no diâúetlo inteüÌo do cubo (fro), é dada poÌ,

.x d,

onde: Àf : vaÌiação de temp€ratura, oF;

ó : inteÌIerência ou âpeÍo diametì:aÌ, pol; d : coeficiente de diÌatação üneaÌ, poÌ.F! dr : diânÌet'Io iniciaì do íuro aütes do aquecimento, pol.

Podede, ao itrvés, efetuaÌ o resfÌiamento do eüo por meio de urna lonto lÍia, como por exempÌo o gelo seco, obtendo-se o moonÌo Ìesultado,

&

cTP. 3 ÀJIJaTÀoEM E mLEEâNcL{a DE PEçj{.g METÁt,Tc,As 39

PROBLEMÂS NXSOLVII)OS

l. Quais rão oa vaìores da ÍoÌga e toÌerâncias do furo e eixo, para as seguitrÌe6 cot€s úominais, considerando-se o sistema furo bâse I

Szro: 1,500.0 pol (3,750.0 cm) Eiio: 1,498.8 pol (3,74?.5 cm) 1,500.9 pol (3,752.5 cm) 1,497.8 poì (3,745.0 cm)

O llm Ìeia de r,ín.o a 1,500.0 + 4, doúde 4 = 0,000.9 pol. FolSa @rE ÍN e €iÌo:

lín.0 -J = 1,498.8 poÌ, dolde I :0,001.!pol.

O eis ydia de 1,500.0 -Jaté1.500.0 J-Í, = 1,497.$, donde L = 0,001.0

Pela ôídrtu nêtríú:

t - 3.?5:.5 - l ,?50.0 - 0.002.5.n. .

Eít

J = 3,?50.0 3,?4?-5:0,002.5@

L:3,750 0-0,002 5 3,?45,0 : 0,00,.5 cD.

2. Um eixo de 3 pol (7,5 cú) giÌa no irterioÌ de um mancal. À tolerância de ambos é de 0,003 poÌ (0,007.4 cm) e a Íolga exigida ê de 0,004 pot (0,010 cm). Dar as dimensões das duas peças de acordo con o sistema do íuro base.

MMaÌ.. d: 3,000 poì- d+4-3,003pol .

Fwo: d: 7,500.0cm al+I, :7.507.1ú

Eì..o: tl -.1- J - 2,996po]-. d - t .=2,995pÕ1,

Ei to: d ' = d -J =7,490.0cm d'-1.=7,142.6cm,

3- *Uma montâgeú forçâda média d€ ÌÌm eiÌo de 3 poÌ (7,5 cm) eüae ümâ toleúncia no Iuro e no eixo rle 0,000.9 pol (0,007.3 cn) e um apeÌto mêdio (ÍoÌsa negativa) de 0,001.5 pol (0,00a.3 cn). Dar as dimensões arlequadas do fúro e eixo de acordo com o sistema do furo base.

' G yaÌoG d cm fonm etindos dê Tab€lÁs do Sistêma I. S. À.

40 ELEMÌì}ì"TOS ORGÂNICOS DE ìÍ-ÁQÌ'NÁS

lqrr,i d = 3,000.0 Pol. d+4:3'0009Po1'

Pelo sisletua mel!i@:

fLro: d=?,500ocm d+, - 7,507 3tú

a. (a) Qual é a diferença no

usado Ías ajustâgens móYeis e nâs

Rôdas A Diâmetros do Íuro: 3,000.9

d' : d +_l = 3,00r.5pol. .I' + I" : 3.@2 1vtl.

. l '=Í t+J = 1, t04 3 cm íl' + L = 7,5rr-6cú.

B 3,000.5

E 3,002.0

tipo de montagem geÌalmente foÍçadas I

(ò) Parâ uma ajlÌStasem lorçadâ nédia (0,00r.5 pol)

Ìodas dc âutomóyeì, selecionar no grupo âìaixo os paÌes

pondenL€s; as dimen$es sendo em pol. '

Eíros Dìâm€tÌos:

D 3,001.5

(a) Às ajNtâs€$ rúv€is são 6lritameítê intsmutáv€i dquúto 6 fo'çadG

(ò) Os conjuntos deYem ser A !' B E' C D.

5. Escother as dinensões do luro e ilo eixo para âs seguinleg

montasens: (o) um úàncal dc motor elétrico de 0,5 pol; (ó) uma

úontagem forçada médiâ num eixo de I poÌ; (t) uma câpã de mancâl

de 2 pol, dc um mccânìsmo de eÌeYação para equipamento rodoüáúo.

(o) Umã ajNtascD da classc 2 seria razoávêl pda um múcal de motor

Llraj 0.001.4dtl3 :0,001 4 (0,5)!/' - 0,000 9!ol.

Toletâncias (Jurc e eiro): 0,001 3 (0 5)r/3 : 0,001 0 pol'

FÌ fo i d:0.500.0PoI. l+t=0,501 0PoI.

üxo: . l ' :0,499. lpol . . f - L-O,49A.1P. '1.

{,)) O apcdo sc.ia: 0,000.5 d :0,000.5 X a :0,004 0 pol.

'tnran íÃs lJüro e.ìÌo): 0,000.6 (8)I/':0,001 2 lol

l"rror .l - 8,000 0 !ol. g,,oi d' - 8'004 0 po|.

{ , +, - 8,001.2 !o l . d '+l . :8 '005 2IDl-

ciP. 3 ÀJUsrÁcEn E Tor,EBiNcrÀs DE PEçÁs ì[ETÁLicÂs 41

(.) Pa.a é9 tipo dè n@úisúo sdá satisfÀÉria a clNe l.

rolga: 0,002 5 (2)'z/t : 0,004po1. alotÈtuti@: çúo ô ei.o): = 0,002.5 (2)rF = 0,003 !ol.

f{D: d = 9,000 Fol. d+t=2,003Fo1.

C; 3,000.0

F 3,002.4

liÌo: d'- 1,996 pnl.

d,-r . : r ,993po1.

6. É prática comum dimensionaÌ o cubo, tomando o diâmetro externo cerca de duas vezes o do orÍíciô, À ajustagem do eubo ao eüo por apêrto usa o pÌocesso scÌetivo. Neste pÌoblema procurou-se locâlizar 03 ì'alores extremos de tensão que podem ter lusaÍ quardo há interferôncia (cÌasse 8) sern o recurso do processq s€Ìelivo.

Detcrminâr as lelsões tâng€nciais máxiúa e mírrima quc podem resultâÌ se lo.em utiÌizadas as interleÍênciâs márima e miÌìima entÌe um cubo de 2 pol de diâmetro externo e um èiÌo de t pol. Âmbas as peçás são de aço. O Coeliciente de Poisson pode 6eÌ tômado como 0,3.

Do tdto t@$: di = 0; 4 : r !úl; d€ = 2 pol.

Detemimção da p6io râdiaì na superlicie de mntâto, pc, púÈ ambú

ôD (d.x d;\ (d: dc') Pc: 2d.1A", _ *-:

ô(30) ooq oz o) (2, r,) 2 (L' (22 - 0)

= ô{lÌ,2s) (106) psi

superficie de mnt{to da poçãDeterminãÉo das t€Àsõès tangenciris ná ertcÍla lbr $cio d{ cquação dc Lamé:

o@= p"v, , ; , - õ í t Ltrr , t06r: r - - - ô | ts.75) l r0.6 lx i .

Pâm @a ajGÍascm da das 8:

as diôensõ6 do furc vdiàÌão de 1,000.0 a 1,000.6 pol;

as diDeÍsõe do eixo Ìa.ia.ão de 1,001 0 ã 1,001 6 póÌ,

Eo coEaúônciâ â üt€rIerência teÌá ptuâ vaÌores:

,(úáx.) : 0,00r . 6 pol.

VoloG da tensão superticiaÌ:

ó(mín.) = 0,000.4 poÌ.

de (DáÌ.) :'(0,00r.O {Ì8,?t (106) : 30.000 Éi: de(miD.) - {0,000 4) (ì8,?5) (r09 - ?.500psi.

O Er,EürNrgs oÊcÂNlcos DE MÁqÌlÌNls

?, Um eüo de aço de 6 pol (15 cln) de diâmetm deYe recebeÌ

um montagem forçada de um cubo de fe o lundido de 12 pol

(30 cm) de diâmetro extemo e r0 pol (25 cn) de comprimento-

À tensão taneencial máximâ deve ser de 5.000 psi (350 kg/cmr)'

E : 30 X loc psi (20 X ì0' ks/cm') paÌa o aço e 1s X Ì06 psi (10 X

X t0õLs/cm:) paÌa o felro lundnb; J":0,12 ep:0'3 para

ambos os mâteriars. (a) DeteÍminar o mâximo apêrto diametral'

(ò) QuaÌ a força axiaÌ necessáÍia paÉ a moÍrtâsem I (c) Quar o

conjugado que pode ser tra$mitido poÌ esta montagem I

(a) A teNão túsenciaÌ máximâ oone úa sup€rrÌcie 4 da ÍEca drEmâ'

.* - " \ï'", : , )

s 000 = p. ( r;' - ; r . e" - r 000 e€i'

D€termiúarão do âp€úo por meio da fómúla da pÉsão Ídâ o (*F {ie dois

ol4,un, 0,,' "!iin)..' i, "'i;) ô

3.000 = 0,3 0.3 _l

iox l ' r " - tsXro" l

donde ó:0,002.?SrDl qú é o ãPe.to náximo dimet.á.I perDisiYel'

(b) F@ça n@6stuia P&a a noúã8em.

Fs = JdirdLp. = (x,r2J ç.) (6) G0) (3 000) = 67'800lb.

(.) Conjugado quê pode ser traúmirido ÉÍ m€to d$a inteú6ênci''

r -6",e | - a (*) -' eoo (f) - zor'oou o.r.

Pelo 6ülenÌd ntÁ!ìíú.

lô) dk = 350 = ffi- r,b, dooder

?c - 210 ks/cm';

t0: + Is"5-rrorri,l*;iffi+ rït rõriiõi-- rs3) -

0,3 0,3 ' ìr tiii rN + ìo xïil ;

ll - lì,|)t'?.lt r nì. Mr = 2r5.000lb.pol .

c-T?. 3 ^JUsirÀcEttr

ì mr,ERÂNcÍts DE ÌEçÁs MBríücls 48

(ò) r.= 0,r2 (r) (1s) (ã) (210) - 29 soo ks.

( .) r= " * ; . ' " = x2:1.000trs cD.

8. Um cubo de âço Íundido tendo um diâmetro minimo de 4.000 pol deve ser fÌetado em um eixo cujo diâmetro máximo é de 4,006 pôt. À temperar.urâ âmbidte ó de i0.F, o coeficiente de dilatâção ìinear paÌa o aço é de 63 X Ì0-?/.F, e a fotga desejarla. parã o momento da montageüÌ é de 0,002 poÌ. A que tempemrura míDiqa deve o cubo ser aquecido paÌa permitir uma montagem sem inteúeÌência I

Di&Ìetm que deÌe têr o c!ÌD depois ilê êxpúdido:

4,006+0,002 = 4,008pol.

TeotEatüa a que d€\r eÌ elevãdo:

0,008

^' =;ix1

1"r*1 - rtt 'r.

T+AT-70+xr?-3s?F.

. PROBLEMAS PROPOSToS ,

9. Quais são os ystoB da rolaa e ds roldânciü psE os ôcgúni6 @njmros, segudo o sist€ma do fuú b$êl

I'rro: l,?50.0 rDt (3,000 _o cm) Eixo: t,?49.0pol(2,99?.5cn) r ,?50.6pol(3,00r.6cm) Ì .?t8. j lot(2,995.0cm)

lÌ4!.: t: 0,000-6 pol (0,00r.6 ctrr)j J = o,o0r.0 rDI (0.002.s cm). ,, : - 0,000.? pol (0,002.5 cm).

10. Da! 6 dimosô€ Ìimitê püa ú conjmro @trstiruido de @ êixo dc 6 poÌ (r; cm) quc d9Ìe recebd um cüìo sesundo uúa ajsraseú íla ctNê s.

n6r.: I#o: ó,000.0pol(1s,0{0.0m) liÈoj 6.006.0 poÌ (r4,9gs.0 @) 6,00r. r pol (15,009,9 cn) 6,00?.1 lol (14,982.r @).

. Una @ntee€m forçadâ médiâ en um eüo de 3 FÌ exÈe @ã üte.âmia de 0,000.9 lol p@ o fuú e o êixo, e @ aperto de O,0OI.S rEt. Espeificú s die@sõB oÌepondetrt6 püâ o íú ê o eirc.

iap-: t'rr,: 3,000-0 pol 3,000.9 Íbl

tco:3,001.5pol 3,002.4pol.

Xl. Uú culìo de sço dc t?,5 pot de iÌiâú€ib exremo, lO ÍDl de diâmêr.o htemo e It ibl de comprireqro, dde s. frctádo m @ eüo taDbém de a.o ílê l0 pol dê diâmcl,m. A ücGìo raneacial d su!+rfi, ie dp e.tolo dd;" fi@ limirâdâ a rs 000 psi. (c) Qusr a ênsão Ìailial ú superfi.ie de ólrâto I (ó) Qüe nonento de toção pode *. r.tumirido 6utDrto um c@íicient€ ale ahiio dc 0,181

Rap.: p.=7-56*i ,

It TI,EIIENTOS ORCÂNTCOS DE ìLíQUINÂS

13, Ud cuìo de aç. de 2 pol dê diâúetrc exictuo e t Fol de diâmeüo intêmo

dov0 er moniado en um eixo de 1 pôl !o. una àjÌstaecm dn d's 8, *m o @

do crilério da selctiYidade

(d) Dêtmilú a t leÌâ..ia, a interrerêDcia e 6 dimensõd linit6 da du6

Dq!ü8. (ò) QúaÌ a náÌnna iensão radiâl de cortÂto! (c) QuaÀ os Yaloe má_

ximos e nínnNs dÀ tensão tuepncial dc @ntato I (Usar a equação de Íimé.) (d) Qua;s os vâror6 eÌtenos ds t€mõ€ td$nciais eldivãÌê!í6, bseadôs !i

t€ôriÀ da dcfurmação máxnna nÀ supê|rÍiie de coútalol (UsaÍ a e4uação de

Bhnie.) k) QusÌ â ío.ç axiat máximÀ Ã. cxisids pa.a a montdseÍr dG pe48

supondo uú comprimeDtD de cüìo de 3 pol e .ía - 0,12 I U) Qu.Ì o noncnto

máximo que pode se. t.aÉsmiliilo com 6ta monlaeÈrD I (Du a elüção Ì6eada

na intarfeÍêncin máxina.)

Edp: (a) Tokrô,n ia: 0,000 .6 polt íúldleência ndÌ.: 0,001 6 pírl:

mh.:0,000.4poÌ. Dimcnsõ6: l'zÌ,i 1,000.0pol t?ìoj r,00r 0 tDl

1,000 6 Pol l00l 6pol' (ò) p, (mí\.) : Ì8.000psi.

G) d! (máx.) : 30.000 psi, (d) d, (náÌ.) = 3í 400 psi,

{d) Fd : 20.4001b-

U) M, - Ì0.?00 ìb poÌ.

lr. Um.ulD dê aço de I p.]l de diânei.o int€mo, dqa s. mortado €m otrl

eúo.ujo diântetro é de 1,0or pol. À qoe lcnÌp..atü.à derc ô .jxo sr r6friado

para ller.)ilif unÌa nonlagem d6lizante I À tempoal,ura aÌìbiente ó de i0"[ c

o coefi(ienie de dilatação ìinear é de 63 x r0 rfl'.

lì.sp.: - BB,5'F.

r5. Descja+e unir dois cilindrcs de açó Á ê B por alertq admitindN urÌ{

iel"no hnsencial nã sulerficie itr€.!â do cilindtu ]9 dê 12 000 Ìui. Detcúine: (d) â nÍerte.ênci! nassárie: (Ò) as tcÍsòè tans€ncids nd superrriB dtdna

e intornà d{s duas !.ças, *-gtrndo a cqurçiid dc Bimie.

Cilindú ,'1 - diâiìctro erte.no: 2 pol; int.rno: I po!.

Cilindm A diâmetm dt(Ìno: 3 plll; inteno:2 poì.

' R.sp.: ta) p. = 4.r30p3i. ó = 0,001 178 poÌ de iDterf.

(ò) d;i: 1r o20psi, ',.i

= 5.650Psi,

or = ó 603 Psi, dia -l- 12 00o !6i.

16. Um disposil,iÌo de cenuaelm têm por Í'isão Stid 6 du6 parrB de

um scopìamcnto por fl&s6- À clasc 4 Gcolhida púa a ajüstascm pmporciom

toha .uoárcl üras os tolêúncis são p€quen4. ItspeiftuaÌ 6 dinìlsõ6 do

dislìosil,ivo con diúeDsão nomiDal dê 6 pol pa.a o èmpr'ã4 coúbinado da Íolsn

d! clMo .t .om s toldâncis da cÌase 3. OlNdvu quc há cdta vútáscm do

Í$nt4 d€ vislÀ dq produção oo ED d6e tipo 'Ìisüô.

,i.rp. | 6,00t.5 pol " sgggJpot

l?. ^

clltgs€ I ó üsada pda a frÕtasenì dê um cuìô ern unÌ èiio de 2 pol- () 0Írloi sr,tns úo n€cNúrios pú4, Po. neio de u'nâ âjusta€e'x s.leíiYa,.le.+

c-|P. 3 .À'T'STIÂGEM E mT,FÌâNcTÁs DE PEoAs }ÍETíIlc,ls 45

uúâ iotelteÉúci. úáIimâ de 0,002-2 pol ê úa tutêúérência nldmâ d. 0,00t.8 Dol I

lt.rp.: 4 stuÍs, de eordo 6n À tqbela abÀuo.

A B

2,000.4

c D

| ,.ooo., 2,000.0 2,000 2

2,0o2.2 2,002.4

2,002.o 2,0t2.2

Vigos Cutvus

CapítuÌo 4

N:rs viaas curvas a fl€xão não segue a mesma YâÌiação ìineaÌ

que nas vigas Ìetas, em viÌiude da variação no comprimento do

arco. Embora as mesmas considençõ€s sejâm usadas paÌa ambâs,

isto é, que seções pÌânas perpendicuÌares ao eüo da viga peÌma-

necem plânâs depois da ltexão e que a tensão é proporcionaÌ à

defomação, â diÂtúbuicão da-s tensões é bâstaÍte diteÌetrle' Â

Fig. 4-1 úìostra a variação linear das ieNões em üma Yiga Ìetâ e

a distÍibuição hiperbóüca que aparece em uma Yiga cuÌva. Ob€er-

va-se que, em uma niga curva, a anulação da tensão Dão se dá

sobÌe o eüo do centro de gravidade; o eixo neutro está entre o erxo

(t Elxo p.e.dô p.lc c.G.

Eta. +l

do gÌqvidade e o ceÂtm de cuffatura; isto sempre âcont€ce em

vigm ourvol.

C,rP. 4 YIGÁ8 CÚRVÀS

A dtutÌibuição rte tcnsõeÊ devida à flexão é dada por:

ae (r" _ y)

d é a tenúo dê fle$q psi; tí é o Eomento fletor em relação ao eixo qüe passâ pelo centro

de eraüdade, lb.pol; y é a dietância do eixo neutro ao porto em estüdo, poÌ; positiYo

quanrlo contado do eixo neuiÌo para o centÌo de curyÂtura e negaúvo em caso eontÌáÌioi

,4 ê a áÌea da seção, pol';

e é a distância do eüo do centro de graúdade ao uxo neutro, p"l;

r" é o raio de cuÍvatuÌa do eir.o treutÌo, pol.

A teGão de flexão lra fibla inteÌnâ é dada poÌ:

Mh,( r : - , Aetì

onde:

lq é a dietância do eixo neutÌo à fibla intêü4, pol (h : r" - fr; rr ê o raio de curvatura da libÉ interna, pol.

-|. tensão ile ílexão na libra erteÌna é alada por:

MK | ' : . . ; - '

lu ó a distância iio eixo neutro à ÍibÌa extema, poÌ (lu : r, - r,): r, é o mio de cuÍìrâtura da Íibra er.'terna, pol.

Se a seção ê sin&ri.ca (como um círcuìo, um ÌetângüÌo, uma yiga I de abas iguatu etc.) a máxin1a teDsão de |Iexão sempre ocoúe úâ fibÌa iateÌna. Se a reção é assimétrica ela pode ocoÌrer tanto úa Íibm interna quanlo na eÌtema.

Se a seção está sujeita â uma cârga axial além do esforço fletôr, a tênsão axiaÌ deve ser somada algebÌi.amente à tensão de flexão.

 di6tância e do eixo do C.G. ao eixo neutÌo é geraÌmente pequena Una variação numérica no câÌculo de e pode causar gmnd€€ Ìâúâções no resultado final.

À Tabela I dá a posição do eixo neutro, a distância do eixo do C.G. ao eixo neutro e a distância entre o eixo do C.G. € o centro de cuÌÍatura para vâriâs seções ÌeÌas comumente encontradâs.

47

I

48 ET,EMENTOS ONGÂN&9S DE üÁQÍITì{áS

h," = Ire.A;

R= r .+N2

k= r*dlL

G-0(4)+0b-DG)+t4 ' " r i l t i r . t

4 toe. i Mo& - + óblo&-

rJ(b-t+(ó.-0( lJG-âL) (ór- !)( l i )+(4 D(l . )+tt

(4-0(È)+ü

"=.,*_aç1ffiq

c-aP. 4

{b-Ò(4+rô)+l I ,

^ t"h\Li t t ' ,b. l r | ,ó-r , { t \ rà-1. , ,

PROBLEMÀS NESOLYIDOS

l. PaÌâ a bâÌÌa repÌesentada na Fig. 4-2, o eleito dâs duas Íorças aplicadas é üm momento puÌo qÌre iende a lletir a bana. DetermúaÌ as máxima! tcnsões de tração, compressão c cisalha- Eeoto e a seçào cm que elas oeorrem.

(d) O tundto ÍeüG, d qualqud se6o, sâ: 200 X 5 V2 : r.r00 lb pol,

(ô) Uma vd qtr€ o mondto eqniübret4 é @no etá rêpH iado, disté

Laéo ú4 Íihr{ supeÌior CDE e @úpl@ão !a Íü.â iDfdior 4ÈI'. Cneo a visa

é siméEica { máliEa téÍ!ão mtuaÌ ocore na fibÌÀ iútqÍa, na pÂIt€ orde o laio

iiê cfrú@ é m@r, @m À = 3 V2 pol; 'i

= 3Inl; '" -

4IbÌ; Â i6ão úáriúÀ

é de @roprs!ão. C.ntudo, o l*5ltâção da toúão máxins de traéo úão ó

oiikote â3 e€6 @ú À = 3 r/2 pol e n = 4 r/2!ol d6'€ú to Yqificrda!.

õ0 rLt![EN'rOS OBGÂNrcOA DE MÁqItrNÁS

(c) Dêter0iúâ6o d€ .:

o= 6fu:;fi" -',**' . - R -.n

= 1,5 - 3,485 = o'ol5lDl.

F

,o'(50cmr--J

EE

rb (lü kq)

tb ks)

t .1t)O lb.pol . {1.5,t10 kg cm)

s{ or.-r

lb flo ks)

Ftz.+Z

(d) Püs s soÉo coe R = 3 VzFol & te!áo m libÈa iítqDa é:

Mln r' r01' (0,48s) - ^"^, "

= #

=+;tffi =5 ero Psi coml*ã'

À i$ão !& fihra eíeEa é:

r.l0o (o'5r5) * - #

= +ffi = r'72oPei' tração'

(.) Paú a É6o coú n: a V2 PoI;

t- -

, À

, = , l-,t = 4,480 pol ou t = Â - tn = 4'5 - '1'480

= 0'020 !'l' - tltk rolri ro8' t/{

À t Ds-@ m íibta útmâ é:

2m lb (10 ke)

d. : à (- 3?2 - o) - ts6 tsl@!.

crP. 4 51

A rdo ú. fihra dtaa ê

Mh- Ì.100 í0-520ì ""- o*.

= -tto,*;É = 2.861' p€i @Erfè6ão.

(, O .doÌço úáÌimo de ira6o o@E n fibm qrea, dê nio ib cutuÀtur R = 3 V2pol

O 6forlo há-rpo de omprq6ãô {)lrlre Ís fibr@ iltes Da s€.ão de raio .lô dryatüÉ Ã = 3 V2rDt. A mtuima rtuão cisalha é é a metado dâ Eaio. ililerE{tr ate du& dc rÌ& &Eõe primipais. Una ve qE ns fibras qteil8 .p&ee 4P.nqq Íleúo! a Dánú! tcÉão cisalàúte éà (_ s.9i0 _ 0) = 2.9ó5 p6i.

P@ @úpa.aãq a úínúa aeEão d uúa Ìiga Ei! scia:

" =

i =

-;ffi = 3'3{0 psi (tÍação e @epÌeãô)'

P.L, tirb@ ÌA,íLn:

(4) ]l'' : r00 G5) : r- 500I(g.@. (ò) Dêyem s vairud6 3 seçõ€ 6n rai6 de 9 cm . U cD. (c) DetEnüúção de r:

2,5 2,í

q. ,.?s

.-À- ' . :9-8,95:0,05@.

(d) P&a a s€ção @m Ìaio R - 9@:

1.500 Í1.25 00sìú,-- l2i(0G)(?Ë=r72Ìeio'

1.5{10 0.25 + 0_05) "'=ffi=rorçl*''

(.) Párs . sqão de mio A = u @:

,"=. +E - -?q- ro,ss ".; -ú \7s

. : r1_rc,85:0,15@

l 500 ít-Ì0ìo, = rr,s ro.-, rii(qrut = m'r tel*'

l írc íL,t{}ìd'= 12; (oGõ25t = er'1r's/m''

C@cluão: ^

moi6 16!ã0 .ÌüE ú s€o itô raio n = 9 cD.

l*dlÀr4nto mírie:

62 ET,EMENIOS ORGÂNICOS DE 'TíQÜINAS

T€nsão máxiúâ na visa (paÌa compsaçÃo):

ô = -l!s- = 119ï841= 2o?ke/cm' (tqção e oúp*'qãol

2. Umâ baúa rfe 1 pof (2,5 cm) de diâmetro' dobÌa'Ia como

nfr. "t,

t,"" como uma mola Para trm raio minimo ri' de

100 tb 45 k9)

M=100(5)=50 100 tb (45 k9)

lb Dol. (5,8 ks cm)

r" (2.5 cm) dc diâm.

Fig. +3

3 poÌ (?,5 cm), determinâr a mâxiúâ Íe'nsão cisaÌhânt€ e düeÌ

(ô) O potrtó olde @Íé a útuinâ tdsão cisalhete Fodé sd deLêdinado

-.

ìín".* " -tto-*u..

Qualquer 'orDo üre qú iodoa B du@ tÚçs âpl;

;;il ;" ;*r" -p.".; -

interior 6teÁ sjcir'n úô m*o momed' fler'or'

rto "",

i"" * ai* t .ç* dão orie@ a ú cdjüeado pu'o A úáÌimâ rd-

.!o d6 n€nìo @oúdÁ !À fihâ i mâ d@ saeõe @m Éio dê c@úuE iÍtd-

I n -

s pa 1a" ,l a a e de C â D) Âs tê'sõ6 máriús não ocorEÉo G

Í|onCo. ontlc o rúo iltoitr é dé 't }ol.

100 tb (,r5

!(n tb (45 ksì

2,5cm

100 lb (45 ks)

crP. 4 YIGÁS CI'EVÀS õs

- Iì^ttz + ì-t4tt t11k + 31lr:t2(á) '!

- -j-i- = -----Ì- = 3.482 pol

(c) . = À-., = 3,5 - 3,482 = o,otapol

h-0, - 0,018 = 0,!t82.

. ̂ Mtu 500 {0.482)\4, ai = 7; - TìÌìF oõror ,r, = s . ouo p'.

G) O 6forço de Á ÀB é tÍação, ede CaD 6 c@plmão. (n

^ n.r'nr ienôão cisalhere é V2 G.680) = 2.940 p€i € ocôft m rodos

Gpdt4deáaBedêCaD.

k) U@ @ que s secão é sinêtrica, Íão bá úe*idade de velificar a teBão DáÌim! trc liha qteB6.

Pdo rírlaN úéIrico:

(d) À teúaão DáIi@n de fl€úo atuâ Da seção de laio 7,5 cú (ve. a stuíão êú üidad€ iúgléa).

1ty,"- l to ' / ' tzsv' l ' - [3 162-f 2?381t

-s,?ocm.41 (., .:8.í5 8,70 :0,05 cm

4 : r,25 - 0,05 - r,20 cn.

, "' = Zr,"*-g#ffiOfiO = r?7 k^m'. (.) Id@ a solução en unidade insl6as-

(/) V2 (3?4 = 188,5 Ìs/cm' nos 1rcchN áBeCa

(q) Ideú a sluçâo eú úidad6 iDsle4.

3. Um elo em Iorma de S é teito de uma baüâ de l pol de diâmetro. DeteÌmiDâÌ as máximas tensões de tração e cisalhante.

(.) À@npüarão eútre a S€!õeô À-Â e BBmFk 44mGhaqueot@

'!@to IIetôÍ em À-Â é m€mr do que eú B B, mas o raio de cwâtüa é úaoi @

À-^ do qm eú B-8. Se.Á, Fortaú), nÈNário veriticaÌ pata aebe 6 sê!õa

No F@to P da Seção À-À:

(ò) j|f = 600Ìb.pol

ç1 ," - L'Ê t "'t\' - Íelt'r' +, tztt'r'1" - r."," *,

. : n _ fn = 3,o - 2,979 - 0,021 po! 4 - 0,5

_ 0J|2t = 0,479 pl

- Mh P 600 (0.479) 201!Ìnoorúaçâo:7-,- r ; = ì ' r r r1 i , ,oar (r5r ++. i Í t=

: 6_960 + 260 = ?_ 220 p6i, t.s4ão.

54 ELEuENros oRcÂNrcos DE ìtÁQuÂf s

No lonto Q da S€ção B B:

(d) ilt : 800 ì! Pol.

Ít^tti + Ì,tt)t2 ft4,5tlr + (3,5Í/ït - "" r - 3.o84pol

e = 4,0 - 3'984 - O 016!0l; ii =05 - 0'016 = 0'484pol

Fis '/L4

lllh' P 800 í0 434) Gì ncÈo + 116(à0 = 1.r' l- ,{

- l;ll, (qotó) (jÉ)

= 8.800 + 260 : 9 060 Psi, tÌeção'

í, ci$âlhúenio ÌnáÌn.o = à (9 060) = 4 530 ps N pdto Q'

4. Uma barra é caÌregaila como mostra a Fig' 4_5' Despre-

zanalo o peso próprio da barra' quat o máximo valor da dimensão

X "" " '"ã*i-á ""ìo.ço

de tÉção permitido ê de 10 ' 000 psi I Onde

ocorrerâ o máximo esfo(o cisalhante P

200+ï: Í Í :

lí = 2oo(3) =600 lb Fol.

200lb

frg. 4-5

55

(a) Cono â bu.a é simétrica, a maior tê6ão apÀÌ@ ns fibÌas intems. O lDnto P da Scsão À-À erá o sujcilo aos maio.6 6IoaG.

(ò) O noúento na 5€ção Â-À tcrá o yalor M = 2.000 (-{) lb Fol.

lì,ttÌ | ì,r'f l(6,0ilì + (2,0)Vlt. "=

-=

4: = 3 '732po1.

a=R .^=4 3,732 - 0,26ANbl.

hi=2 0,26a - \732Núl

A 1í @)2 - r2,56vrr.2

(a) O márino 6Io40 de t ação pemiiido é dc 10-000 psi. Tfãção púve-

Dênrê dã Ílêrdo + lrâei,o pm\fri'r,rc da Íorça úid !L + P

ln ooo - 2 00o (x) n.732ì ! 2 000' 12,56 r0,2b8) (2) r:,56

de onde * obtém .tr : 19 pol,

5. DsrabeÌecer as ÌeÌações básicas necessárias a obter a dis- aribuição de tcnsões em umâ viga curva, deúda apenas à flexão, e derivaÍ a equação que dá essa distÌibuição (ver Fig. 4-6).

Solução: Fie' 4'6

(a) Coaidere* ú eleúmro direrenciâl da Ìisa, subte.dido por um

(ô) C-no Gülrado da lrexão ê de .4na setõ6 plotu ptnatuced planú, @a sação a.bitÌá.ia p - 4 @upuâ a ÍDsição p' - 4' depois de defo.mÀção e ctüá sujeiÍa a üm 6Í0.(0 de l.ação n6 lib.6 iní€.ns e de @mp6são nè lih.4 dtaÊ. À btação * dá @ tomo de uú ponro {ixo Do cüo neürm,

56 EÌ,EMENÌoS oRcâÌrrr@s DE uíqulNrs

(c) O aÌonsamenro ile uma fibra s uúa ilistância t dâ fibÌâ ÍÊutrâ é tdó' (d) O conprineíto oÌ,sinâr de úa Íibú eÌ@otú ê lìn- ìd0. (") Cono 6 rdú€ são tmporcn Íab à6 ddlmaçõ4,

AÌ - adóo=GE.ÏE ^ "- *3ú

E.on.rcdéstd6ãonecoÌ:L

ü) À sna dc tod@ e forçs eÌemãiúê dero sd z@i pe. qu haia 'qui_

f 'oo:o-I#:#:"*#, f#=, O) O nonento ila6 IoÍçN €ÌemeÍtas, @ ttúo de qüaÌqüq

po o, drye

s€! ieül ao momento spüca{ìo ì4.

Tomúdo o ÌDÍto Ì< Púa Mtrc dc m@@tc:

!,"0n:* * Ilu!**'f,^=, g'f i,,^-,.

*, o*"-u" *o*.,/;4; dÁ = ì4, e &!ôm.iro tú duc p{rc'r6:

"f fvo"-f ,*: '

(n Msd€(r , I*r-dt-oe I yde FD|€o.{ o úúdto.b J t^- t J

reÌlcão ao eüo neutrc da áreÀ conprdd@do d *íão. Ireo' Jt dL & so éditô (tro ,4r, ondê . ê s dÈtânciâ do eiú euüo e ei{ qüê ps.

pelo C.G.

(J] EorÌ io a equacào em (r) podesddi |Á+D I r , ,at :u=

dó^.. . dò^ M * J ' " Y

aãbt^4 @ d0-= A,.

(É) À €quâção ds teúEõ6 @ (.), Fôde s eitã:

r.Ì,, ^ Lt !

lf^- tdo ac rn t

qtr. dá ! vad.6o dú! rd.ã8.

cep. 4 YIGÁS CÚRYÂS

6. QuaÌ o máÌimo yâÌor dà Iorça F paÌa que a tensão do iÌa!ão desêayolúda na peça da Ft. 4-7 não ultÌÂpasse 20.000 psil

57

Fìe. L7

(d) À ú6rinq tãEão de tÍ&cão @ft@á !o poDto P da S€aão A-,{, êm cujq

se{ão a Ífeúo é ntuina, exÈte cwaÍuú e atua úa tê6ão de imqão.

(ò) À disrância do @Dtrc ile cDnatÉ ao C.G. é tiÌads da Tâ!. I.

| * '+|+"o,-oR = ì t+

: r+

tu+( l , r t )4

*"r (*) .i (*)'(i, *) .,(+)+(:-+) ( ): 1,332po1,

= r,267 pol.

(.) Tmbém, da Tah. I:

{4-4(ô+tÀ (4-0Ìos.I+-l i+,b&ja

(i-*) (à) . (*)", t t t \ . | | t /8 l . 2 (a - s|oc'- | rï 'e' t

(4 . = n-'r = r,fi2 - 1,267 = 0,065po1.

h - t" - ri - 7,267 1,0 = 0,26? IDì.

c) ,t.'=+(â +{(}) =o.,o,n"r'. (, M@@r, fletor (@ tomo alo C.G) = r(2 + r,$2) = 3,$2r.

çl ru,a"+""a" = {*4' +!

ï$2F @,261) + ì,r04ã-, e ,F' {óáximo) - 2761b.ã.000 - (0,203) (0,065) (r)

58 ELEìIENTOS ORGÂNTCOS DE ÌIíQUTN^S

(à) Ob6end qüe, nète c@, a teNão n4 fibrs extma pode 3eÌ maioÌ quc nú inteúü, mqs a teDsão tr6 fìb6 eíona é de mmpr6ão.

?. A peça repÌesentâda na Fig. 4-8 t€m I pol de e'specsuÌa poÌ B pol de largura e está subúetida â uüa caÌga corcetrtrada de 400 lb. DeteÌminar os vaìores máximos dos esÍoÌços de tmção, comDÌessão e cisâÌhamento.

Fie. S

(a) O mâìino nonento flëior poddá (nÌrd d:

1) Scção A-À. 2) Seção B-8. 3) s€rão C-C.

Na Seaão AÀ o momento ê máriúo m6 â yisa é rcía.

Na Scção B B o momento é me@r qoe eú ÀÀ Dë a rigf, t€m cnÌyatú-

Na Scção C-C, o momerto 6 mcnor qne em A-À e B-8, m6 a viqa ten meÌo. Èio de curvàtnra. Àléú disD, â Seção GC 6tá sujeita â @ 6foÌç! de rÌação que !ão Âpare.e ntoc out a dú4 se!õ€.

Os Gforç6 scrno compütadc ús tÌês s€çõ6 € ompqEd6. (Cdìo n yisa

é siúétricâ, basta deremiú 16 de Im d6 Ìadc do pÌeo @Ítral.)

(ò) S€ção À-A

' - ",' , !!i , - eo\ .: !,'l = 3 0o0 Ís (rr.ç{o em 4.I U,z1t2 8(rr,. 12 ãmpeeLo cm p;.

OÌ8.: CÈãlhâúento lransÌeÉâl n o nc lontc p e q-

G) secão B-B

- Mht 1200 X | Ír {0.:l . 0.01s}Ponto t: o, - Àt.

- s(o,ots-it..:j- - 2.215p6i(.omp6ào),

-htoDd€ rí =- - roc.5/4 448rpor' " = t-

- =â,8|0if ' -

P-t ., "":4L (200 x r4) (0,5 + 0,019)

8(0,019) (5) = r,9l0 Fei (lÌação).

cÁÌ. 4 59

(d) Secão Ca

Pmto,: No ponto t â a€Gão devtdâ à fldão é de coÚpÍ6são e at rsão nomal

é de tmÉo- En 'rs€qúência, 6 tcNõ€ sè subtÌ@ À 1êBão de flexdo no

Mh^ r2oo x 9.5) (0,5 + 0,024)= 1.300 p6i Ldmpressàoì,

oíder" - . . . . . ._. ' . = -- l -

- 3,4?6IDl, . = Â ."-x.4 3.416=ro4..d.i rqg. +/r = 0,024po1

PIA:2íJ0la = 2slst.

Tasão 6' tút4 = 1.300- ã = r.2?spsi (comp6sãol.

, (200 x 9,;) (0,5 - 0,024) 3(0,024) (3)

= Ì.5?0 p6i (t.ação)

P/r-20018-25psi .

Tensão roftl = 1.5?0 + 25 = l.595psi (üÌação).

(.) O 6Í0rç0 aáximo @oÌre na lsÌte reta, Seção À-À, o é de 3 000 p8i (tftção

úo Fanto q e. comú6ão ú ponÌo P).

À máiima teÉão cisãihútê @ore eú p e q e é de ã (3 000) = r.500 psi.

PROBLEtrI4S PROPOSTOS

a. PaÉ o clemento dc máqüins EpGdlado ú lig.4-9 e o cãÍÌega@nto

indicado, detemúd 6 máÌim6 tmsõ€ úlúal e dstlhúte e dizd ondc @orc4.

Fig. 49

ÌÌ.s".: 2.ó?0 !ei: 1,3:t5p€i; üb4 no ponto Á'

9. Uúâ ÌebitadciE hidÌáülica poúátiI é capu de d4er E 6fo.ço náaimo

de r5.0oo lb (6.?50 ke). O sÍmpo @ fofla ile U de aço {údido pcsDi í@são

de nptu.a po. tÌqção de 70.000 psi (5.000 Ls/@') c tx@aúedo rúbóm por

rrâÉo de 35.000 F€i (2.500 ks/@t). CoÉiddudo a Seção À'À da Fis. +r0,

60 EIJìIENTOS ORGiNICOS DE MíOÚINÁS

!-is. 410

Àdr-: 159.000 Ìb pol G79.000 ks cm).

{ò) DistâÍcid do eiÌo do C.G. ao eiÌo neutm- A4p:0,334pll (0'83ícm)'

{c) Tènsão de lÍação PúÌeni@tê de cúsaÈ tuisjs, 4dsp.: t0.600lb(4 7?0kg)'

(d) ltáxima tmsão d€ rrâção e À"tp.: l? a6O Fi no Í.ír'o P (1 29O

onde oone Ìc/cng)'

(d) MáÌima temão ile cisalÌìúa- À€sp j 8'930I6i nosúto P (6a5 Ls/@1'

to c onde oco@

10. Um ãúel é feito dê um^ bÀra de 3 p.Ì de diâmetm; su diâmetb iítcÌío

é it€ 4 pol. Pda o carcgamento repèstado na Ììg 4rr cdcÌld o máriúo

slorço .isalhantè na bafta e düe. ondê eo@

fie' +11

Àap.: 4.210 psi !o pônro.l.

u. Derdúinú o vâÌor ds náÌima íeNão de tnção qüe e dlx@wÌÉ no ôlemenlo (p.*ntado n Fig. ,!lr. Düer @ quô FoÌlo (Ì@e-

f.rp.: 1.360 Fei Ío pnto P.

Fis. ar2

crP. 4 vrcns cuBY-Ás 6t

I2. CiNid@* ú e3rcho dê euitrd6te leito de úâ b8m de 2 pol do diâmêrD c cdeaado c@o m6tm a Fis. +13. Dete@iqú o mtuiúo ëtdqo de tÌa!ão e dia @dè .rrc.

500Ib

Fig. +lt

Â"rp.: 5.6a) Dêi no !@to r.

13. Um elem@to dê Dáqúi@ é feiio dê uEÀ búa itê 2 pol d. diâ@ttu G €tá @.€ado @Íílme mo6tn { Fia 4-14.

rig. +r4

(a) Oìde o.o@ o útuimo €ÍdE!

G) Qúl o tuudto fldôrúa.êção

(c) Qu.Ì a cúaê ndbaì ãPlicada

ì eéo @i5 $ticitÂdâl

(d) Qu.I ! ntuiEa taúão dô

À?sr-: P@to P !a Se!ão À_A-

Rér!.: 2t0lb !ol.

tusp; 20 lb

na?.r 2- 430 p6i-

62 EI,ËI,ÍENTOS ORGÂìiICOS DE íqÚrNÀS

14. A 6trotuÉ repr€otada nq Fig. 4 Ì5 6tá caÍÍ.gadâ om I t amcri@na.

Det€minú: (a) o ponto onde ocorre a máÌima tmsão de ómpr6são: (ó) o

ponto on<lc ocorre a mâximâ tdsão cisâlhht4; (d) o momento llctoÍ n.

Sejo À-Â; (d) comprsão PrcYmietrte da cdsa sialj (€) náÌima teGão

de compBão; (, máÌima td!ão catÌ,úte

Fis. 415

Rdp.: (o) ponto P na S€ção À-À; (ó) plúÍo P na S€ção À-À; (.) ?r'o{xl

Ìb pol; (d) 2 000 Ib; (t) 4-800 IEi; {t 2 400 psi'

15. A Íisa rep.6entada ía Fis. 4-16 é suPortada pêlos mbdis C ê D e

ó coísüiuidú pot umâ búâ de 2 pol de diâmeÍD. (a) Quais s FÁçõ€ en C

ê D I (ü) Cono vaia o nomento flêtor €m seçtu perp@dicuÌd6 ao eúo d üsa'

ontE 4 e B I (.) Detúinü qual a seção ou quais 6 s€!õ6 sujeiÍA . maioB

6forços. (d) Qual a r€nsão máÍi@ dmvolYida I

I't. 4-16

Resp.: (d) R€ação em C - l-0001b; em D = 1.0fit Ìb; (ò) O úono'o

fletoÌ ê o m6úo de Á a B e kual a r0 000 Ib lbl; (.) de Á a E e de

r a B; (d) 15.700 Psi (íÌação).

16. No dispNitis Epsdtado !a Fis. 4_t7 td* a ío&a Il/ = 1.000 lb.

(a) 56 â náxina tasão cieâllÌmte d*e 6@ de ?-í10 !6i e a máxima dc r'açío

d0 15,000 p€i, 6tá o ilhposiliyo cor.êtdúte di@ionado quanto à EÈtência I

(Ú) So o dimeísionÀúenlo não 6tiv6 coreü), quais G modirtcaçõB íi:lBátic

pn! Ínolhorálo I 9lg6tãoi fee! a aáli* d6 forga d€Ípis de aÍFr[do o pda_

't.000 tb

.,'Ì

ô3

Fia. GÌ?

Itap-: @) O projero úo 6íá ôaüiúató.io um vez sue ! márima td8ão

dê rÌâção d{*@yolüdÀ é de 45-300 I^i e a mâÍimâ peÍm ida é de

15.000 psi (ou a náxims teÍsão cisalbútê d6envoÌv;da é d€ 22 700

!6ieanáúna pêrmitida é de ?.500 psi).

(ü) Ì) Deye€e üqaÍ uúe viea de pe.fil I ou T. 2) ÀunìentaÍ o

raio de c@atúa. 3) Àumetrte o diâmeio do graúÍb'

1?. Um secho de guiÍd61e lem uma s€gão tr@Y6aÌ qoe' pora quetõ6

ile úátirc, sá ccii!.tada tÌapezcidâ1. Os máIimo6 6fo'ro6 ÍoÌma! € oiôÂ_

lhúre@rrcm no pnto P,6mo úctÌa alis. 4-18. Deterniúü: {a) c dktâDcia

 do @rb ile coryatuÌa ão €ixo que p$a pêlo C.G.i (ó) o tìomêtrto flcror m

S€!ão À-A: (.) s disieeia ilo c€úo dè cuÌYatur ao €iÌo Íeúrc; (d) a á'4;

(e) a náxn!â tdão de tr{ção (tu poúto P); 0) úáíoa t@são no ponto q'

iWìIl5€!ão A-A

Fia. 4-18

Edp.: (a) 4,33 pot (ò) 86 600 ìb'Fol; (.) 4.0 pol; r?.500 p6i; U) 9.130 P6i (dnP.*ão)'

(d) 10 r/8 pol:i (.)

64 ÌLE!trENrqg oRcâNIoos DÉ ü-íQuDrrs

r8. C@siddddo o dÈpósiLivo E!@aatdo ú Iïg. 4rq deaãmiolt n

nátimÀ t@ão cisaìhdte ê di@ o[de ocom

Iis. +Ì9

Âel!.: 1.9?0 p6i, !c poútd Á é 8.

Flexão e Flambagem Móquinas

em Elementosde

Capítulo 5

Rigfdez. O projeto de um €leúentô de úáquina deYe, em

alguns c.ÉÌsos, ser leito leya]trdo-se em conta a rü;det. O elenento pode s€Ì bastade ÍoÌte paÌâ evitar a ÌuptuÌa mas pode trão seÌ

s{tiÊÍaÍorìaüeate rigido paÌa desempenhar as Íunções que lhe são

atrüúdaa. Oe tópicor a seguir anaÌisarão a Ìigidez ÌeÌativâmente às deformações axiais, lorsionais, por fÌ€xão e por eleito do cisa'

lhamento e flsmbâgem.

Deformação ô deÌida o uma caÌga aÌiâl F é baseâda ú&

lci de Eooke.

/Â\ Fs:t+t(8") : - . \L

' ' A

Daí YeE que

onde:

ô - deformsção axiÂI, pol;

, : comprimento iniciaì do elemetrto, pol;

á : s€ção Ìeta, pol';

E : m,ódulo de elasticftlaile, psi.

DêfoÌmagão aaeglar d' devìala a um esfoÌço de torção, eú üm elemento de s€ção rets circuÌar, é dada por:

^- 5A4 TLv': -EDí

"FL"_ AE

66 EI,EIIENTOS IJÌIEÁ\ICOS DE ÌT.{QUÌNNS

PaÌâ uú elemento cuja seção Ìeta seja uma coma circuìãÌ. I deformação angular seÌá:

5A4 TL G (D,1 - Dt) '

0. T D D. Di

L

G:

defoÌmâção ansuÌar, graÌìs;

momento d€ toÌção, lb pol;

diâmetÌo do elemento maciço, pol;

diâmetro ext€rno do elemento ÍuÌado, pol;

diâmê|rc intrrDo do elcmeDlo Íumdo, pol;

compúmenfo arial do elemento entre o momento de toÌção aplicado e o rcsistente, pol;

móduÌo de rigidez, psi.

Para Ìrìr1 elemento sôlido de seção reta retatrguÌar a d€Íormação aneular é:

^ 51.3 TL " ahcxc

ó : maior lado do retângulo, pol;

tado do retângulo, pol;

d : um fator dependendo da rcÌação ó/c como se segue:

ò/c : 1,000 1,500 l,?50 2,000 2,500 3,000 4,000 6,000 8,000 10,000

-; a = 0,14Ì 0,196 0,214 0,229 A,249 0,263 0,281 0,299 0,307

0,313 0,333;

O : móduÌo de rigidez, psi;

t : compÌimento do elemento, pol

A defl€rão lâteÌâl devida à ftexão só pode seÌ aleteminada ÌesoÌvendo-se a equaçeo diÍerencial da elástica do eixo neutm

d'r_M EI

oade:

M = momento fÌetor, lb.pol;

Ì - momenlo de inércia, pol';

E - módulo de eÌasücidade, psi;

CÂP. 5 fi,trxÃo E FLrìrB-{cEÌÍ En rr,EÌrENTos DE MÁeuÌNÀS 67

y = deÍoÌmação, pol;

r : distância da extremidade do elemeDto à seção oDde a defoÌnação seú deteuinada, poÌ.

Umâ solÌrção anaÌítica para esÍa equação, por dupla integrâção, é müito tÌâbaÌÀosâ para yigaÊ com (ãÌÌegamertos múÌtiplos ou com seção retâ vaÌúvel. Há processos tìe resolução mais fáceis como: (1) método do mometrto estâtico; (2) método da ì.isa conjusada; (3) uBo de lunçíes em degrau; (4) uso do teoreúa de Casrisliano; (5) intesrâção srâÍica.

O método do momenio Btático das áreâs para d€terminar a deÍoÌmação de uma viga dcvida a mornento fletor é bas€adô em que a distáncia, medida na perpendicuÌar ao eixo da viga, de quaÌquer ponto Á da elástica à tangente a qualquer outrc ponto B da elástica é igual ao monento eÍa relação à ordenada do ponto .4 da área do dtâgtúÂ MIEI, entÌe os pontos /4 e B (ver Fig. 5-Ì).

A - A\4+ A, i , +

á' : área I do dt gÌama MIEIi tr : distância na oÌdenada, de / ao centÌo dc gmvidade

de Á': At : ârea II do dra$aÍ\^ MIEII ãr : distância na ordenada, de ,4 ao centro de gÌavidâde

dè.4, .

Fig. 5-l

IÌustüÌemos o pÌocesso exposto âplicatrdo-o a uma viga sim- plesmente âpoiadâ, de comp mento t, sujeita a uma caÌga con- centradâ P, shuada a uma distância a do apoio à esquerda e a uma distânciâ ò do apoio à direita. Para determinaÌ a flecha y Êob a caÍga P (Fis. 5-1) deve-se proceder como se segue:

l. Ésboçar a eÌástica.

2. Esboçar a tângeÍie à eÌástica tro ponto B, no apoio à es- querda.

s. EúoçaÌ o üagrarlra MIEI.

4. DetelminaÌ A' somando os momentos das áreas das seções I e ÌI em reÌação ao suporte à direi[â.

^,: (#) (+) . (#) (,. +) : Pba,Pbla ' ,Pbu"

- 3r,

'r 2LEI r 6LEt

5. Delerminâr 4,, quc é iguaÌ ao momen[o da área da seção II em reÌação â um eixo verticaÌ pa$ando por C.

^":(+#)(+):# 6. DeterminaÍ A3 por pÌopoÍção:

^ d A' Phxa" Pb?ax Ptulu'- t - :st"Et I zt 'a | * .et '

7. Finalmente:

Pb'aa PIr'a' Pbal y-Aì. A:-

IL.EI |

2L'81- |

6LW

Obs€Íyâr que na Fig. 5-l as áreas I e II Bão positiyas. Se qualquer paxte do diagmma MIEI Íor negaiiva, seu momento devê dêr tomado com o sinal menos.

O môtodo da viga conjugads paÌa determinação da defor- mação Ìat€raÌ devidâ à Ilexão é baseado na sernelhança matemática dos diagramas de caÌrcgamento, cisaÌhamento e nexão em Ìelação aos diagramâs de câúegamento M/81, curva[ura e dellexão:

dl t rMMdaty . t \U =u- tb tu. , t iJ t : Et

- a, - *" .

cáp. 5 I'LExão E I.LíMBáGEú EM ET,EMEìfros DE MíeurNÂs 69

Em yiÊta da seEelhaüça alas equações acimâ, as bâses paÌa a determinação da deformação são as ôeguintes:

r. O esÍoÌço cisalhante na viga conjugada é equiyaÌente à iftlinação nâ Yiga real.

2. O momeÌÌto ÍletoÌ na Ìiga coqiugada é equivaÌente à de- Ílexão na Yiga Ìeal.

É necessário, contudo, de princípio, escolher a viga corfugada de t€Ì modo que as condições-ümites sejam satisÍeitâs. Nos pontos em que a inclinação na üea original não é zero, deve existir um esfôrço cisalhante na viga conjugada. Se o caüegaúento Íor tal que não exìstâ cisalhâmento, uma força cisaÌhante deye seÌ iDseÌidâ no carlegamento da ügâ coDjugada. Fato aÌráÌogo ocoüe com a deÍoÌmação; se eÌa não Íor nuÌa, deye existir um úomento. Se o caÌÌ€gamento for taÌ que úo eÌista momenio, um úomento deve ser inserido úo câÌregamento da viga conjugada.

À Íim de demonstraÌ o exposto, consideÌe-se uma yiga e4 balanço, com seção Ìeta constante e sujeitâ à ação de uma carga concent ada na extremidade, como mostra a Fig. 5-2. O procedi- meúto tr)aÌa ôe deteÌmúaÌ a deÌlexão na extuemidade da viga, serâ o eeguinte:

1. Esboçar o diagrama de momentos.

2. Carregar a üga conjügada de tal modo que a carga em cad{i seção õejÀ iguaÌ à ordemdâ do dtagram MIEI.

3. À lim de satisfazer às condições enunciadas deye haveÌ

) ' i , "

FiE, í2

t

68

6LEI

Er,EÌÍENTos oRcÂÃ.-rcos DE ìúíeúnrÁ-s

!! t frí

um rralor da inclinação ou dsalhfinento na seção da ì.iga conjugada sob a câÌga P, Ìepreseütacla pela reação R.

?0 EI,EMENTOS ORGÁÌ.rrcOS DE IÍÁQUI-\ÁS

A Íim de que exista uma delormação ou momento no engastâ- monío deve hayer um momento M âplicado à extrêmidade direita do viga.

4. A caÌga triangülar distribuída na viga conjueada pode ertão

.oÍ considerada como equiyâlente à ár€a deste t âneulo, Pl,ï28I, concenlÌada no seu ceniro de gravidade.

5. Somando-se as caÌgas yerticais etrcontra-se a reação na ex- tremidade dircita Ãã Íiga, qrre é PL'|2EI.

6. Tomando-se os momentos em Ìelação à extrenirlade direira da Yiga, re8ulta:

hr ' /ô, \ PL" - ; ; , \ ' ; ) ì "M -oou " : iE|

que é a deflexão nâ extÌemidade direita da viga.

A aplimção de funções €m d€gÌaus paÌa se obteÌ a defor- mação de uma viga, devida a momento ncüor, eÌig€ apenas a de- teminâção de duâs constântes de iniegÌação, nesmo para uma viga sujeita a quâlqueÌ tipo de caregâmento e de seção Ìetâ,

viÌlÁv0|. Se se aplica o método da dupÌa htegração, que comist€ Èrlr li{ìíovcr q equação d€ M/EI paÌa cada seção da viga, é preciso

etlr,rlür duqs consiantes de intêgÌação paÌa cada s€ção.

*

cÁp. 5 r.LExÃo E r,LrÌrBÀcÈM ErÍ ELEüENToS DE rtíevrNÁs 71

Usando-se as funções em degraus pode ser escrita uma expressão simples para ,,l4/d1que é válida para quaÌquer seção dâ yiga e que, depois de uma dupÌa integração, resulta em uma exprëssão simples paÌa a deílexão, iguaÌrnente válida para qualquer seção da yigâ.

A ÍÌotâção adotada nâs íunções em degraus é a seguìnte:

11" ê a Iunção em degrau onde: H" = 0 se x < a 11' :1 se c2c'

IÌà é a função em degrau onde: 1Ia: O ""

, a , I Iu:1 se ràó.

O produlo das duas lunções cm degmus será ertão, paÌa ó > a:

I I " H6:0 se r<b H.. Ha: I sc x2b.

Uma reprcsentação das íulções em degraus apreseníâdas, apa- rece na Fig. 5-3.

O pÌocedimento matemático para a integrâção de uma lunção eú desrauÊ multipìicada poÌ uma função l(r) é

i

Jï ".,, * _ u" t"" ," a, :1,"{].+ c : n# * " onde C : constante de integração.

Exemplo 2: Quando ò > a:

_ , ' . f .a- o)" f ' , . _ -

t , - ü_ J!__!L t c-^,L , ) ,+ç_nh- 2 .

Erebplo 3: Se a úga tiver seção reta vaÌiáv€I o caminho indicado a seguir é o aconseÌhável. A Fig. 5-4 mostra uma viea teÌdo t.às se6es de difeÌentes momentos de inércia. Ì'1 e tr', são as caÌgaE apücadâs e há apoios em À, e Ãn. À equação de mo- mentos vâida paÌa qualquer s€ção seÌá:

M : - Fp + RL(. - a) H". t Rnl. : . - b) Hu

f '"1ç10,:u"l""tata,. Exemplo l! S.rjâ J(x) : c,.

a= fl

I H"t t .e- a) tu- tu I ç-a)tu: JO JÉ

ETEMEÌfI9S ORCÁNICOS DE MnqUìrrS

IUas r/1,, o inverso do mornento de inércia de poderá ser escrito:

caila seçãoj

r r r . - . H" H6 H61- -=, l r - I ío+- t . 1 L m m n -J

Fig. 5_!t

Daí vem:

tE âï - t- F,.Ì | Â. (.. - a) H" I Rau _ b) Hal

l , no.( t r )+rr , í - ' * ' ì l : L - \m / " \ n nlJ

: 'F, Ì lÂ, ( t o\H" I RaG- b)Ho-r, ,a.(r- ' ; *

í t \ / ' \ + a"r . , - òH,H,\- . t )+nÈk-b)HbH,l--1)

/ t ' \

/ | r \* FúH,( ; + ' - ) + R"t , - a) H"Hb\- - + ' )

f , r \

+RRG-b\EbHbl- l+-r l ' \ m nt

À dupla integração pode ser completâda como expücâdo âcima, obseryando que I1"I1" : II" e H"& = Ha-

 defonnação devida ao cisaÌhamento pode seÌ impoúâlte, por exemplo, eúi elementos de máquút-'s em que a relação conpú- mento- espessuÌa é pequena ou para elementos oco€ de gmnde diâ- tnetro. Em tais câsos a deflexão d€üda ao cisalhamento deveú óer somada à defonnação dedda ao momento fletoÌ. Istó pode aoa de gratrde importância quaado se câlcula a deÍorúação para a dôtorminação de yelocidades cúticas de elemenros sujeitos a moú- monto de rotação. UEa expÌessão para a flecha yr devida ao oitalhamento pode ser detelÍnitrada conêideralìdo-se um elemetrto

c,{p. 5 rÍ,Exio È FL MB.{GEM ltf, EE}ÍENros DE MíquÃüs ?3

diÍ€Ìencial tomedo no eixo que passa pelo cetrtÌo de graúdade do elemetrto, como mostra a Fig. 5-5.

dr' r. (oo eüo úeutro) ^

VQ^t , ^E =

G _1_ u' _lrz -r_ ut

(VeÌ Cspítüìo 2)

Fig. í5

otrde G 6 uma constâüte que leva em conta o ângulo de rotaqão das sêções Ìetâs em Èlação à linla de deíoÌmação nula. (Torlas ae s€6es retss giÌam de um nesmo ângulo.) Integrando, yem:

KV.c OA Yt: AC +uÊ+u: onde:

í - lF

Ì< : 4/5 paÌâ seção Ìeta ctucuÌaÌ

K : 312 pan seção rcta retângulaÌ.

(Para a Fig. 5-5, Cr:0. Yer Fig. 5-19 paÌâ esclaÌecimento de C'.)

o tcorema de Caôtigliano pode ser asado paÌa deteÌúhar a delomação tarto de eleúentos simples como de estruluÌas com- plexas. Este teoÌeúa é bas€ado em relações eútle defoÌmacões e trabaÌho. Por exemplo, o trabaÌho de deloÌúação U paÌa um

T \

74 EI,EìtrENToS oBcâNrcos DE MíenrNÀs

€leúento de coúprimento Z sujeito apenas à tração, seÌá:

F'L

derivando parciaünente, a equação, em relação a F determina-eê â delormação ô do elemento na direção da força apücado F-

ôU FL ôF AF

Toúando a derivada parciaì do trâbaÌho de defomâção ü de um elemento sujeito à toÌção, pode seÌ deÍeÌmhado o âüeì o de qEe giÌou uma seção reta de uú eleúento ciÌculaÌ, quando sqieito à ação de um momento de torção ?.

- , T'L ôU TLU - -"íí e fr: *7:d (radianos).

Àdmite-se aqui que o material dos elementos condderados ae- gue a lei de Hooke.

O tÌabaÌÀo de deformação para uma viga reta sujeitâ a üú úo- mento fletor M é:

,: f M'dr'JzEI

O trúalho de deÍormação para Uma vla curva sujeitâ a um momento lletor M é

' u: f M:4ó- J 24eE

O trúalho de deÍomação para uma üga reta sì{ieita â um €slorço chalhânÍe I/ é

O fabaìho de delormação para uma viga curva suj€itâ a um orlorgo cisaÌhante Y é

Kt4Rdó 2AG

2AE

KV'dX.úT

KV'ds,= T

De acodo com a Fig. 5-6 pode-se escrever que o trabalho elementâÌ âmãzerado em uma seção muito pequena deyido a uú mometrto ÍletoÌ M, a uma força normal P e a um esforço cisa- lhante I/, seÌá:

c^p. 5 fl,Exio E I'r,ÂüBncDú EÌr EÍ,DúENros DE ÁeúrNÂa 75

M'dó . lP 'Rdó 2AeE \ 2AE

MP dô\ KVR dó AE )- 2AG '

onde:

Ìt4] dó zA"E

:

P'R dÓ 2AE

:

MP dó - AE-:

KV'R dó

trúaÌho de deÍoÌmação deyido ünicamente âo mo- llrento IletoÌ Ì4;

irabalho de deformação devido unicamente à Íor- çâ P;

trabalho de deloÌmação resuÌtante do fato de que a força P tende a güar as laces do elemento confta os momentos Ìeútetrtes M.

Nâ Fig. 5-6 este telmo ó negativo uma vez qìre a loÌça P tende a aumentâr o ânguÌo entre as düas Iac€s, enqüanto os momentos M tendem a diminuí-lo. Se o sentido de P fosse o oposto do indicâdo, então tânto P quantô os úomertoÊ M tetrderiâm a dimi- nuir o ângulo entre as faces.

trabalho de delormação devido ao esforço cisaÌhan-G lE V.

Fie. í6 Fis. í7

Á aplicação das equaçõe! acima rcsolyerá os prcbÌemas de de- ílerão baseando-se ro ieorema de Castigliano que estâbelece que a derivada parcìaÌ do rrúaÌho de deformação em relação a qüalqueÌ

.

ÌTLEXTENTOS ORGÁ-\rCOS DE rríqUrN-ÂS

Iorça (ou conjugado) representa a deÍlexão (ou ânguÌo de deformação), coüespondcnte. Em outÌas paÌavms, se o ÍÌabaÌho totâl de defor- úação de um sistemâ lor escúto como Ítração dc uma ou mais Íorças, então a defleìão na direção de {Ìualquer força escolÌìida poderá scr deteminada por meio da derivada paÌcisì do trâbaÌho totâl de defoÌmação em ÌeÌação à Iorçâ selecionada. Tanbém, se o tmbaÌho totâÌ de defomação é Iunção de um conjugado e de uma ou mais fôrças, eütão a dcrivada parcial do i,mbaÌtìo total de deformâção em reÌação ao conjusado dará o ânsuÌo dc rotâção da seção na quâÌ ele atua. O teorema de Castiglia& pode tambérn ser usado para detcrminar a defÌexão em quaÌquer ponto, mesmo que não hajam cargas neÌe âplicadas na direção da deflexão desejada; empr€ga-se o artifício de âcrescentar uma câÌga Q no ponto escoÌhido e na direção n qual se des€ja determinar a delleÌão. Assim, a deú- vâda parcial ô U/AQ darâ a defÌexão quando Q íor Ieita isual a zero.

 integ.ação gráficâ é outro método de se obrer a curva de deflexão de uma árvore sujeita a caü€gamentos que produzam flexão. O nétodo ó iÌustrado pelo seeuinte exempÌo, que enì.olve as etapas abaixo (ver Fis. 5-7).

r. Dividir a área em seções com ordenadas y1, y, erc. Ìros pontos médios dos segmentos 11, ,!, etc. pâra ÌocalizaÍ os pontos l, 2 etc. (rÌ não ó nccessariamerte igual a Í, mas para simpÌificar o desenho, normaÌmente se faz ïÌ : r, : .. .).

2. ProjetaÍ os pontos 1, 2 etc. sobÌe qualqueÌ Ìetâ ye.tical ,48, obtendo-se os pontos Ì', 2' etc. De qualquer ponto O' do eixo hoÌizontaÌ (determina-sc asúm a distâacia ÌI) tÌaçar os mios O' - 1', O' - 2' etc.

. 3. TraçaÌ umâ liDha O" - 1" parâlela a O' - 1, e outÍa 1"- 2'l paÌaÌelâ a O' 2'. L ünha rn- l" é proporcionaÌ à tuea I e a linha p - 2" é proporcional à área II, sendo a Ìinha rÌ - 2" pÌoporcional à soma das áreas I e II.

4. A con{irmação do eìTosto acima é obtida dâs prcpriedadeg de triângulos semelÌÌanlcs. Considerem-sc os triânsulos O/-Á-1'

cAP. 5 I'LETIO T fLAtrlB.lCEìT ETt ELEtrÍENTOS D! ìÍÁQUN,|S

5. Àúalogaúente' tem-se:

' -2" : ]+ oü â á.ea o,J, = Hç, - 2")' Àssim, a

linha n- 2" é a soma

das duas âÌeas Ìepresenrâdas'

6. O pÌocedimento acima seÌá itusiÌado pâÌa doft casos:

(o) Visa âpoiada nos eì-tremos lFie S-8(a)l - iliâmeiros co-

nhecidos.

(à) Yiga coÈ uÉa paÌte em balaúço IFig S-8(ó)i - diâmetlos

desconhecidos'

1801b 90 tì t I

_-J

'1 I ' n- l " y, m-l '

O-e-O-^*u-, , ^ Y:!+

It DlllÌânr.

'7

Por co seguinte, a ârea xgt: HQn - 1"). Àssim, a distâncìa ver- ticÂl m - l" ê proporcionaÌ à área I que ó aproxinadam€nte igual a rúr. Se o vaÌor rr Íor pequeno, a aproximação seÍá muito grande, Fis.

78 Èr,ErENTos oRcriÌ{rcos DE NíqúNÁs

Exempro (a): Determinar a delormação sob cada carga. UsaÌ duplÊ inÍegrâção gÍáfica.

ResÌrltado !

Pam Ì80Ib: y : 0,215(0,u9 2) : 0,005.3 pol. Para 90lb: y : 0,435(0,019 2) = 0,008.4poÌ.

Dxempro (ò): Determinâr o diârneiro D pa.a ümitâr â defoÌ- mâção sob a cârga de 90 Ìb a 0,001". Usâr dupÌa integmção gÌâfica. O momento de iIércia das seções de diâmetro D ê 1.

90lb

l Í _ 8r l (. = e"l

Dl.!r.m.

rL tncline!ão

DirlrüÉ

5*211: 1" = lffoor.r= q

Fis. 5-qü)

c-rÌ. 5 r|-Ex:io x FrrnlrB.rcErÍ EìÍ ÌL;EìID5\TOS DE ÌúqUNÂS ?9

Resultado:

DeÍormação nacãrsa dc q0 Lb: r - ro.rsr(S)'

PâÌa y:0,00Ìpol vem: I :0,032po1a e r :0,90poÌ

Á flúbagem ocorle fÌeqüentemente em elementos de má- quinas sujeitos a carregâÍÌento axiâÌ. Se o esforço axiaÌ é de tração, ê aplicávcl a equação d : P/á. Se este €sÍorço IoÌ de compressão, há ftcesÊidade do üso de equações prcpdas.

À equação de Euler para o caÌÍegâmento critico de colunas €sbeltas de seção traìsye$al ÌmiIoÌme é:

onde:

- &r'EA

"" : (wY'

canegamento máximo que não produzirá Ílambagenì;

c,onstante que depende do tipo de ügação das extre- midades (ver Fis. 5-9);

módüÌo de €lasticidade psi;

ârea da seção transveftql, pol';

compÌimento da coluna, poÌ;

raio <le giração nínimo igual a lIlA, pol oúe I ê o momento de in&cia roínimo eü reÌâção ao eiÌo da

C:

PaÌa ìrmâ seção circuÌar È = D/4.

Pam üma scção rcransular É -nf- ,"^* nA a

menor dimenúo rlo retánguÌo.

À caÌga cÌíti€a para colunas de compimento médio e seção Ìêta uniÍoÌme é dada por várias IórnuÌas emplricas, uma das quaie

é a rle J. B. Johmon:

r.,: , ,alt " l \Lt!) '1,- - L 4ur 'E ) oÍde ry : tensâo de escoamento, psi,

Os dehais símbolos jâ ÌoÌal, deÍiddoe na lórmula de Euler.

80 EI,EMEìÌÍOS OÈCÂNTCOS DE üíQOôÍÁS

O valor tle C depende das condições dos apoios, (Fig. í9). Dnbora sejam dados valorrs teóricos de d maioÉs qÌre l, Ìeco- menda-s€ gÉnde cuidado em avaÌiaÌ o lipo de íixação das extre- midadee. Quando as condições são itrceÌtas, C não deyc erceder o valor 2 mesmo que ambas âs extrcmidades pareçam füas. Em geml C = 1 como vaÌor mfuimo, será satidatório e nos casoa em que uma das extreEidades lenha gEnde flexibiüdade o va.lor a âdotar é: C: 1/4.

Cr('EA (Llky

Fis. í9

O caÌI€gâmerto máÌiúo dêntro da seguÉ4à é obtido divi- diqdo-sê a câÌga crítica por um fator de segurânça lV.

F- C'r'EA reÉ eouâcao oe r-lrlef:,í

N N(Llk) ' .

, Pela equação de J. B. Johnsonr

^ F* o,4 l, ú,(Llkfl- ^r'

N L- 4Cr'E J'

O volor de Z/Ã, que detemina se derre ser usada a equação de EuleÍ ou a de J.B. Johnson, é obtido igualando-se estâs À€s equações:

:"ol'-+H#l +: I-rc"'E-1- Os vaÌores de L/È, acima dos quais deyemos üsar a e$Éção de

Auhr, aão:

c E (uk)

t '

,o ,a tnooi 80.000 p6i ?0.000 60.000 50.o00 40.000

1.849 2. r13 2.465 2.938 5 697

43 46 50 54 ól

I 40.000 psi ?0 000 6{t.000 50.000 r!0.000

?.394 8.45r 9.860

11.a32 14.739

86

99 109 l2l

2 3{ X 106 psi 80 000 psi ?0 000 í) 000 50.000 !().000

t4.749 Ì6.902 19.?19 23.663 29.í79

l2r Ì30 l,to lSrt 172

81

FF I - l F I

' . ' Al . ""(wy l - ,q ' " ' "*" ' ' , ; ;aínt ' ' L'- 4c""8 J ' - 4c ' , , " í

crp. 5 rl,Ex;ro Í FLÁtrúBÂcEr,Í EM ELEMENmS DE MÀQúrNÁs

São válirlas, poúanio, as seguÌlttes reÌações:

ï '!

Se L/È é menor <lo que o "e/,ot

dado po, lz1zr"Elo, , deve ser usada

a equação de Johnson que é váüda até L/É : 0.

Às tensões equiyaletrtes de flanìbagem são usailas quândo â

Ílambagem deva 6eÌ combinaila coú outÌos eÍeitos cono fÌexão e

toÌção. À ten!ão equivalente é uma tensão lictícia relacionada

à tensão de escoamento, ilo mesmo Írodo qüe a câtga âiuaate é

relacionada à carga cútica. Ou seja:

F f a"UH'1 F ,v lL lkY ", .= rL c",E ) :

- d.on( le " : - 'c""8 .

Observe-Âe que a tensão equivalente depende da teNão de e8co'

âmeúto, embora o câÌÌegâmerto cÌítico seja independente dessa ten-

aão. PaÌa colunas de nesma6 dimensões a mudança de mateÌial não

acarÌeta modificações no câ$egamento cÌítico, mesmo que a teneão

equiyatente solÌa aÌteração no seu valor' À relação entrê o caÌ-

I€gâmento real e o cdticó é a mesma que a existente entue â temão

equivalente e a de €scoamento. À tensão equiyaleúte de llambagem para uúÊ carga real F,

derivada da eqüação de Johnson, é:

F__,"

a2 EÌ,Ì4ìÍENTOS ORCâNTCOS DE ÌÍÁqirNÁs

PROBLEMÁS RNSOLYIDOS

l. Deduzir uma equação que Ìepresente o trâbatho d€ deÍoÌ- mação elâstica de uma yiga Ìeta, sujeilâ à ação de um moment,o Iletor.

O ensulo da d€ qüe SEú dús sçõ€s rt6 d. viea, eDerds por tìm dÈtância d, o Frcduido lor um mmento fletor rÌ4 é: dd = MíttlEI. O |dett â\ro de defoÌmação em uúa 6eção da üga de conpÌinento d. é:

#^"=I 2EI""- 2 2. DeduziÌ umâ equação que Ì€prêsente o trabâlho de deÍor-

mação elástica de uma viga curva, sqieira à ação de Ìm momento lletoÌ.

O ângulo dd de qu€ gi.an duas seçõ6 r€rG da visa seÍ@ad6 poÌ üm ân- sulo dé em uúâ vigâ cu.ra sjêiía a um momeúo ]l4 ê: atd : Mítd,!^eB, úÀe . é a distâ&is do eüo que pssa pelo C.G. ao eiÌo neuto; sempre medida do eüo que pNA peÌo C,G. paÌa o cmtro de cutuarua- O fuabalho de def@ação úa serão ènire G dois plmc êi

du=Yy:# . r-f-","i- 3. MostÌar que a defleÌão pÌoduzida no seu ponto de apÌi-

cação por uma força P atuaúdo no extremo d€ uma viga em balânç. ê PL||SEI, sendoÌ, o compÌimento da viga. Usar os processos: (d) dupla integração; (ò) mêtodo do momento €stático daE áreâÂ; (c) teoreúa de CastigÌiâno.

(a) Ufurlo .l|pla intzs.qãa.

À equação da eÌástid é:

EI ' , r . M = Pr

orde. é úedido dq ca.gú pala o apoio, IDt4Ìúdo ü

Eì .1! -

Pr, !r.- 'dr

Uma ve qüe â inclinação ê nüla paE . : L, têm-se q = pZ12 e

^. aty Pf PL2

' td, : -2r2

orr. 5 rr,nxÃo E rÍ.Áì'BrlçElÍ EM tLEMÍìqros DE ,ÍÀQÚIN'aa 83

À s44|Dita int eúÉo !6 dá:

au -- lé + P? +c,

Como t -- 0 q[ú.lo t=, v@:

c,= _ -;_ c

or - - !ut *+-+

_ PL. !_ _1.

(h) Usrdo o naoú do@tu & a{Aüt, (Fi8. $r0). -'+

G) ..ìôcÁr ! Yisà eostrúdo a

e) èboçd a êÉ'ticâ è trâçü 3

t{r€rdtê à qllm Ìo Imto B

'!r_- L

O"r. . #

Fis. Í10

(3) Éhots o diasr@ IílEÍ

(4) â ilefldão r é obtida tot'@do{ o úoúdto da 6@ do dïsEtj.nd MIEI

arÌe@ poút6 Á eB@relado ep@to'l O bÍ!ço do @úetrio ê 2'l3 e s

6rcs - PL?EL Àsiú:

"= (pJ (=#Í1) - l.) Uúnd4 o tú@3 d. CedísLiM

O rr1bâlho ile itêf(úsaÃo, ada@aò êú úa viea tei! sjêitq I um '@

.. f r'Ìd' " = 1 -zsr.

C@o o tr@úto é - P'' ! 4eÌciâ lica lob ! fma:

"-I" n"È*,* =Ï#'

À lleha .6á, Fltanto:

ôU 2PL' PL' r- aP

= oe. - -íEí'

O siú.Iposiri$ m fl@ha ioiti.a qú€ etr ocore ío E6Eo d4tido qúe o dc

4. MostÌaÌ que a flecha proiluzida no ponto otrde atua üma

Íoçs P aplicaík ìo meio de uma viga simplesmeúte apoiÂ'la -é piltloer.' uo. os pÌocessos: (o) do momento eeútico; (ô) da

- PL'

'EI

84

vigo conjugada; Câstigliano,

ELEME,-VIOS ORGâNÌCOS DE MÍQVTìTAS

(c) das funções em degrau; (d) ilo teorema de

Fis. íU

(4) Coúo no6trâ â Fie. s-lt cmvém 6!0çü a eÌásti@ ê o dirytua MIEI.

Traçar m seguida À tú8entè à elástica m *u ponto m€dio á, quê tr6te ce é o

ponto de íleha máxina. Súêndo+e quc a iúcüméo 6 nula do ponto de saraa6o

ds cega, ficâ siúpfficado b6túlè o Pmblmc

À d.fldão À é dtão deiêminadâ tomaúd(R o momedÍ, da áM .lo die

$@a M/t/ entÌe os pontos Á e A eú relacão ao ponto A.

À tuêa do diaelì]m M/EI atre c Ponbs Á e I é:

I / PL\ L PL, 2\aLi t v= toa

O brâço do nomento datuea tÌiúeulà. é (2/3) (112, = U3. ÍÃÍí'o.

o-( i " í , ) ( ; l - ; ' , ,

{ô) Usedo o método da visa dnjusadq d*ee f@o o o eboço e cte

sá-lô de ial modo que o valor da cdsa em qualqü@ sêtão sej{ ieuar à odêlada

ilo diasrde M/tI @úo Àpü€cè na Fi8.5-12. co6id€m s c&Ìsa ra visê

Fis. í12

cÀ.P. 5 fl,ExÃo E rIáìrBAcEìÍ ÈìÁ ErÍMÌNms DE MíqurNÂs 85

c@jueadq Fúydi@ie d8 áÌe6 À e B, 6no 6nc@tÌed@ rc. .dtrc8

gravidade das nen4. Es* (eegúmtos rdão d sesuint6 yaÌota:

A-B=+(h\ , r ' - - Podcm s dêidnúadb agoú 6 Ìeaçõe à direita e à 6quêda, N6te cM,

êls srão iguais em vista do {]!@aúento M simétÌio e são eÍónt.ads íazendo- e isüal a zqo o $matório dc tod4 I I@ças Ìqticais:

PL2 .L =

"Ã = -t6FJ .

Cono se sâhe, a dêíledo m qualqüe. se!ão dà üsa reol é isual ao noEento Íetor d viea @njusâda, na mma s€!ão- O úoeetrlo fl€to. da visá conjusadÀ ou a deÍl€rão p!Ìa a viga dâda, m s€u ponto médio, s6á:

"* = (+í)(:) - (,"*; ) G - ï = # G) O M das fúçõ6 em dc€Íau é b6t€nte simple !€stê cM, pob a Íiga

rem s€ção reta uíome, À equaqão de moúdtoq tDde 3er 6oiia:

=u: i"- 'Q- i )n, , ondê ú íüÍção em de4Ìau It /, : o paÌa . < L!2, H 4t - | pÃt^ t > Ll 2,

À pÌimena ük€tação dá:

,#=+ !e?t"",*",

f ,u ur,r** . or*f' u- uzta'- Pt' uLtzt' ns,.

Iévúalo m @nr! que dy,/d.: 0 quddô z = r/2, i@{e:C\ = PLzl766

-, dr P! Pl! - Ll2)2 ,, PLz

- t d"- q. 2 "Lú- |J.

À ô€gunda integdção dá:

Ery- Pb a2t ' . . PLz ^6 dLtt - :16- t .r Lr.

76EI

., g!

t2

Iaedo eú @ntã quê J = 0 qutudo . = 0, reltâ Cr - 0. tituiúdo ,/2 por r, a dêfletão eo z = L/2 r€m püa valoÌ:

32 PL3

Y= - l * ,EI Er! - 96

GTP. 5 FT,Exio É I1,ÀìÍ3ÂGSIÍ E:M ELEMEIüTOS DE T'ÁQUINAÉ

^ ddle€o v€'tical é:

87 86 EuMENms oRcÂNrcols DE M-ÁQttrNÀs

(d) Usddo o te.da de CastisliÈno a equação do trúalho dé defo@a6o

to@ q seguiDte foma: - ôu

FhL, + 2QL.l3 0|: =F =. . -

. ; ;_

5. Determinar a delÌexão ver[ical, deüda à Ílexão' de.um

ponto P de uma viga em balan@ câÌrcgaila com uma caÌga hoÌi-

zontsl F como mosiÉ a Fig. 5-13(a). Desprezar a deÍoÌúação

no elemento YeÍtical.

(ó)

Fis, 5-t:!

" ôQ zEI

F&ado Q - q teú+ fioalmmte a dêflexão vdticsú no pontD P:

(1) ÈhoaÀ a eláiticÀ psssandô pel6 poatDs dê dêfomeção Nlâ Á e C o

itqs ô reeEntê @ lonto Á.

6. Um eixo ê suportado pr dois mancais em Á e C e recebe

cargas de 30 lb (15 kg) nos pontos B e I, como mostra a Fig. 5-14.

À parte do eüo compreendida entre os pontos B e C teú um diâ_ metÌo 2D € aE paÍt€6 comprcetrdidas entrc á e B e C e P têú um

iliâmetro D. Na rleterminação da yelocidade cútica, deseja-se co-

rheceÌ a deÍlexão do eixo nos pontos B e F UsaÌ o método do

mom€nto eslático e coruideraÌ apenas as deÍorÍnações deYidas a

Fis. í'r4

momento lletor. (Ver o capitulo de apurado de dellexões.)

paÌa um estudo mais

'=I : I* #.I; =I*"H** +l

u=ff"lo.r-to,r=

l i-"Ç àl'* Ò,= 2Ef .

ôU ôP

: 4{,EI

Í {

I Ir

Um prcblda d6te tiÍb pode ser GoÌüdo pèlo Ie@ú de CdtiSüaú *

Ío! ãcsceDtqda uúa ca.8a vdiical Q no ponto @de * d€ej& detêúidÚ à de

norão. IÌer Fic. $13(ò)1. o t úâlho de detonação é:

F4tlL+FheL'+eL.E - -- 81 '

6"(12

u- Jo

88 ELEMENTOS OBCÁNICOS DE UìqI,IN!S

(2) EsbocaÌ o diaslda j}í/EI obsyddo q@ o nonEnra de iúérciú da seção que pos$i diâmetú 2D ó 16 ve4 Ddor qrc o da erão dlìo diâ@to é D- O valor I lefrcse às perB de diâúetú D.

(3) Deíerhind Á1 t@aodo o boúdÍo de áÉ do di.s@ ìtlÊ/ @t& G pontos Á è r, @ EIÂção qo ponto i.

^, - (#) (f) oi + (-,-4-) oor + ffi) (i) oo - :rp.

(4) Dèreúire A, tonando o momotô d6 ára do diàglea MlEl úr.e or portos á e C d ElaçÃo @ porto C.

^,= (#) or,o+ ( f f ) $)o,=tgt . (5) DeteúiÍe

^! poÍ púpdrão:

. t8, ó ?8r,75Lr= E^,=- E]

Errão: 5.s'lil'75

lt - ^t- ax = --E--

(6) Dêtdniad Âr For p!úFor!ão:

. À, 2 26r,_.38I

Erltão: "= (#) (*),,=#-

1 lal25yr=ar_Âr=__Ì i_.

180 / 12\ 1.080 l8{r 02) ü}5= E-t

A, = - bìt- =

EÌ-

. 1_08t1 a.=- Eì

Ar = 4r (:8) * Ár (ra) * ,r (8)

^- _ 4r.3I0

-' EI

L, - At(16) + A2\6) =i7

\ - 361,'4 íll') = :::::

J'r - Ár _ Ât = (r/EO(1t.rr0 _ â7.rt = a_G4.r?s)

c-rp. 5 fl,ExÃo E I'I/ÂMBÁGEM Eìú Er,EúENms DE MíeuúíÁs 89

- Â, n.73í 9.045L"=i= 3Er :

El

,t 320

^.= A\11) - E,

47 12 - Ãs - \ - (UEt) lo 0a5 - a r20)

=

--?. Re€olveÌ o PmbL 6 us*ndo o teoÌema de Casügüano.

O kúalho .Iê defdúqão tolal dáüilo à fle!ão É.

"- í = u\+ u,+ us,

Ur: ttsòarho do keìo t : 0 até z :6i

üt : t raòalho do keho. =6 aaê.- l2a

U! : rÌaborhô do ü@ho r : l2 úré , = 18.

. , f oufa' f at+1e s6/er' _ 3ó íP, I P"ì l' ' J. 2EI L ô€r lo EI EI\ 2 t

, , ft8 P2' lr} - àt dt !6P2tur= I -------r;t- = Er-

Se I é o momdiô dê iúércia da *Éo dó diâm€im D, dtão o monênio dê

i!éÌciÀ da s€ção de r - 6 até r = 12, cuio diâmetú é 2D, 3sá ró1. O trabÀlho de

dcio@ação ú pete cdÍror, soá:

u,= f'"

B* -:;ço qrd"

Int4sreilo, süherÍutulo È, *. 3É " "i.ptiti"uoao,

t**'

^ = #1, (+)" +,P, (3j4) - 6P,,1.

^ êndeü totqÌ ôrá: U: U\+ Uz+ Ux

u:#ï (P't,P")' +;Èï [" (", ; "')' + rc. (l:-rf -

-ar,"l+$! À d.íteÉo eb Pr qá:

ffi ' ff e,+ c; + fiC'++) : #g + re!ã = r';+'zs

90 u,EMENTqS ORGINTCOS DE rúÍqúEüS

À d€flexão sb & s6á.

âi,=#,, , t cd+ff i1"(a; ! t ) ( ; ) " i ' l - 72P, | 080 301,?5 2. lõ0 1.543,?5

a-É-= et- + Er +--E- =

a

8. (o) Empregando o uétodo do momento estátrico, mo6txaÌ que a deflexão ná:xima de uma viga simplesmente apoiada, de comprimento Z, sujeita a um caÌIegâmeÂÍo üDiÍolmementê distÌi- buído de $/ lb/pot, ê' ítD La:SMEI. (ó) Idem, empÍegsúdo o teo- rema de Castiglisno (ver Fig. 5-I5).

cÁp- 5 FLE),ão E I'LÁtrrB'tcE!Í ÈM EI'E ENTo8 DE MíQUIN^S 9l

3. Pe ilsttu oütro rú@ilime!ío, o diaeÌha de momentos foi comtÌuido

por pet6, 6mo mostÉ a Fig. 5-r5(d). Ìls p.o@so é de gÌdde vâlia em al8üús

cas, Íbis f@ilit! a deteúinação de á.ês e @s c€útrcs de gÂvidade.

4. Nete @s apenas ros úteÌ6Àm 06 momêtrios ds seçõêB I e IL

À áÌea do seéo t _ (-; .l (;) rï

uLla áu da secão "

= (-u" .l (!) u] = *

A disrâ&is do c.c. de scçào I oo ponb B , , ( ; ) ( : ) = :

À disrâncis.ro c.c. da seção u ao ponro B é,(+) (+) = +

EúÊ.: E'y- ( i Í ) ( : ) (#)cï) =# 5úL4è r - 3síEí-

lh) Urmdo o túúa de CütislíMo.

1. Dêy€* ac6cctrtt uma cdsâ O ãsinilo no ponto ondê s€ al6êiã iÌeté.-

miJM ú nêho lve Fia. 5 l5(" ì1. r ,d)_

2. o r.Ìabârho de d.toÍmâçãô por rrprào ó: J i;;

*- " ^.'"".

6quqd da visa o t.abalho de dêfoÍmação é:

, , l 'L t ' t+r . t+ot ' +. ; ) ,a,"'- J" '- ,, Ud vez que. i.abalho de delormação à esquddÀ é o ú6mo que à di.eiLÀ,

a @gic loraì erá: U : 2Ur.

- fLP t l túL+O)t-+úr, ld!

Jo t f íuL I Q\! L ' (úL + Q'uLa , utL31

-ElL\ , / t2s - 6 ' r i )

AU lT. . ^L ' úLa ^1y U - Er LIDL |

\ t) 4s rrs "1.

1fúL. uLal 5üL'y= É,t L 1s - trsl- 3848r

ou, &!ilo W a carela iotal (W = úr) Ìd Ía:

5WL3 J 3g4ul

Fig. 5-r5

(d) U@do o úllado do MIo e.Iótíêo.

l. E.lDçü a êìástica @úo âpd@e na l"re. trs(ó). TÉçe a roepnte

holiÉtrtsl no Fouro M. Então, s defldeo t é o momento da áEr do diâ8Ìúa

d€ moú€ntô3 dbp.@dida mte os ponto. M ê I, d eÌação ao pouro B, di-

vididr por E/.

,. Estpçd o diasr@â de tuúdros @Do !tE@ na IÌs. Ír5G).

_l

s2 EI,EìÍENTOS ORGÂNICOS Df, MíQÚTÀ'ÁS

9. Deteminâr a defìexão horizontâÌ no ponto Á de uúâ

vigâ culYa, de aço, de 2 pol de diâmetm, terdo um raio de cuffatura interrìo de 4 pol e câÌregada como mostra a Fig. 5-16. ConsideÌar apenas a flexão.

u= [" fÍ (rP sn ó):dC 23 tP2=

Jo 24"8 - 4 A"d'

Ú'P."6L/.ú-Ú66

"2ffi*. fig. t16

Eú qÈlqucr seção de visa definida por um ânsulo ó, íebae: M=P(s sm ó), O t abalho de defo.@(ão dcvido à fleÌão sdá:

cÀÌ. 5 FLExão E ÍLAüBÁcElt EII ELEIIENToS DE ì[ÍQurNÂs $3

"- Ji "Hu^ (^u" r =f e'"*ea'"*'*)=

=/"+sffiËï# o'ou'Ì'P' Jr"('"órdó : _ o.oqs.4P,

[e4c+*ï= *ïï,,* (+)

À il€fiexão deüda ao cbaÌh@ento, Ía direção de íorça, é.

jg _ 0,08!rPr _ 0,088.1ir75) r = 0,000 048.6pol.

Coúpde dú a defledo de 0,001-442 poì devida aph$ à ÍI€xão'

(ô) À @mpo|@te noÌúar de P que púduz aloDgàsento em qualquêr s€ção

À ót!ção ile uúa seção deüdo âo 6forço norúal é combatida peÌo moEc!ío

O Íabstho il€ d.fonação deYido à dmpÔnentê noÌmâ1, eú pÌença da

,= [l# #)u= f":s::tty- T.. ,s p scn ó) íp sm ór dó o.ozo.se" f",. .^ç,,a+.'

J. ;(30.r '0,,- =

-a-J-o.o.op? f_. o.o2ò.sp,/,ì ,i!rï, 1i;-- FJ, (sêtre)'de - - \ ' '

au [0,026.5 (r? : 0,0s3 (1?5)Ìf = 0,000.0t4.s pol.

EDrão, a deforúação pooieútê dos tÌò êsfor@s citados é:

ô = 0,001.442 + 0.000 048-6 - 0,000 014.5 = 0 001 476' 1 pol =

À defl€xão na dir€ção da csisâ P ó:

ôU 2í rP ôP

= 2 A"E- '

O yalor dê ., dÈiâaci! do eixo quê pass pelo C. G. ao cixo @tÍo' ÍEm uúa sqão retâ circular, é:

A detlexão Ía diÌeção dq .arga P:

^ (\/; + \/;)' "=^- 4

ôU 25rP

,_ (G+y' í )" :o,oro. , - 0,001- 5 poì.

ll. DeteÌminaÌ o desloca- meDto horizontâl do quadro'repre-

seÍtado na Fig. 5-17. O ÉomeÌr_ to de inércia é o mesmo em tôiÌas

as seções. ConsideraÌ apenas as

deíorÍnações proYenienies do mo- mento fletor.

2ír(r13) ;r =;-n"t:' = ;;OGiffi;-mE

: 0 001.442 Por'

10, Para o ProbÌ. 9, deterninar a delorrnação devila: (a) ao

cisalhamento; (ò) à ação combinada de momen[o tletor, cisaÌha- mento e caÍga normal.

(a) Dn qualqu4 seção o vàlo. do cisathamefto tÌâsvqsaÌ é t/ - P co. ó- O trabÀlho de defoÌmação é:

Àplicândo o rêoremâ de C6tisü3rc,

o irúatho <le deíomação do quadrc é ú 6@â dos trsbalhft de deforúáção nos

lr!. Dêúbros quê o coútitum. Pea os membrcs re 3 a energiâ éam4ma'

Fis. 5-17

,h

94 ELEMENTO9 ORGÂNICOS DE ìIíqUINÁS

,, - f^ úat

- fh \Fi'dr ^ Fêhrut . | - 'Jo ,Et - .1o -zt t

=. oer

" fL tFht'1dt ç4h1Lu1- I #-

-;

ph o menìúo 2

,_, l r4w\+F,h'L' - \6EI ] 2EI

ôU 2FhT FhlL ar.-

= iet + ;t

= ÁI. m dne(ão de r.

12. DeÍeÌmüaÌ para o quadro represeDtado na F;9. 5-18 as defÌexões hoÌizontal e veÌtical para a extremidade inf€rior do membÌo I, devidas à Íorça horizontal F, Considerar llexão e câÌga axial.

cir,. 5 rLE)úo E ÌLÂìtBr.cf,M EM EI-EMENToS DE rt-iQulN^s 05

À delerão h@i{Dt5Ì é deteroüâda toFodo ã ddiYada peis.l de t/ con retaçãoarel@ddoQ:0.

du - , - Fh2 (2h

- t \ , FL.ãF=o.--El \T-")-AE'

À ilcfldão Ìe.ricâÌ é detdminadâ iomudo a deÍiYada parciaÌ de U em

Ìelação o Q e depois fazendo Q:0.

ôu -

FLh . . áó

-6s= 2; ! tLtht .

13. Deduztu a equação que dá a defleÌão proYeniente do

esfo$o cisalhaìte em urna viga sujcita a várias cargas e mudanças

de seção. tu

^ , KV

À equação dc\erá scr do t ipo ï ; 'c '+ / lC'

1- Considerese üd yìga.nú ca.gaÈ aplicedss.ú ,4. B, C e D cono

aDaree na !'ie. 5-19(o). Não foràn lcitâs .€lriçõ6 s rÈpeito de quais lotrtos

da yiga úo podem $lÌ6 dencxõ6. {Na fieur apaecem cdss concentrádas

ms o procêilimeDtc podê se. Etendido para cargs ÌdiáYê;s.)

HI\J\ f ! . t ì t \ (6)

Fis. 5-ì9

2. À deftcÌão devidâ Ào cisaÌhamento se.á detominâda co$iderúdo âpetrs

ú co..6poúdenie à suleÍftie n€ütÌa. Ì$o eÌirnita { neGsidadê de 5ê considcrúr

A mudtuçâ dc forma da secão, o que m r@lidade ocofre. os elên€ntDs dife'€tr-

ciois da s€ção Ìeta no eiÌo neDtro d6Ìizãm em uDa dircção le.pendiculd à super'

tície neutra da viea primitiyâ, Todos ôs p!ü@ conteÍdo 6ses elelÍenios nÀ

sup..fi.ie netÉ p@darccem panÌeÌG ümà Ìez que eles Èão popendicul4ês

À superticiê mutra da visa p.imitiYa.

Fis- írB iV

O ttôbâÌho de dcfoúação pda deflexão ô @sa uiol

u"= l" <')'-*ih)'",+

I" 218 ' u"- f"

rql'2È:!)" .". Ig# À €rc.srÀ totaÌ ê: u = ur+ u2+ ut

, = (#. #) + (ffi + ff + $i- + !t-") + .( *E!-e![ï* : . #)

i

96 ELEMENToS oRcÂNÌcos DE ìrÁQUrNÀs

3. Ás pdt€s do €lmento $frc.ão d€flelaë devida ao cisâlhaMlo e L-

m&ão o dpeiô dã [is. 5-19(ó) (as dcltexõe 6lã0 nuüo sasq{d6).

4. Sahendo{e qüe os pontos .'l e D não podem eí.o detleÌõ6 já pode s

tÍaçoda â linha ÁD de defleiõês trutaô,

5. Âeore a linha,4A pode sc. haçada, pc.pendicul4úeDle à s€ção em Á,

como uúa IinlÌa d€ Ìcferência.

ó. O ângulo eúÍc AD e AE é CL

?- O âúsllo entc, D e os eixo$ dos €lmentc soá .haúado de d. Tm*:

0\ = t : t +"t 0, : q+'y, i 0t : Cr* t " C,úo todos 6qes ânsuÌos úo p€qoenos, pode+ ercÌ6:

tA0t= Ç!+tg. t \ ' , tsêx - q+ Ls' f2 i ts0z: C\ + tc" t1.

8. A tans.xte de 0 é à inclinação da ütìa dos .cntrcs m r€lecão à lúbâ ÁD.

r"o, í t ì , ! "d"- íq"ì . ' " t

íg\ - \ r / r / r \d!r | l

9. Uma yêz qoe as rensõ6 são propo&iotais às defdmaçús:

hl Kv d' - a - t ta,)r ' t t

- ta ' l Àe -

Na eÌpresão a.ida, (é una côtusiant€ que depende dâ $ção transvesàl (Il = d/3 pra seção circuldì I( - 3/2 pÀ.n soção !êtcngtrlãr). Pea 6 dícrcDtes

/ ( l \ /Kv\ r Kv\ 'c1, - ( ìcJr:

rez, - ( ìã]" , ,*r , ( . ic .1, , , .

10. Sulstituindo os yalor6 de (9) e (8) en (7), ten-se:

seção r : ( ; ' r r - . , '

( l ) , r spçt . | | : ( ; ' r , , .c,+ (- ; ; r , , , ,

Se(ão l Ì I : l+ l = c1+ l=; I

ll. Usando as equãçõc (r0) traçâr o diagrama dos 6fo.ços cortanta e $ÌF

ütuir o sforço coÌtantc om os rapetiyos súaìs na oluação. Uda derlèÌão positiÌâ sienüica dcflexno púa búüo e uma n.satiÌa sigÍifi.e pd ciú{-

t4. DeteÌminar a fÌecha deyida apenas ao cisaÌhamento nâ

direção dâ Íorça P (Fig. 5-20): (a) apÌicando o teorema de Casti-

cAP. 5 fl,EXÃO E I'I,ÂMBÀCEM EìT ELEMEI{TOS DE NíQI.]ÌNÁS |)7

binada com as lunções em degraú' ObservaÌ que existe ponto do

dellexão ììulâ entre os apoios.

(d) À @dsia totãl emazenãdâ no eleDent' ê a somo dos t'abalh@ de

def@aqÃo Pú s seçõ6 (1) e {2)

r t2 ^úu-urtut ' l +üt I -2^r;

r t | Jo " ' Jto

l ro rLo.zp," f t , K,- p] )_ _ t .2Kp1 = I - : ; ; ' tu ' j I -24c "=-Ac

Jo Jto

â11 24KP À detomacâo rei.i.ot 'ú

P ê ii = -IG '

O) À .l€flexão em P Dodqá ôer obtida intesÌddo:

dt KY.^

Oì6ena* qle o aâlor de f eftÌe as du$ seçõ6 é + 0'2P € quê o aÀìo' de

Vê - p *tre areaÉoa aireitâ e â carsa P Usâúdo âs fu4ões em deerâus'

tiÌâ* P&a I/ a exDréão:

V = O,2P - l,2PHú, oíÀe I{ : 0 paÌa . < loi Ìt10 = Ì ptua t > r0'

r",a".9:4#@ *Cr

"=$f ,o," 1,2Hú+Ç\Jdx-#$24- r.2tr10('- ro) +cr'+c'l '

Td+e qú: t :o qúeilo t: 0 e Ct =0'

Y=0quúdoz=l0eCr=-0' '

Porianlo: r=+i lo '2r- l2Hoír- l0ì 0 2r1'

À ir€íÌcúo Ío ÍDnto cú qúe ' = r2por ê' t = -\#' '

15. DeteÌminar a dellexão deYi'la apenas ao €isaìhamento sob

â cÀrgâ P paÌa a úga simplesment'e apoiada' da Fie' 5'2fl (o)

Fis. $ 21

urondo o métoiÌo clo tÌabâlho ale defoÌmação;

dr deílexão provenienie do cisâlhamentô'

cm degaau,

(ò) usando a equação (c) uôando as Iunções

t0

gliano; (ò) âplicando a equâção do cisâlhamento transyeNal, com-

98 Er,rúENÌos oRcÂÌ{Ì@s DE M.íqsrN s

(d) TÌcholho tdat, ü üJqtutur d@iü @ cisqüuttnaro;

CÀÌ" 5 fl,NÌio E FIÁìIBIGE!Í EIí ET'EúEì{IOS DE MÁQÚINÂS 99

Iúrãg@dô, Ím:

' = +kl' ) a','(' - l)) + c" - c''

Qüúò r= o, t -0, o que dá C! -0 '

Q@iio t :

^ dêÍleÉo no Porro ' - +

é:

' -#(+ ")-#(+)+o=js ' 16. Comparar a deformaÉo deYida ao cisaÌhâÍIeDto com a

devida ao momento fletor para o eixo oco, e carregailo como mostra

aEiq.5-22. A dcíle$o desejada é no ponto dê aplicação íla caÌga'

O.t".mi"a" tambóú a deÍlexão totaÌ no mesúo poDto'

(.) ^

dcJfuada daidõ do cíú111@8to ê:

I

0<,<2

{ :c,+f f i -c '+! f f

1ry y:c."+éS'+c.

2<.<6 d, - KV -

K( 440) ì ; - " '--^c - " ' '

-- ec '

- r((4o0) ^(2) r=Lr--- Ìc-rrLt

I I I

Às côndiçõ6 do Psbl@n iúPõem:

t . Quúdo'-0,x-0.

2. QuaDdo a = 6 Ê)l' t = 0'

t. r de {1) - Y de (2) quaúdô

. = 2!,ol.

Daí Ìem quê: Cr = 0' Cr : 0 e

Çt - 2.AtO KIAG & -3P= 8oo,b

Fotrdocr-cr=0úequ'do(r) | I I

ê |@lveído pãÉ a denÈào Do potrto '-"; I

ric í22

i - 2pol. rPmae: ffi I

"-o* *'ïï ' ' '

' o= ':ï^. ' ' .-. '" '---"W..,,,

orde I( ó um fatoÌ que tldfotuã o €tõlço cisaÌhete médio no máximo 610190

cisalhúte ú €üo ndtÌo.

E@úo "( ! )=# - "=#,

, : | * tttu_tz u I;. t,"";T,i" = # {+) . # (+).

À defleÌão @b a caisâ P erá:

__êu-KPL+KPL,IKPL ' ôP 0AC l64G l6AG

(bt Uffitlo d êqdarão do .ísdlhtnento tt$súeaúl:

r . l*ã0<r< ! . f r=c,+ff i .^a" v=; (616ç0c'E.thúíe).

r"r"s,^oa", dl; - c,a !iPf'' '.-, ,r, r =.(c, t lfr), t o.

,a. v- - * t*r-ço.'"*-2. Pús;<t<L1;-qt t2Atc,ot _ r t turc) .

Ínr"srúdo:* - c, Kffi *.'orr r - (c,- {fr)" +c,.

3. lem{e tüdà qE:

Q!údo ' = 0, ], = 0, e ão de (I) Ym:

o: (c\+ KPI2AG)o +C, . . C,:0.

Quodo , - I., / - 0, €Dtão de (II) v@:

o=(c,-K41AqL+C,

q'*4., = f, " a"

"n'ação (I) - r ita €quâção OI):

t kp\ t t KP\Z,^. (c, | 2ac);+o- \c ' - 4Ac) i+c' '

. KP ^ 3KPLtm{ê. port turo: ur- - Ìac e "z= sAc.

À deflexão no polto , - t/2 pode sd ddhÀda dê O):

I KP KP\ L ,^ IKPL r=\- sAc + 2Act 2+r=-ÍÃF.

lc) Utanno at lunaõ.. ú destuú.

A oqusçõo pús a D.üração scrá .t io' * fr = ff + c,."

t lv K P 3KP-, ^ " ' #

= à + - í

t* n""+ c' @da ruDtão Ú dee'ru rr 'Ê=0

rtúfe. < Ll2 a Huz - | püa. > Ll2.

100

- Ì(D"1 D!\I = " - *-' , momeíto de i"éria d! soção rera,

ô = Do - Di: D, : diâmeho êÌtmo = aibÌ; Dj = diâmêko in temo = 6 pol.

E ôubúiruindo r poÌ 1,9? e os demáis símbôbs peÌos sm Ìalores, ÈúÌla:

1.600 r l . í to (1,9?)

"=Ë=T,ts : u,ex r{r . ÍDÌ '

(ü) Dêfleúo deúda ao úoEerto fletoÌ:

ELEìrEN'ros oBcÂÌ.]Ìcos DE ìr,íesÀrÁs

moúenio da ár@ acima do eixo nd[Ìo

(4i);*-("4:, )++' ttD:; D?\' á@

's seçÃo rera'

(1.200) (4) {r)

o-

,=f f io"- t - t t= 6 (6) G0 X r09 (r/64) (Do' - 41) 6'-1 '1-2:)= _ 1,035 x r0,ô pot.

(d) A rela€o dire s defoÌmaçõë pb{ìuid6 poÌ cisãÌh!@nto e Íl€rão ê

rr'9 (10-6) ìn3slloj=t - 't;

(d) À deíleÌão total sb o poDio dè apìica6o tu úsa é:

ll,9 X 10{ + l-035 X 10. - 12,935 X l0-úpoÌ.

(.) Ob*rvd que â teGão povúieúÍe da lleúo ê müilo pcque@:

M. ( 1.600) (8/2) o=_

, _.-r_ _ 46,6ÂsL

(r) DetdEinação da denexeo deüda ôo ciqlhddL, ôDpÌqmdo o t6-

,=r f KePnrdr , f6 K( Ptï,da _ 2KÉ J" 2AG J, 2aC iAe

l' d€fldão sb a drsa é:

ôu 4KP 4K(1.2001 Ì .ó00r, . . - . . ._. , r âp

= u,e

= -ira-

- -4c- I'ddü€ a

l?. Determitrar a defÌexão provenietrte do cisalhâmento no ponio médio entre os apoios (Fig. 5-23). ResolyeÌ pelos processos:

(a) Teorema de Castigliano. (ò) Equação do cisaÌhamento traúsyersal. (r) Funçdo €ú degraN.

crl'. 5 tLtx,io e lt,!-usÁcEu Etr Er.EMEÌ{Ìoa DE

@) A'qndo o Íãt@ dz C6rísIí@: À @e.sin de cicaÌüaDhrô é daata For:

üíQurNÀs 101

o

ta+! u (o)

trr = 1.875 lt)lìr, = 7.125tb (b)

F s- 5-zl

Ëxl.i""* 0 u *0""* ." polto onde s .reejâ derermtuü q deforDação. rn-

u : ff rtv, o - zq. - e.r2s + v2 e, _ (rrze + r.2?s)3 + + (?5 + I/2 QF - (600)rl

t - ff : ffixu"o - zsJ2- (t.12s + u2 e\z - (rr2e + 1 27s), + + (75 + V2QY .

Qua'doe=0. ,=-LlÊK.

"=fg# I," *,., * #fL=t .oo. n * f'

xG,"-'+t__!sd-!" *

+ 1""" xa,nodoutlz.

RL:1-125

í00 lblpot.

t l ,?:1875|b+grh ' 2 --

I i

7CZ Er,E!úEìírs6 oBGÂNÌ@s DE t[ÁqoÊ{Às

Púa uú sêção retd8Úld de 2 ÍDl X I pol leo+:

"- '#* '#k:450x ÉPor '

(h) Uúntu aaqaãn dn cisdtlffinlo ,'arllÚdl {Fk. s-23 (ò)1:

2r3. < 50

* '^*#= :q+I((1 125 -1q0c+r

8?5)

r = c," + * @.olf,.-Étô +c,

o<r<24

l t -c.+! \ - ì< (Ì . 125 100r)= q+ ----ie -.

y - c,, + h (1.125' - 5or) + ca'

TeEé€ âiÍda que:

púá . = 0, v = 0i pua' : 24pol' v - 0

(eú anbc 6 equaçõ6)'

Levúilo s$s valoF Ú* eeuãçõ4 acimq' t4m*:

c,=f f .a=o"",=-*#o^' A defleúo !Ô PoDtô ' -

lzPot sÍã:

t = c," +ft t.ns' -so"'t + c, = {f ozr +

+;folr'ustrzl - so {rz)"1 *o = L#'

(.) Útutü a' !"nqõê' qn datú:

I equoçao para t t"'ça citaÌhÚl'€ GÚ'ro a fÚção @ degra! d'4

= 0 psa

Í<24oolQ Hla - I Püã t> 24!ol è:

Y = 1 125 - l00t + Ì 8?5Ìt!a'

A equeção dé defonâção p'nèíimte ilo

'iqalh@drD e

lv -i-v p 6', - -É- 1r' tzs -

r00r È l rÌ5 H!r) +cr- .b Aç

IÍt€srando' YeE:

t = f6l tx' - ** + 1 s?5 (' - %) Ìr'rÌ + cr' + G'

T€ú-& aioi la qÚ: quÚdo t-0 ' ' -0

eq@ilo ' -24' t -0; osin '

c, - 1!!', c, = o. À deroma€o !o poíro ' -

12Dol é:

7 moK"Ë(r2)+o=--Ác- r -;[- l t .rr.strzl -

sotr2)r +o] +-;

oÀp. 5 Fr,Exio E Fr,lìúBÂoEM EÌÍ trLEMÈNTos Dt üÁQurN,{Ê 103

18. Det€rmilìaÌ a flexão proveniente do cisalharnênto úos pontos de aplicação das caÌgas Pl e Pr, como aparece na Fig. 5-24.

Usar a equação de deflexão provenienLr rlo cisal[amenr,o {v :

^KV:Ç,+ Ac.

Fig. 5-24

0<r<6 . t _/"_ + {(30)

Ot r =CÊ+lt+q.

(3)

ó< ,< 12 .l:t ^ K

(0) tu 1ÁG

( r ) r -crz+0+c'

u3.3tafr=c,+Ãl-rq.

^toK^r=G*-- ìFr+.+

Pea s @diçõ6 do PtubÌena:

Quedot=0. 1=0, Quddo z - 6, t da equaéo G)

= v da equação (2).

Quardo . - 12. r = 0 Fela equÁçÃo (2) e pel& equação (3).

Süb.iitnindo 66 @trdiçõa n6 equâçõ6 (Ì), (2) e (O, rem'€€:

^ l 'K^^^180t<^5' l0Kí j r= --ac; Lì-ui u3-- /c t " t - -ec.

104 ET,EMENToS oRcixÌcos DE íquÌiras

PoÍtanto, â d€Ilexão $b â ceea Pr *rá tde e4oa6o (1I:

Ì5K 30r ÉK r=--AC,r Ac-t+n 7Ç-,

y = + --=

(o siml + biLìo a detomrção tro *Dtido 'u pciüs, isl,o é, püo bairo).

À deflexão sb a cüe P, se.á J(da eqüeção {3)l:

tsK 30r t4oK 15K 544K ' aG- ac- ac ic ' Ac

270K . . -ê púâ r = I8pol. y =- ;í. (o sinal - inüd q@ r drnqão é pe" ciúo).

19. Ànálogo ao anteúor, porém usando o teoÉma de Câsti- güano (ver Fig. 5-25).

cÀ?. 5 FI,Exio E FLÀüBÁoEú EM nÌÌENTos DE ìríeurNÀs 105

rL d€Ílerão pbvdimtê do cisâlh@@lo eú Pr é: .

ôU 3K - '3( (,K

t - ãp, - ,Ac

(Pr I Pr) l- ì,cc (P" - Pn + È

P"

e púa P'=Pr ' 301b, y- +Ë(osinul + iDdica dpneÌào no s. t rüdo

d. Pr, isro é, pda cinâ).

20. Determinar a d€foÌmação devida ao cisalhamento no centÍo da viga de s€ção rcta uniforme. À carga é uniÍormemente distri buída e a yigâ ê simplesmeÍte apoiada. UsaÌ o teoÌema de Casti-

sliâao (YeÌ a Fig. 5-26).

úL+Q 2

L z

la

uL+Q 2Fis. í2ó

Fig. 5-25

A reaçao no apoioàeequ@daéâ (Pr + Pteno apoio à direita é ë GP! - PJ. O irabalho de deformacâo é:

,, - lu x lL,p' t ,,rr a' , ft" r' tirp, t Pz) Pt'.!, ," -Jo 2Aü 'J6 ,Mtc '

^ \ Pz)z dt

J" 2ÀG Itrtêgiúdo, veb:

,. À LPr I Pt,(6) K lPt Piz \n) K lP,)z @) "= BAc - J2ac

1 2c '

A deílêxão priFenietrte do cisalhanênto em Pr é:

ôu tK .- - - 3r(t - aPt - 2AC (Pr+ Pt - -;; íP, - P') +0

. PaÌã A * Pr = 30|}. v = +È (. ci,aÌ + indiea ílêfldão tro sdüdo

d. PÍ, isio é; pqÀ h€ib).

CrloqüÕs @a {orçâ Q e ponto onitê sê quq il€t€rúiíÃÍ o deíldão. eúÌgia íle cbalhmDto é:

" : l " 'áe(**$-*\ 'a.+ aL k t . l+J", í ;E\ ; - ; - . , ) o ' -

: -#t(9)'- (* "*)'.( +- +)'- (-+Il au ,( f30' 3 túL . Q\ 'z

t : ao-= -oaç. L s,- - z \ 2 ' z )

-:(-+-s)".+(-+)") K."l ?

e pmQ=0, r=. f f i r .

2I. Dua poÌiâs devem seÌ montadas e acopladaq usando 3 mâncs;s coúo mostra a Fig. ç27(ò. É necesúrio que, após a iNtalação, o momento ÍletoÌ tro eixo B e no ponto onde está o maDcal ceÊtraì" seja muito pÌórieo de zeÌo. Á moúta8€m é Ieita como

106 Er,E'ìÍA-rog oricÂì{rcos DE üíqurì.,rs CJP. 5 Ì'LDxiO E Ì'L^ìÍBÀGEìI ÌìI trr]E]IENTOS DE IúQUI\-,!S 107

", Í;1":::'."1j'"l.'

qú opárpi '

tro 3mptâmrrbqusndo êrc Á €pardrusodu.. e u rur(a ÌÚt'cal qu. ! edê D.rdilc do s, ontàmcorô cxêr.p dohrc a uulrq_

ên (ó) Tomando G úomenros êú .elÈção à erlremidâde eque.rla ito eiÌo Á,

r}'c + 80r = (1.000) {30). O úoúenro fleroÌ na polia (2) do eiÌo A {bve 6e. nulo; poúânio:

M.,7OF = 0. (.) R€oiyendo o scíeha, yen:

a: i33,3lb Ì4c _ t .3 i3 lb,pol . (d) Deyê er feito uú 6íüdo it* eÌásticas do axo á anre e .lclois rle sfr

:lïd*ad: o_T.plú:"to. A ris. s_2e hosr.a u canesahelro e os diasÌaútude Domenb tlero. e ds de{ormã{ão, eí6 dâ fiÌaçãq

indica a Fig. 5-27(b), com o eüo B monratlo em seus mancais e o eiÌo,4 montado no mancat (t) e temporaúametrte apoiado no

Fie. í28

{r') (h di{q.aDos de co.po livre dG du6 poli4 Ârnrc.em nn Fis. 5,:8.

Fis. 5-t7

ponto de âcoplamento. O suporte do mancal O) serâ qiustado verticaÌmente para dar o valor requcrido ao ângulo ó, ângulo €õte formado pelas duas metades do acoplâmcnto. O acoplâmento sêÌá agoÌa apârafusado úidamente ê o âpoio temporáúo âcima âlüdido, será rcmovido. Determinar o valor do ângulo {.

Fie. 5.29 Fis. 5-30

b , A iDrlinÂçào ds ttueetrl? à etÉ.ri.â no ponlo oDdê.{j o !, ontm, nlo É ZrB0.rt|o kommÀ do moDdlo 61,áti@, t€o+i

z'at - st.zsol (L\ (. + S) + r* -.r

(f) {ro) = ,r,ro , ,0. Dntão, o eúsüÌo ?r ,qá:

^. a 2lsoxro' adi@s ílg Ì È ?!. pois o ânsuÌo ,t pcq ono).

. .À" l.i*, S"O mo,rra o @ne€€@nto ê G djsgrsmss do nom.nru ftr.roÍ o.ln .lcll,.x,io dopoi. dc apâbtusDdo o stuptâm.nl.,

IÌDÍrrc8{ndo o reo.cmc do hononr,o €úri@i rem_scl

.il ztt:t - rt,6t x r0'i oxrÍo, ,, -

{ï|,ãI .,,,,,,,,,,,,.

108 ü,EMENTOS ORGÂNÌ@S DE MíqUNÁS

33,3 tb 2.{m th

(a) O â!€uÌo de qtre q metede {ìo Â@pÌaúdto fixo e eib Á ddc s enado dt* dê se ap@fum é:

f (34.õl 27,50) 106_l lao 1r-1 ' -L so4r J

" e '"* .

Cobo E= lX l07p6i púa o sço, e I - -:-+- pol1. 12-.rt O,2r5"-

U) Ànálire da elástica do €ixo a snt6 ê depois iÌê qópÌsda ao €üo Á. À Fig. 5-Bl nctra q situação út6 de s fadr o a@pl@to. À I&úe .[o €üo

'F+ -'*3.33:t lb pol.l ff\ | I t.3113,3 lb

Fie. í3:, Fig. í3t

cip, 5 FÍ,Enio E Ì.LriìrB,\cEü Eìr Er,EltEN{os DE rlÁeúrNÁs 109

à 6qú.da do nücal equc.do é Eta e f& um ânsulo A3 com a tiDha do ceDtm

Depois de feitô o s@plam@to, a siÍuação roúa o asp@ro rep.@iado nÀ tr"rg. t32. À pete ilo eüo à equerila do múcal esquerilo é aeora qrryÀ ê â tú_ gdtê na êrtreúidade 6quâd fe ln âlgülo ì,1 com a tiDÀa de cenrro dG mücais. Cotrtìdo, @úo o diae!úá de momhtós entÌê os úúcais não mud@, a rtusenre no múcal eqüeÍdo ãiddq fe um ân8ulo,yj com a Ìitrha de centoo doô mtucois. O âng o de que a metade do @plam6to deye ler si.àda ú16 de e o apuafNqr éQt , lò.

M6, E (?r 7.) : área do diaslma de momenros €ntE a exbemidade Gquerda do eüo e o lfucaÌ à 6que.da.

r_ {- _ (3.333/2)(10)

/ r80ì't. 't' - - E- \-f , - 0.041 8mú.

b) Finâfúdti, o âlguÌo entre 4 meradG do acoptamento dt6 de sercú

ó = 0,215 + 0,041 : 0,256 81aN-

22. Um eiro cônico, corno mostÌa a Fis.5-38(0), é akumâs vezes, mais coayerientemente analisatlo se substitüído ìror um

Fig. 5-33 (ã)

€ixo em alegraus como o da Fig. 5-33(ó). PaÌa resistências eqìiva. lentcs. os diâmetros dos degrauõ sào dctprmiqados do seguinre modo:

o,, \ , _D" ' ! Di , tD,, \ , _ Dl + D, ' . 1n-,y, _ p" ' t D",

z"22

23. Na vizinhânça de ÌessaÌios e etrtâÌhes, nem Íodo o materiaÌ trúalha dando mais rigidez ao eüo, parâ atende. aos esforços soÌi- citsútes. Um critéÌio é desprezaÌ a parte hachuÉda como mostÍa ! Fig. í34.

___-ffi F,@*ï5- -tffiÍ.

110 ET,EÀIDÀ-TOS OÌCiNICOS DE NíTQUIIi.{S

24. Uma barra de aço ÌetângulaÌ tem seção Íeta de 2 pol X

X 3 pol (5 cm X ?,5 cm) e um compÌimento de a0pol G00cm). À tensão de escoaÍnento do úateriaÌ é 50.000psi (3.500 kg/cú!).

Àpücam-se caÌgas aìiais aoe extr€mos da bana. Det€rúinâÌ: (a) a

rcleção Llh; (ò) quâÌ a fórmula a usar @uler ou Johnson); (c)

iÌeteÌminar o calregametrto crítico admititrdo que as extremidades

são relativamente úidas; (d) a caÌga axial úáxima admitiado um

{ator de s€guÌança If : 3; (e) a tensão de compressão equiYalentre.

,', ! ---4- = .+ = 6s.r ptú Â - 2pol-È \/I (úia.YA ./bhíll2lòh

(ò) O vaioÌ de ; abais do qüaÌ deve se. usada a equação de Johe! é'

L l-2ctE /r( 'x- ì( to '^í=1' ï trsd-F á êoGo a fóÌúuLs d" JohMí. obafrü quê roi m$iddodo c = I,

mboÌa B extmidadd sejm dadas cono relativaÈdt€ risida

(d) À cusa crítica é;

r ",(+)'tF-- ú,aLt- qaj5_J= r_ s0 000 í69.3ìt ì

- 50.000 (6) L | - ìú;5laõi;mtl = 23e.000 rb.

(d) À cúsa uìsl nárioâ @m seüúça 3 é:

I ' =- :q: :=: = ?9.?00Ib.

(€) TeEão d€ @mpr*ão €quiYddrê:

oq - l l - . o" \wf l= 16. i00P6i.

L' 4CttE J

OtÊend qe pode ser obtido 6te vâlor fa@iÌo*:

i l=ry . ' . 50'000

'3 . ' . r - - l6.7{xrÍ8.

se ro" uada a equ"ção { te-*e psâ vaÌor dâ t@ão 3*q - r:.s00 pui,

o quê não teú ÈisniÍióado, lna v€z que o êfeito de ÍlMì6s€m 6É pr@lte

Péla sittana rári.õ:

k) uP = -4: - og,t, orn,e * = tt{Íz-sl\/ t2

cÀI'- 5 r.LExÃo E FLÁìÍBacEn rÌt EÍ,EttENTos DE MÁeuNÂs

(ó) Vâlo. liniÍe de r/È pa.q Eo da f6.nüla de Joh$on:

L ,12( lJ( Í?J(20 X t05) -t - 1- .-_õo...: - toz

(.) Cúsâ oiticã:

. " "ao..i!l!L]Fã-3500x37sLI l , r r i i t ,zo x ro,r - - t fã : 103 .000 kc.

(d) Cdsa dial cob scsuânça:

P _ 103.000/3 = 34_300 Ès.

(.) Teúão de @mpreão eqüiyalentê:

- 3,1 300r I . ì

ô"= l lS Lr-orrz l=I l6okc/@1

25. Uma biela de 20 pol de comprimento deve ser pmj€tada paÌa suportar ua esloÌço axiaÌ de 6.000 lb. EmboÌa uma das extremidades da biela seja ügada mais ou metros Ìigidamente ao êmhotro e â orìtra seja ligada por meio de urn pino a um elemeÊto que se desloca em uma guia, convém usar o vaÌor C : 1. Dimensio- rar a biela rìsârido um Íalor de segurânçâ 2,5 e um mate al que {,enha teúsão dc escoamcol,o dc 40.000 psi.

(a) De iúcio não s súê qüal cquÂção â usr. a de Eul€r ou À de JohMn, ueÀ vd que não e mnìm o diâmetrc. Podae começa. pela de Eutq e dèpojr

A teÉão p€missíÉÌ é:

d" 40 000 --da = d.

= -_S_ _ Ì6 000 eÈi.

- F fov(Ukt '1 . , - ^^^

0.000 f 40.00n L!0.D/4r? _t

"q- a L-Í í*J "DÊ

L(r , , . ' ,úo, , rot . l '

Dú vom que D = 0,809po1 ou D = Ë/16 pol.

: 98,5.

Pára C = r, t = 30 X l$psi e d, : 40.000 psi a aluação de Eute. dôye r.I ü.!dr s Z/È for tuio qüe l2l. Desle modo a Iómula |lsmqdável 6 a .quú9ão do JohEloD.

111

+(ì?)

112 EriEìÍf,NTos oRcÂNrcos Df, ìÍíeüÌNAs

(d) Usaído a equ!ção dé Johnsn; D = 0.833 pol ou D = ?,/8 pol.

- , . " . _ " . L L 20v.r i tn acão t inol : i - , - - -91.4.

;D ì t1í8)

26. üm parâÍuso de 1 pol de filete quÊalÌado, tem o compím€nto €ntre a poÌca e o pivô de f5 poÌ. À cslga axial é

de 5.000 lb e o momento de io(ão aplicado é de 1.000 1b-pol.

Fâzendo C: t e desprezânilo o eÍeito dos liletes, deieÌmhâÌ o

fator de seguÉnça se o materiaÌ usado é aço coú uma temão de

escoamenlo de ds: 50.000 psi. Considerar o carregameúto como

dtático.

(o) o diemeh da raiz ; d" 0.783 ÌbL P..rúb. : =

q#' -?ó,ô.

(ò) O Ìalo. de t/È que d€tomi na qúl €quâção a Nú é:

L lt n-n 'íp=l " ,

- = t09.

E ião a fórÌúule a usü é a de Jolnsr coú ,/É - ?6,6.

(.) À teÍsão de 6mprc3úo eqüivalente é:

r . l= 50 oo0(?6,ój. I- ì(ÌtGtt(3o )alo9 -

= 13.900 psi.

(d) À tansão cisalhmte dêÌida À lôrção é:

I. r.oo0 (0,?83/2) -^d.=7 - fr[2ffiir' - r0.64oe6i-

(e) À tosão cisalhuie náxina é:

crp. 5 Fr,Exão E FLÂìrB-{.cEü Eü Er,E}rENros D!ì ìríeuÌNÁs 11g

(a) Do lÌobl. 26, a tensãô equivâlenÍe márina de .omp.6são é t 3.900 p6i e â máÌima lanúo de roÌção é 10.600 p6i.

(ò) A rê$ão equivalêntê noroel dêvida à cdsa yáriáÌet, com unÀ re.são

htuimá de t3.q,0 p6i, uúa

Yeiáv€l de 6.950 psi é:

, deKp, - ^-^ r5o.ooo,{2.8,{o gsoi

". =

"^ ' -;18c - o ""u ' ìat-õõõ, oÌ;ìlrl,

= ss ooo p"i.

onde Á : 0,7 (ceresandro aÌiaDi a = 0,s5 (ratuúho do eÌeDento); C = 1 Fob loi Nado o fato. de conenhâção de reDõe reat).

(.) À t@$o êquiyalêltê dc cisârhamenro deÌiala âo.oúesÀmento yeiávet, @m üm máÌim dê t0-600 p6i, umâ tedão média de 5.300 psi e uma t€nsão ÌâÌiável de 5.300 IEi éi

. =^ L otKio, ' r 1.^ , ,50 0oo) '0.n)r20r15 300) ^- ^-^"' "* - ì;4t - " "'" ' -Tfuoo-tõt ,õss;ìD- - 'n ** p'i

{d) À rensão equiÉtmtê de cisÀlhamhro deyida à .a.8e va.úyel é:

+- rçì* t rn-ç - {(t#) n * *'= *.zo.*'.

(d) À teEão de prcjeb, dênrú da *euúça, uá:

ï- - - - -=1V - , ra.200 p€i . . . N=0.65.

Um valor saiisfaióÌio de ,|r' s@is l,S; poúanro, o p.ojero não 6Íá sâtisfa!ório,

Obsere qu€ !o públema hâ du* rmsões e4È,:@Ìeul.s, ll@ devidã a uúú l.úão €quiú.ldÍe de @mplNão e n outú deÌida ao caúegmnL vdiá;t.

28. DeduziÌ a expÌessão da tensão eqúvalenre de flambagem, baseada na ÍórmuÌa de Euter.

Solucão:4Ìú\) = \/G1d2)z + ,] = (r3.900/2)r + (10.600)r = u 650 psi.

U) À rdsão de *oaúenlo por cisalhmeút é aprciEadm@rê de 0,5t,= = 0,5 (50,000) = 25.00OIEi,

o tato de s€€ur.nco s.á: ffi - r.e8.

2?. Ànálogo ao PÌobl. 26 apenas a cârga varia de zero ao náximo. Àdmitir o fatoÌ reaÌ d€ concentÌação de tenú€s K, paÌa

os filetes sob carga atiaÌ como setrdo 2,8 e &' paÌà os fiÌêt€s em iorção como sendo 2,0. O liúoite de lesistência à fadiga paÌa o materiat sujeito à flexão altemada é de 32.000 psi.

- C*ZEA F* CT2Er\í = -N\ukf ,

oDdo iV é o falor dê 6cdurúca. ,l a are e r = f

Fú:.ído N = -L no 'ïtima

eqüÈcão. trô*.

F Cí28 Ã = -N(L\EF

2 (1) (l) (30 X 106)

t*

F f d, , tLtk)z1

'.= À L-ifr{ J.

114 ELEITENTOS ORGÂNICOS DE ÍíqUINÁS

29. Deduzir a expressão da rcnsão cquivaÌenre, partindo rla fórmula de Johnson.

F..-o, ,^f t . qLÈ'11 F. - ! , 1 ' . ' " 'Ltü1.' " L 4í- t !D J- . \4 4 L 4C,28 l '

F _úaf1 6! tLtk\ ,1 4 NL A?t '1E l

onde ,^ú é o íato. ile sesurança, Á éaâ.eâe i' : &.

FuêDdo \ , -q @ üriD6 @Êcào. obtén,*.

r r | __l. . c l , " , , t h; l -- ' 8" ,8 - PROBLEIIÀS PROPOSTOS

30- l!Íostr& que a deformação proveniênr. da lldão, úa exrremida.tc de uma viqa €m baÌa.ço dc coúpÌimenro L .teÌida â Ìma carea Diforme@Dt€ diç t ibuída u lb poÌ rnidade de compriúenÌÃ ê úL4laEr: (@) usodo o mér.odo alo momcrro €slático; (ò) rNando o reor.na de Csristieo-

rr. I qudo s rúç,ipc eD dcer€u csrsbêr.,+r ma cq,,".ã. p"- e, (tÌ)

e por dupla integração mostre que a úáÌima deforúação ile uma üea em balanço de @mp.imcntô , dêvidâ â u@ carsa conceniraita p a ma die tânciâ de d úidad€ da exrretuidâde livre ê ò unidadG de e\rÌmidaitc fixa é

;;i (aò + 3or ns díremid.de üvrc.

32. Dêiemina. o afundâmento vqiicat d*ido âo moDento íletor Ìo poúro . : 6 p&a {m €lementô horizonrdl de coúpÌìm{to Z quando sujeno â uma fo._ ça.hoÌizoúrâl I asindo da .li.eitd pa.a a sque.da ê a uma disrâúaia de Ì Didad€ âciaa do eiÌo úcutú da seção onde r = a, dmo mqfua a IÌs_ S-j5.

crp. 5 FLExÃo E FL,rrtBAcÌrì1 Éìr Ìrr,ENENros DE rÍíeuÌN,4s 115

{ó) Us â tução êe d€êtau e spücu a dupta tut€eÌação.

nup., t - nìïrt - ", t t u).

33, Um €ixo de aço de 2 pol (5 cn) dc diânertu é rivÌeúenre apoiado eú dois mtucais 6epa.âdo6 de J0 poÌ (?j ctu). O eiÍo si.a a r.800 r.p.m. e suporra um wÌante nontado a meiadisrância ên..ê os hancÀis. euaÌ pode.â ser ;p*o do volture * se d@jâ op€rar s 50% da veÌ@idade eitica do eixo I Usd o méioito d ügâ @njusadâ pm dcrê.Einor a dctÌ.xão.

Fetp-: ! = 0,002_7toot (6,90 X t0 3cn) (viite Cap, S pam velo_ cidad€ úíica); p6o ito mtút€ _ tr3,slb6rkc).

34, Uú €üo dc iMmerm coBraniê é siDpÌemenre apoioilo nâs ê{rremida- d6: À disÍância etrüe os âpoio6 é 20 poÌ (50 cm) e üm p@o rle s0 ib (22,5 ke) é @Ìocado a 4 pot (r0 cn) â diÌêía do maacat 6qüeralo. O

"i,o a"r" 6.-ïr.800 r-p-m. e sabèse que a verocidadê Gftica BrlimÀ .ìê 2.500 r.p.n. il;á uúÀ

@di(ão d€ opeação s{ti!faró.iã. eüor o diâDer.o ninimo do eixo quo podê sn E{do púa qüe a yetocidade oííica ninida sêja 2.500 r.p.D.

n*p.. Defohação sob s cúsa:3.4r2lEI ea_ooolqr); {tiâúeho mí- tri@o do eiro _ 0.8t pot (2.D).

_ 35. Um ete de aço, ti{êmênre lpoiado ms qhemoq é fêito em [.ês Beçõd.

A p.imêira rem l2 pol de @mpÌimento e diâmelrc dDÌÀnte; a seaun.ta t€n 24 pol de conpÌimeÌio e t€m um diâúetro dupto do da p.im€ira *ção. À te.ceira a@ 12 Fl_dê ompDúdto e diâmêrro i8uaÌ âo da D.imeirâ s€ção. Carss con- cht.ada de 200 lb são apticads nos ponros de müdÀnçâ alê iliânêró. Môshd que a de8€Ìão em caila um d46 ponr.6 é 0,092.9/Da, oúde D é o diâmerú <ls

36. Um €iÌo de À@, simpìBmqte aFiado êm dois múcáis alisratries de 2 pé3. suportr ma.úAr compotrada de 200 tb â Bpot do msn.atà diRirÀe nma cdsâ ile 100 lb a I0 poÌ do mancút à èquqda. O .liâoerro do êiÌo é .oúrúte. M6íi& qE a deÍlãão @b a cuAÂ de ÌO0lb 6 0,002.44lÌ € que sb a ca.ga {te 2tD Ìb é de 0.002.2Ala

3í. Uú eiÌo dê âço é süporrado IDÌ mdcais 6p!çados de 5 pés e pGsui un di*ode 3_00!tba I V2 pé do edcâl êqueriro. O

"i," t"- u_ io"o a" u pot

que * eteDde d6de o ne&al direfto aié o centuo do itisco. Dermiqe a ãe- foÌeâção sob o dis.

Èc,p.: r:0,02?Dol.

38. Un €iÌo, de seção Ìêüa coNrdre e diâmerro ite 2 Fol é siepÌ*mate âpôiado êm dois m&úcaìs epÀçados de 30 poÌ. O eiÌo supo.ta iìDs mâsss de 400 lb câda. Uma der@ êrá locaìraila 9 pol à {rireit" it" *-*r *-_a"

"lout.r o epolà èqu4d.do mjDcat di.ejr.o. Dcl,"r@i,e o denaúoebc;da D4sa o a vclocidade c.ícica do eim-

lìcrp.: y = 9,912.4 Oo1. "êlocidade

críricâ - 1.680 r.p.m. (ver Cap_ S).

. _ 39. O;ixod. sçô de uús máquina Lem 2 Í pl)I dê @bprimctrro enrú m.n.ab,

^t(. 3 pol J diriü! dÕ nún".t equerdo s"u diâm"tro é dc 2 pot ê o reltsnt, rcm

ilinnitro dc 3 Íkt. trma c{rsú de r 000 Ìb 6 apticdq cm üm Í,oÌio siruodo n

it

(a) Usu o úétodo da Ìisa conjusada.

116 EI,EMEì{TOS ORGÂ\\ICOS DE ÁQT'ÌN{S cÀP. 5 Ì4,ExÃo E FÌ'1ì[BiGEM E}Í ELEMENToS DE IIíQUINÂS 1I7

ìrì6ÌÌ.: (a) r = 1,44 X l0 apol nos .lois roroÌes eÍÍem6, J : 2,31 X l0-. pól nos dois mrom inrêrnc.

(ó) y = 0,354 X r0 apol Íos dois Ìord6 €Ìtèmc, y : 0,532 X Ì0-a pol no6 dois rct rs turêrnos.

4?. Fatahel@r, usando o teorema de C6tisÌioo, uúâ equação genì pqÀ a fleha devida ao mmmÍo fle[o. em quaÌqueÌ 6cção de une ÌÈà $mpÌsúertê apoiada, dd s€cão Ìetã ünifo.úe sb ação de una cusa p, {pli.a.la como moslla a Fis. ç37- ,5ü36&,: Co6ide.d uma caÌsa e inasinÁÌia, âplicada a uma distânciq z ÍLo Mpo e equerdo. Á. di{âocia z é vüiáyel, enho. seia coEiderada

l0 pol do maúcal equerdo e outrâ carsa dê 2.000 Ìb é aplicada a umâ distâ@iÀ de 15 pol do m6mô ponto. Qual a deflcxão $h cada ctusar

Àerp.: / = 0,011!ol sôb e ceea de I 0001b, y:0,009.4pôl sb a.uga de 2 0001b.

,l1). Um eiÌo de 4 pol de diâmei.o é siúplcÈúentê ap.iado em dois maÍcais sêparados de 48 pol, No seu .eniro cxisl,e uma ms.cnaseú Fcúdo 3.000 lb- Um fNo de 2 pol de diame[ro fêito nD cent.o da *aão .eta Btendl:s por la pol â paúir do maúcal Bqnerdo e nô sdrido da enÁrenâõrem. N6re po o o diâmetro do fuo dimiüui poú Ì V2 pol e o füo coniiÌ,uã ãté a extremìdade do eixo. DÈ t€.mino. À defirrDâção sb a engren€aem poÌ três preGes difêrent6 e a Ìelo- cidade c.iticu do eixo.

llesp.: / : 0,018.9 pol; vetocidade criticÈ : 1.365 rp-ú. ($ Cap.8)-

41, Um êixo de âço de 30 pol de eomp.im€trto 6tá apôiado nG dt mos em maícajs. Do nancal esqucrdo ató um ponto situado a l2 pol à sua di.cita o cixo tem um diâm.tro de 2 pot. O r6túte do eixo tcn I V? pol de diâneto- Dua fo.çâs de 400 lb cadã atúam, uma úo ponto onde ocore . müduça dê diâ- metros ê a outra no ponto médio do irecho de mdor diametrc. Usmdo o método da visà conjusada, deíerniDú { dcflexão sob cãda Iôrç4.

ìì.sp.: /=0.038 Ìpolsb a IoÌ94 à 6querda,

1 : 0,037.4po1 sb a lorça à dircita.

42. Uú eiÌo de aço de 45 lol de compriúcnto 6tá apoiado Íos en.€n6 €n mancãis- O ciÌo é dividido em trè po.çõs de l5 polì a du6 poÌçõ€ eíÌômâs têm um diânerro de 0,?5D e a ccntÉl tem diâmeho I,, Ilavê.á uma cuea on-

.ent.ada de 4.000 lb €m (ada ponto de mudúça d€ seção. Se 6 defÌeú6 rc ponto6 ondê as cds6 €tão lplicadas Dão !ôdêú Ìli.ãpassd 0,001Pol, quã1 sú

a deflexão mánma do cixo I Dsprczd o p6o própÌio do eüo.

Âerp.: D = 6,15!ol: t(máa.) : 0,001.08 pol (no cetrtrc do eüo).

43. Um eüo dc aao 6tá simpl4mente apoiado €m dois m@ais, *pa- Ìedos de 30 pol. O eüo tem um diâmelro de 3 pol em rm t@hô dc 10 Pol a paÌtü

do mancãl à aquerda, : V, pol eD um tÌeho de I pol e 2 Ibl nos Ì6tútd 12 lDL O eixo suporlâ uma calga de ?00 lb em rn pontô sitüàdo a r0 pol à dircita do

n'úcal sqnedo. D€lcrúitra. a fleÌão sob a cüsa. QuÍI será â vel@idâde

r.sp.: y = 0.005.6 pol veÌocidade üítica - 2. Í00 .,p,m. (ve. Cap. 8).

44. Uma árv.re de 2 pol de diâmetro e 60 plll de @mprimento Ì@lE trm monÊnio de torção de 10.000 lb.lol po. intemédio de uDú polia situada na exlrernidade esqoe.da. Uma etrerenasem situada a 30 pol do maÍcal à equerdâ

t.ansmite 6.000 ìb.IDÌ e out.a engrcnaeem nâ enremidâde direita da áryoe

t.mmil,e o r6iante, CâÌculd o úáxido uaülo dc Lorção da árvüe Ete

@odiçõ*, dAprczhdo{e o efêito ds chayêts. Toútu G = 11,5 X 106!€i.

Àerp.: 1,3350-

45. Estâhel€cer a equação da fleha devida ao cisúIhúento p&a trma visa simpl6mdte Èpoiada eb â ação dê um cúresmcnro uiloÌúè CoúprimeDto dÀ risà ,. CaÌsa ú Ìb/pol.

-Kú-"KuLzLt l4p-: ! ! * r l r r ' ) r y(oar.) - aac ao pon@ r =

2.

4ó, Um eixo @, ilê aço, de 6 pol de diâmetro exteDo, 5 r/9 Dol rlè diâmebo inlêúo ê 30 pol de @mp.iôúro 6rá simntÈmêDrr spoia{Ìo e;uporto qusrrc ÌotoG d€ ieual p@ e igtraÌmêria Gpaçados de ó pol, como mosha a Fis. íJ6. Csda rorôr p6. 80 lb. e.tudo âí in,luido t/4 dô peo dô eirc, Dê|.rmúü: rar a ÍlÈhâ Fdmiolê dô momento fteror sb os ponrq .le aplicação ds cúg6; (ò) à fleha prcvedetrte do cisalhúenro sb os ponios ile apticação {Ì!6 .dgtu.

05'E'

Fis, E_Az

i:oútante ao * det€mine o r.alaÌho de defomúção. A disiâDcia : é liDiíada po. 0< r< 4, poa o dias.úâ de úoúmro fl€to..

'ri6,+6+6r:

*

118 rxrNEìiros oftciì\'rcos DE nÁQúlN-as

Ràp-t y = -:+ lL' ò' fl. lì"ta €quÂção é váÌda pm

0 < / < a. De üm nodo tuáloso deternina*ê a eqüaoão que dá âs fl€che à dirciia d€ P.

PROBLEMÁS SOBRE FI,ÀMBÀGEM

rÍ8- Quâl o etorço náiiDo perúisíyel de cofrprarsão en una büE de 20 pol de comp.imento € seção trúÈveEal dê I pol X 2 pol, salEndo* qD

o Iaüor de ÈegdançÀ dev€ s 4. À iensão dc 6@amdto do úÍsial é dê 40.000

Rêsp.: Púa Llk = 69.4 lse a ftumula de JoüMtr. r: r6.7501b.

49. Ànáloso ao 48 m6 f&êído C - r/4.

Ã?sp.: Pea ,/È = ó9,4 Ns a equacão de EuteÌ. F: 7.6701b.

50. UDâ biele tem 60 ÍFl de comp.imnlo. Detdhire sn diâúeho €aheído quc 6tí süjeita a ação de uDa cúga 4ial dc 2-000Ib e qE o aco ile quc ê feira tee psa lidite de @oammto 40.000 psi. Àdmitir uú lator de segurúça4eC=1.

IÌ*p.: ^püca$

a equâção de Euler. D: r,58pol.UsdD = r 5/8pol-

51, Um p!.afuso de Ì pol, I@a quâüad4 tem uú @úp.iú@to de 40 pol

etrte apo.cae o pivô. À cesa üial êde 2.000Ibe o momúto de tdção âpli- csdo é de 1.000 Ìb-Fot. Àdotando C: I e dgpreando o eifeito dos {ilet se

.úc6t.aqão de tensõ$. detêmine o fútoÌ de *eueç., sabeÍdo qE o diâmêtrc da roiz é de 0,7a3 pol e que o úâte.ial tem üúa Gnsão de @ommto iernl a 50.000 INi-

IÌ.sp.: Àplicâaê a equação de Euler Te6ão eqüyaÌdte de flmbÈ geú = 14.800 psi; teúão de to.ção = 10.600 psi; r€nsão úán- úã de.isalìamcDto: Ì2.900psi. O fabÌ dê sesütuça l|a.a uma teísão ile 6coamento ao cisslhamúto do 25.000 Fsi é r,93-

Projeto de Elementos de Máquinas ob r'. - | a- \ / .-d ^çôo

oe \-ôrgds v ôflôvets

C apítulo 6

O pÍojeto de elementos de máquinas sob o ponto de visra da resistência é um dos estágios necessários ao seu alìmensio amento Íinal. Normâlmente estes estágios conôisrem em um arranjo cine- mático, uma análise de íorças, uma escolÌra de matéria-prima e, finaÌmente, um esboço das propor@es do elemenro que se projcta. Bste esboço pode ser orientado por yáÌios Íarorcs, quais scjamr resistência, Ìigidez, yelocidâde crítica, aspecto, corrosão, fâcilidade d€ fâbricação etc. p

À Ìesistência de um elemelrÌo de má- quina é in{luenciada por ytuios fatores, quate Bcjam: corÌcenirâção de tensõcs, {adiga pro- veniente de cargas variávcis, choque, acúa- mcnto superlicial e tamÌrém pelo seu tama- nno.

A concêntragão de tasõee pode ser cousada poÌ qualqueÌ descontinuidade como íuros, variações bruscas de seções, entalhes o dcÍeitos superficiais. I m exnmplo tipieo do concentÉção de tensões apârece na Itig.6-1, onde wernoe um Íuro de diâmetro d cm um elemetrto sujeito a um esforço de t.Içõo. À íemão adduire seu valor ná:xirro ôm pontos muito próximos do Íuro e pode- mos admitir que:

o(mâÌ.r : r1r - ,

Fis.6- l

120

P

A

Kt

Er,!r\r lr\ros oRcÂNlcos DE ìr,íQsrr.tas c.\p. 6 ET,EMENÌ9Ê soB â Âção DE cÁÌaÁs vtÌhtÌErs

"" = i [ . (ma')+í- in)] . s, = ] [<maxr-s(tr Ì i i ) ]

121

calga axiaÌ total, lb;

área liquida da seção contendo o luro, pol";

Iator teódco de concentmção de tensóes çalor geonú- Irico).

Na determineção dos vaÌores de Kr usam-se métodos expeÌi- mentatu como a anáÌise Íol,oelástica em modeÌos dc plásticô, seme- Ìhantes à peça. Sob a ação ile eargas conslantes, os mat€r;ais dúcteis não são tão aJetados pela conccntrâção dê te sôes como a anáÌisc fotoeÌástica possâ sugerir, poìs há uma redisiribui€o de tensões em yiÍtude do escoamento do mateÌiaÌ, quando aÊ tensões âtingcm yaÌoÌes iguais à do ponto de cscoâmcÌìto. Os mateÌiâis qüebradiçrx, como o feÈo Íundido, sob a ação de câÌgas constântes, estão sujeitos à concentração de tensôes tão vioÌentas quajlto as ;ndicâdâs peÌâ anáìise ÍotoeÌástica, pois, de um rnodo seÌal, não há o escoamento do materiâl. Sob a âção de cargas vaúâveis, a re- sistêrcià à fâdiga, mesmo nos materìais dúcteis, sofre um conside- rá].el decÌéscimo devìdo à conccntÉção de tensõcs.

O índice de sensibilidade q do mateúaÌ pode ser usado para determinar o fator de redução rle resistência à Íadiga ou faior pú- tico de concentração de tensões Ì(/ em fuÌÌção do fator teórico de concentmção dc tensões fr, para o caso de cargas variáveis. Ya- lores de q e Ì4, podem ser encoÍtÌados no livro Slress Concenhaft-oa

'Faclorc, de R. E. Peteìson, ou em quaÌquêr outrc liYro que trate

Kt lq - f f i ou K1 - t ' lq(K l )

q : um valor experimental do índice de sensibilidade devido à concentrâção de tensões Seìr Yalor Yaria de 0 a 1;

K, : valor t€óÌico do fator de concentÌação de te.nsões. Va- lores módios rão de I a 3, mas podem aìcançar vaÌons superiores a 3;

Kr = valor pÌático do lâtor de concentmção de tetrSes' que

seÌïe para determinar a redução da Ìe3istência à fadigâ

do mate aÌ.

As t€nsões vaÌiáveis podem ser classilicadâs como: (a) co.Ìr

rct)ercão compleíÍr.t (b) rcpelida entìe os no,lDres zero e móaíno; (c)

*pelidat (ú cam reuersão parcíal, segundo mosrra a Fie. 6-2. A ücnsào mâ\ima é o major ralor otgêbrìeo e a rcncau min;ma é o menor vâloÌ aÌgébÌico de uma tcnsão variável. À rcnsão média ír- ó a médiâ entÌe as t€nsões máxina e míninÌa. A reusão variáveÌ d" é igual à metâde da dilclençâ entle âs tensões marima e mínima.

d': + Ír (Ìnáx.) + r(nfn.), o":i k(máx.) - o(mín.)l

(ó) R.F.tid: .'tf. o. (.1 R.P.rid.

t----ï "t-t '

Fis. ó-2

O Ìimite de Ìesistência à fadiea de um mâteÌial é determi- nado expeÌimentalmcÌìte girândo-se um corpo de prova quando sujeito a uma Ilexão. Curvas típicas mosrrândo a resistência à fadiga de mateúâis Íenosos e nãojerlosos aparecem na Fig. 6-3.

ro. 106 r0. 10t r03 &e .|.|ú d. n í. ..m rhrra. oônd.r.

Í.ie. GJ

Convêm observar que o limite de resistêacia à Íadiga para o aço deste corpo de pÌova é definido como J5.500 psi, porém o alumírrio

!

t È',s

l í?r-N-Ì-fïiï

123122 trÍ,EúENTOS ORGÂNTCOS DE üáqI'IN'ìA

não tem ümite de Ì$istência à ladiga deÍinido. O vator do timite

de Ìesistência à ladta é de 35.500 psi para câÌregamento à flexão'

onde üm pontô qualquer de libÉ externa é tracionado e compri-

mido aÌtemadamente do mesuro vator absoÌììto. À Iim de evitaÌ

co usão, â erTressão Ìinile de resislència à Jadrga serâ usarla apenas

para lÌêxão òorn É]rersão completa. PaÍa outlos tipos de caÌÍe-

gam€nto,.a erTressão .cs;slância à Jedíga s,e üsada quaÌÌdo se

quiser eqnimir a capacitlade do úateial de resisiir à ladiga' e o

vaÌor não for o. obtido do ensaio acima ciiado, ou caso o mateÌial

não tenha timite delinido. O YaÌoÌ dâ resistência à fadisa difeÌirá

do Ìimite para solicitações diÍercntes do ensâio (r€vemão incom-

pleta, torção e carya üiais, por exemplo). Na Fig. 6-4 vèse o grâfico de Goodman modificado paÌa tensões Yariáveis; ÈsiEtêftia

à ladiga velsus tensão média. Cada material testado deveÌá ter

seu aliagrâma de Goodmar caracl,eÌístico, CoÍtÌÌalo, se não se

dispõe de vaÌores de testes, podem ser construídos diagramas de

t,€. e

Goodman aproximailos paÍa mateúais dúcteis, admitindo que o liúite de rceistência à fadiga soÌr c gas c,orn reveÌsão completa

será apÍoximadamente iguaÌ à metade da tensão de ÌupÍura do

materiaÌ. Recentem€nte, yalores de resist3ncia à fadiga têm sido

representados em gráficos como o da Fig. 6-5' Êste gr.Áfico mostra

a Ìelação êist€nte entrc a linhâ de Goodman modificadâ e a de

Soderberg. Tomarenos a ünÌÌa de Soderberg como base de nossos pmjelos. Se usarmos um fator de seg:uÌânça N tanto pâÌâ o limitc

c,lP. 6 ILELE^-TOS AOB Á ,rçÃO DE C,\RC,{.S V,|Rrí\Ets

3 EÊT

t: I

ÌdC. nab

fis. 6-5

de Édst€ncia à fâdigâ como para a tensão de eÊcoamento, podemos traçâÌ Dma linha CD, paralela à ìinha de Soderberg ,44, cono mostra a Fig. 6-6. À ünhâ CD pode então ser considerâda como

Ten.ão Dédiâ Fig. 6.6

um! linha de t€núes dentro da ÊeguÌança N. Por uma simples ümclhança de triânguìos, podemos mostrar que:

l t -d,

ct

 íim de transfonnar a expressão acima em uúa expÌessão de dlmonrionamento, o valor experimental do limite de resietência à íldlgo a. eob cârregamento com ÌeveÉão compÌeta deve 6er multi- pll(tdo por fatôres que Ìevam em contã o tamanho do eÌemento, o lolbumonl,o Bupeúicial e o tipo de caÌregamento, se de torção ou rrhl, oo inv& de llexão. As tensões vaÌiáyeis calculadas podem rÍr ôrrnont{das mì tiplicatrdo-se-as por 1í, se se estiver Ìidando i{nn rrntrriois dúcteis. Para materiais qxcbradiços, o Íator dccon.

ì-r*- -*.,- o. "",'-

*.'

t

!

f*

124 ET,EITENTOS ONCâì{ICOS DE MíQÜINÌÀS

centração de tensões teóÌico der.e ser aplicado à tensão média e o fâtoÌ ile concetrtração de tensõe8 prático à tensão yâÌiávê1,

r , - , &6, N: o, T 6"AuC

pala

axiaG, mateÌiais dúcteb sob esÍorlos

I o- .. d"KI

\ - ;; K'+ 'J

ite ,*" mar'Frìais quebrâd;(r6'

I o^" Kt o- . - -- + =+;ï

para mater;ais dúcrpis sob ação de êslorços cisalb a o LeÊ,

r! : tensão de escoâmento sob tração ou compÌessão; deye receber o mesmo sinal que a iensão m&ia r-;

d- : tensão média normal, psi;

dm: tensão média cisalhante, psi;

d, : tensão YaÌiável normaÌ, psi;

o,. - lpDsão variável cisaÌhartr, psi;

o, : ümite de resistência à Íadiga do material sob ação de íìêxào com rêv;sâo .ompÌetâ, psi:

Il, : Íator de coúcentÍâção de teNões teórico;

,Kr = Íator de concent ação de 1€nsões prático, baseâdo no índice de sensibilidade do mâteúal;

,4 : fator de coÌreção para o lipo de caÌÌegamento: 0,7 para carga variável axial; 0,6 para carga vaÌiáyel de torção;

B : Iâtor de coneção que Ìeva em conta o tâmânìo do eleúento, uma yez que o corpo de proya lem um diâ- metÌo de 0,3 pol (0,75 cm); 0,85 para elementos variando de 1/2 pbl a 2 pol (r,3 cm a 5 cm);

C : fafôr de corrcção que leya em conta o acâbamento superficial, uma rez que o co4)o de pmva é poüdo- Àkuns valores de C para supeíícies usinadas e Imra aupeíícies Ìaminadas a quente apaÈc€m no quadÌo a seguir.

câ?. 6 ELEf,TEìsrOS SOB -r ÀçÂO DE C-{RCÀS V,\RÌí\,Í$ 121,'

-i0.000 40.o00 90.000

r00-000 t10.000 t20.000 150.000 200.000

0,?2 0,ó8 0,62 0,58 0,55 0,50 o,48 0,38 0,30

C

0,91 0,90 0,88 0,aó o,s5 o,84 0,42 0,?8 o,72

c

À : fatoÌ de secuÌânça qÈe leva em conta vadações de pro- pÌiedades do materiaÌ, falta de conhecimento preciso do carÌcgamento, dúyidas sobr€ as premissÂs adotâdas, a mãode-obm inperfeira, possiveis reduções na du- Ìação, custo da interrupção das máqìinâs ou manu- tenção, deliciêücia d€ dados de ensaio etc. O vaÌor de N varia de 1,25 a 3 para pmjeto! comuns dependendo do maioÌ ou menoÌ conhecimento dos delâÌhes do problema. Valores maiores que 3 podem ser usados quando temos grandes dúvidas e as conseqüôncias de falhas no pro- jeto são müito sérias. À escolha de -N é uma questão de prática € boú-senso.

 .enâão máximâ equivaìente de cisârhamento 7." (nnaÌ.), quardo teúos uma tensão normal e uma cisalhante variáVeis, pode 8eÌ determinada usando.se a teoria das tensões combinadas. À têDsão normal equiYalente ê:

, , , ío" \ ì ; to,d,,_d_+\n)zac

A t€úsão de cisal[amento equivalente é:

/ - \ L '

c- - 6^"+- -" \c" / ABC'

0ó6.: Usar á : 0,6 e dc.: (0,6) (a) nesia equação quando aô lrabalhar com materiais dúcteis.

A tensão máxima equivaÌente de cisalhamento r", (nâr.) para nrteriais dúcleis pode ser obtida por:

r., (máx.) : \/e ".")" + ("'^y.

126 Er,EÌÍENTos oRoâÌ.rrcos DE u-ÂesD{Ás

Pode-se então ter, Íinalmente, a equação de projêto:

i - \ / t i 6".) + to,") ' .

Oòs.: Usar'a," : 0,5 ('! ne8ta equâção.

A tensão roÌmal equivâlentê máxima a ser usada quatrdo o projeto enyoÌye materiais frágeis é:

c.. (mtu.) : I "- t r/il "..r + t"-f . Podemos então tcÌ, finalmente, a equação de projeto:

* - id" , I Vf l " . . r '+to,r .

O vaÌor da telsão de eecoamento ao ciÊalharÌÌento, tv,, para ser usado na €quação da tensão de cisaÌhamento êquivalent/:i d-, deve seÌ tornado como 0,ó vezes â tensão de eecoanrento sob esfo.ço normaÌ, o que estâ totalmenie acorde com os dados experimentâis. Coniudo, o,,, deve ser tomado como 0,5 yezes a tensão de escoa- úento sob esforço nonnaÌ para ser usâdo na €quação de projetô sob cisalhamento máximo. Esta equação tem como bâse a teoria da fraturâ peÌo cisalhamento máximo quatrdo considera a peça sujeita apenas à tÌação.

PROBLEITÀS RESOLV )OS

Ì: Uma biela de aço ÀISI 8650, tempelado em óteo a Ì.500'F (8-16"C) e rey€Dido a r.000'F (538'C) estâ sujeita a uma carsa a.íiãl com ÌeveÉão conpleta de 40.000 tb (18.000 kg). DetermtuâÌ

.o diâmetro da biela âdúitindo um fator de seguEnça N = 2. Des- prczar os €feitos de flâmbagem.

Às prcpriedadB dêse úaterial 3ão:

ELDJiT\rOs soB a ^qÃo

D!, c$üì.\s \aRtí\,Trs 127

A têNão Ìdiável é

F 4F 4x40.000

t' 4F ' A ttlt '

O fator de corrcção dã .6istêncir à fadisa pa.a cÀrgas axiàb é á - 0,?,

O rab. dc dÌ.eção da rsistência à fâdiaa pa.! o ramÂnho, admirindo al> |Áíút, ê B = 0,A5-

O fal,Ì dc corrcéo dã.eshtência à lÃdiga par sup€rfries usinâdtu ó C - O,g.

Àdúitirdo que ìão hãju con hr.ação d€ tensõÉ! r, - 1, vem:

1 _ú^ + Kto, Ì :n, N ov drABC

o) (1) (.10.000) Íd, {ï?.500)í0,?) (0.85) {0,8)

tI : l,66pol o! .l = l pol-

cÁP. 6

i :o* (D (4) (Ì8.000)

rdr (5.425) (0,?l (u,851(0,u)

ds : 155.000 psi = r0.8í Lg/@'

d,: r32.000psi = 9.24{, kg/cDl.

r": +d" = à 155-000: ?7.500 psi

o, = t 6 "

: t 70.850 = 5.423 1<sl.m2.

2. Uma baÌm de aço ÀISI 1025, Ìaminada a qüente, está su- j eita a um eslorço de torção que vaÍia de - 1.000 lb .pol a 4.000 lb .po1. DeterminaÌ o diâmetro da barra sendo N : Ì,?5.

Âs prcpnedadG dét úatoial são:

r, = ó?.000 psi; d, = 45.000 psi.

Âdmite+ qüe í. : à 6?.000 : 33.500 psi púa flqão g:lternada e quc a tc6ão de ecomerúo sb cisâlhamenro é 0,6 da sò 6fo.ço norÍnal:

de, - (0,6) (4;.000) : 27.000psi.

^dmitiÌ tmbém que não há cÕq.enr,reção de t€Nõe, KJ = L

O fator d€ dE€ção püâ o limire de réisrência à fadisa sb momeíro de ro.ção ó ,,1 - 0,6. O fato. de co.reção pea o tiDite de r6isrên.ia à fadigÈ, pú! o ia- múlfo, admirindo-se d > 1, Fl e: B : 0.A5.

O fâto. de comrqão pú.a o limitê de .6islê&ia à tadjsà para maloiais lãmi- ntulor Í qu€ntê c t@do d, - 6?.000psi é C = 0.68.

^s te6õê média e vúúv€t 6ã0 füçõe! do6 momenrG nódio e yaiáyet.

O moDeÍto médio é:

7- = à l"(mâx.) + r(nín.)] - àt4.oo0+( r.000)l = r.5o0lb.pôÌ.

o nomenco leiáyel é:

'I, - à l7(má'.) -

"(-íú.)l = à [4.ooo - (- ].000)l : !.500 lb.pot.À tênsão mêdia é dã

= 0.

128 ELEMriNros oBcÂNrcos DE rÍÁqulN:rs

Então, para qualqür lonto da su!€ ície eÌt@a. teq4:

T^c lõÍ- 16 X 1.500 24.(D0

' * - j =- ;d.---_- ' / , ' - ; r

Tn 16I" 16 Y 2.501 'Í).{l0O

Substituiódo no equcão dp pÍojelo. vcm:

I d-. Atou | 2'Í.000 (dr) 27.000

. (r) (40.000) ' LÍdr) (33.540) t0.ó) {0.85) (0.68)

e d = 1.34 pol. Usd d = rtó pol.

3. Uma viga em balanço, feitâ de aço G1025, estirado a ftio'

tem seção circÌilaÌ e esiá sujeita à ação de uma caÌga que varia

de - F a 3F, como mostÉ a Fig. 6-?. DeteÌminâÌ o eúorço máximo

_lFig. G7 que este eleÍnento pode suporta. pâÌa vida iüíinÍa' âdmitindo N:2.

A aüáÌise fotoelástica de um modeÌo indicou rr : \42 e q : o'9

para adoçamentos de rl8 poÌ de râio. ÀnaÌisar apenas o ponto

de úudança de seção.

O !ço C-10:5, Glirâdo q frio. pcsi 6 prcPriedâd6:

K1

B Ç

- 68,000 Éi

= I +4(r. - l) - r + 0,9(1,42 - l) : I,3a

- I, pois o cìcmento 6tá 6uj€ito a mommto Iletor

= 0,85, foíoÌ de cor€Éo què IeYa eú dDta o tmdho do d@tD = 0,88, Iator de conegão q@ Ìera d .ont o a@bmeDto spnfEial.

O mommÍo fletor na mnddça de seção vdiâ dê 5f â Ì5P. À teEão

coú6potrdeÍtê Do ponio Á eú fução do momdn flPLÌ ó

52Ìtt : a!5[t

cnl,. 6 Er,Ei{ENlros soB Á Âção DÌ cÁnc-{s v,rRrÍvErs

Então r(min.) : (8Ì,5) (-5t) : 407.51c d(máÌ.) = (81,5) (lsF) = 1.222,5F 6-: + Ir.222,sF + (- q7,5i.)l = 4o7.sF- o, : t 1r.222,5F - (_ 4n1,sa) _ stsa_

Suü€íiruin4o 6rs vslorcs "-

: = S4 + - !-L1\ da úa AEC

Ì _@1I4r r t .38'{8t f ,Fì 2 68.000 (40.000, (0,85) Lo,ggr

Àmlisadc 6 úètr6õs do ponb B rm-&:

ú(míL-) - \222,5F d_ = +Í441,sF + (,1.222,5F)-1= _ 4ô7,5F d{mtu.) : +,()7,5r ú,:+14ô7,iF (_ 1.22r,sr,) = +stsa.

subsür,ubdo êo *- ! :+J!*- e ob€rtúdo que o! rpr6 s inat n.g€-

úvo paú dnMdd @m o siúsÌ neeâtivo iÌa ÍeÍ6ão mêdia, pode* (É@t?.:

t_ 1o7.5F | í t ,38)(8t ' f l 2 ó8.000 {40,0001 (0,8S) (0,88) ' ' '

4. Uma ba.Ìa de seção circuJar de açô G1025, estirado a Íúo, está sujeita a ÌÌm momento netor vaÌiarldo de S.000lb.poÌ a 10.000 Ìb.pol (5.?50 kg.cm a 11.500 kg-cú) e a um esforqo axial vaìiando de 1.000 lb a 3.000 lb (4S0 ks a 1.850 kg). O momento ÍletôI máximo ocorre no mêsmo instarte que o csforço axial máxirno. DetexminâÌ o diâmetÌo da bana, admitindo um Íator de segürança N: 2. DesFezar a concentâção ate teDsões e o eÍeito de flam- bagen e basear os cálculos na mánima tensão cisalhante.

PaÌa o aço C-I025, etiÌado a ÍÌio, teú-se:

ú" : 80.000 psi (5.680 kc/cm') B : 0,85, IatoÌ de correção do râmanho

r, : 68.000 psi (4.?90 ks/cm,) C : 0,88, ÍatoÌ de correção do acúamento supeúicial

d" : 40.000 psi (2.820 ks/cÍr,) á : Ì,00, paÌa JÌ€xão

& =L Á : 0,?0 para carga axrâÌ

Déldúitrscão dá reÍsão tumsJ equj , atflü , (a) Os nomentG nédio e yÈiáyel, il€yidos à flexãq são:

I4r :; (5.000 + 10.000) - 7.500lb.pol M, = + (10.000 - 5.000) - 2.500lb.pot.

t30 dLEúENTOS ORCÂNICOS DE ]IíQÚINÁ.S

U. x2r,I (32) (?.s00) M. 12!í rrzÌ e.s00)ú-- r

= - Ìd? = nal - ' ""=-

= -"d" - " - .

, otK!o" í32r r7.500, , rõ8.000, t1) (32) (2.500) -" ' ' " o"4BC Ìdi fdr(40.000) ( t ) (0.85J (0,88) -

134.000

q{P. 6 ErrEÀÍE\'llos soB Á ,{-Ão Dn crRcÁs vÂRrÁvDÌs 131

. t54.000 3.020 d- üobr -

-;-

+

-:

= -ri -: - 2.3e5.

d: '1,12@.

5. O eüo Sr €sú dmndo ro seEtido dos pont€iros do rclógio à razão de 1.200 Ì.p.m. e suportâ uÌÈa caÌga concentrada üão- -bâlanc€ada W : 8lb, cujo centÌo de gravidade descreve uma cir_ cunÍeÉncia de 2 pol de laio; eÂta carga está situaila a meiadistância ent,t€ os epoio€ Á e I, como Eostm a Fig. ó-g. L ma carga verticsl

c

Fis. G8

I

(D) Ás foÍça6 úédia c yariável, desidas ão 6forçs aiàj, são:

ìc- : + (r.000 + 3_000) = 9.000 Ìb ; r', - à (5,000 - t-000) - 1.000 tb.

(2.000)(4) (68.000)(1.000) "' ;r- -;ttúoior,/ ú.?o) O.e5, (oisl

(.) Tensão no.úal equivar€úe íot"l

134_000 6,690dd rrc.ar) : +-

(d) Isuãlando o Ìaìor âcimâ a

Ì34-000 6,690 d- 68.000- ;á ' 'T- ty- z € dài tira-sé, por tentariva, o yolor d : 1,625po1,

Pelo sisbr.a mêIrico:

IÌomÊnto devido à tlexão

Mã : +(5?,5 + 11;) x r0' : A.625ks.@ M, = + (r15 - 5?,5) X tot : 2.8;5 ks.cD.

32 (4,625) 3212.8?5ì - Ìd'

32 {8,62s) 4,i90 (l) t32r lt_8?5) ttrr fd,,12.820) (lJ (U,85) (0,8a)

32 Ì<r nno d- =

;;a (s o2r * a.slo) - -;-.

constatrte ,I/r : 1.500 lb é apücada através de dois maìcais anti- ÍÌicção, locaÌizados nos potrto€ C e ,. Se o marerial do €ixo tem t, - 60.000 psi e r,:45.000psj, guat o diâmetro do eixo na Seção A-Á para se tÌúalhaÌ coú uú fator de seguÌança ,ry = 2l

Considerar apenar o ponto -P.

O) ^dnirir

d" = +- io-000 psi; Ií, - r; .4 =0.8s; C=0.9.

(2) M6r.ar que o momeDto fJèror deúdo à carea oraliya Ì$ia dc -ó.640 lb.rúl ! 6-540 tb.pot.

(3) M@tre que o mo@dro fleror devido À ca.ea ve.rical coGrúre é ieuaÌ . ?.!00 lb.!ot,

(l) O Eoménto fleíor @nbiúado vüia dião de 960 tb.pol aió 14.040 tb.!ot.

.(l) Pân o poúta P, ep|@ntado Ía Fis. 6-8, o momêtrío de ld.0,r0 tb.pol

ÈíNÍ'r 'rmp!úÃo

@queto que o de 960 lb-pot Foduz traçÃo.

6.690 .: -7- (pera cúsd dúr).

I'-: à (r.350 + 4so) - 9oo l€ r" = + (eoo):4soks

900 (4) 450 í4ì {4-;90) " td" (Íd:) (2.820) (0.7) (0,8s) (0,88)

4 (450) .^ . ^ -_- 3.020

13! EI,EMENTOS OBCÂNICOS DE MÁQI'INÁS

(ó) Ás teÉõ€s náxina, nitriúa, mAiÀ e Yeiável' Êão:

, . - (32) O4.0rl0) d(max,J -

_-_ ---;- 14r.000

- 143,000 + 9-775o^--_

+ 132) (960) + g.Tls o(mií.) =- r-;-: - -ã-'

9_zi5 _ (_ 1,!i',000) 6,-- .à-F-=

66.ó10

7639/J

6. Uú aço Iem d":90.000 psi, d,:60.000 p€i e d.:30'000 psi'

pÂÌa lÌexão com reyeÌsão compÌeta. Esboçsr o diagrâma de Good-

man modificado. Indicar no diagrama e dar o YaloÌ da tensão de

fadiga para o caso alo caÌÍegaÉeÈln variaado de zem ao márimo'

| ún Kr 6, N

= a" r;;Ãfr

f (r) (?6.390)

' 130,000) (lJ (0,85) (0,9o) dt

66.ó10 , -

_- 4s-000d, -

.l - 2,r2 Fr .t d = 214 vn-

I I

B

Fis. G9

&ìoça+e o itiasms <le Goodúú, @no ú6toa s Fis- G9. Àlbha ?VP

.epr$dta o vâlor da reistêÍci à fadk! pea o cg) de Í,@8!múl' vdiando

d6 z€ro ao máxiEo. Os valoB podôú s detêúi@d@ de uú diasrda I€iiô

eú êscala ou êttão de cárculo.

cÀ?. 6 Er,EMENros soB À ÁçÃo DE cÁÌcÁs vÁÌúvüs 133

Os tÌiâúsulos semelhant6 ÁCB e ANT dío.

-fL - "o ooo ..-

^ r = 67.soo ps,.90.000 120.000 _ --_

Então: M?V - 22.500 psi e -^{P = 45.000 pci, @â vez qu€ ,r',4 ó una linba

7. Uma árvore de aço laminado a quente está sujeita a um esforço de torção que vaÌia de 3.000 lb poÌ no sentido dos pontciros do relógio até 1.000 lb-pol no sentido contrário aos ponteiÌos do relógio, eÍquanio que um momento lletor apÌicado numa seção críÍica yaÍia de +4.000 Ìb.poÌ a 2.000 lb poÌ.

^ árvore tcm

seção lransvelsal üniÍorme e não há rasgo de clìaveta na seção críticâ. D€terminar o diâmetÒ paÌa um materiaÌ que tem ús : 80.000 psi, o,y : 60.000 psi e d" : 40.000 psi. Ádmitir N:1,5.

(u) DetdoiÍat a l€osão nonâl êquivalênte deyida à fldão.

_ _ (32) í4.00{) d(oaL, : - ,

[(32) (4.000t + [ (32) (2.000)] "* - z"a"

- (32) (2.000)

r0.200 -

d"- ,

[(32) (4.000t - l-(32) (9.000, 30 600 %=' ' . i ;T-=.{

A üeúsão noÌmal €qrivâlent€ é: (,{ = r; B-0,85; C - 0,621 &=l).

10.200 f 60.000ìr 10.600 ì o?.J00d- - d. -+ L40!o0J LZrLrt ro"e;,O,,,2r I =-a,

(ó) Der€.Eine a t€6ão equiyale.t€ de cisalhaúento.

í16ì í3.000) íÌ6ì (t,000) 5.100ú!{mà;-) = Ìdx

o^,=-;---- i {

-(16) 0.000) 06) {2.000) ì0.200ú,(mú.r - ----rdr- ú,-- Ìd!

À téo!ão €quiyâlerte de cisalhammto é: (.4 = 0,6; B = 0,85i C: 0,62;

5.100 . f {0,6) (60.000) ì r Ì0.200 _l J4.Ì00

o(= dt ' t L 40.000 J L d" (0.0r ú"ssr (0"õ, ) - a" '

(c) ÌsleìaDdo a trúúo máriúa equiyaÌeite de cisalhúento a d!rN. oÍde tr.

- 0t5 t, = 0,5 X 60-000 - 30.000 ÍBi, tem*:

'r(lltu.)-+ (l!#)'+(r4roo), : +P .'. d = r,44!or.

134 ELEMENmS oRcÂNrcos DE MÁQUrNrs

Oôr,: EúboÌa * rdmeÍde dr. :o,ótq F!.4 cisàthúdto poÌ torção puE, foi úado. dr. - 0,5 d, pua osâÌhaúúto @Dbüddo'

8. Uma polia esiá eÌÌchâYelada a uma árvore a neia_distân-

cie etrtÍe os manceis. O mom€nto fÌeior no potrto onile está a Flia ysÌia de 1.500 lb'pol a 4.500 lb pol, enquantô qüe o momeÍto de

torcão na árvore ì'aria de 500lb pol a 1.500 lb'poÌ- À freqüência

de variação da câÌga é iguaÌ a velocidade da áÍvoÉ' Estâ é feitâ

de aço estirâdo a lrio tendo c" : 78.000 psi e or : 58.000 psi. De-

terúinar o diâmetÌo n€cesúrio parâ vidâ infiDita. O Iaror de

concetrtrsção de tensões para o Ìâsgo da chavetâ é de l'6 e l'3 pÀra

Ilexão e torção, Ìespectivamente. ÀdoiâÌ ní : l'5-

L Del@inaçeo ila tdsão &nal €quivaleDte dá:

(a) Devido ao Eomênto fl€r.., tdtrae:

{32) (4.500) 45-$0 ,(md.r=

t r i_= d, ,

-(32) (1,500) ls.Jlxl

'(dú.r _

f,d, - d. .

(ô) Àioda devido ôo moúdto fletor, virá:

45.900 + (-15.300) Ì5.300a^=-.2_-.T'

45.900 - (-ls.3oo) 30.600o'- . - . -8-=7

(.) ÀdDitirdw,' - 39.íto0 P6i. Á=1. a - 0,85,

C - 0,8s, a tèúão nomaì €qúvsÌete torá o vâlo:

/ d-\ &d, 15.J00 1 s3.0o0 \ (1.ó) í30 600) ll2.ó0o ,^""" '

\ " : )7ú= d, J

\ re.00( i , (o.ss, (03s)d, =

d. .

II. DetêmtusçÃo da tasão ctualhúlé êquivãledê da-

(a) Te6õ6. cbalhúte máÌima ê úiniúÈ

( t6) o.5oo) ?.635 t r (Dd. ' - ,

= d

06) (s00) 2.s45a.tm.) - -rê - --F--

(à) Tdõ€ c'sÀlhet4 6édta e v@úveÌ:

7.635 + 2.5,15 5.090 "*=- -r =-- ,

1.6t5 - 2-545 2.545q'= 2é

: ' d, '

cÁ?. 6 Er,ElÍsÌÌrgs s'oB Â -açío DE cÁrì6-{s vÀRrÁvErs 135

(c) o"=o,6út - (0,6) (58-000Ì : 34.800 psi, Á - 0,ó (to.ção), Ã=0,85, C = 038. À tdsão ciÁolhanÍe eqúvalenle ó:

. -=.^,(?)1# #,( : i#) (r,3) (2.r45)(0,ó) (0,85) (0,88) dx 11.620

ã

tII. Ieúlanilo â t€6ão máxima €quivaleíte ilê cisaÌhamcnío à d!JN:

,-,. ', '-{1-, f *",=+ Ìd" ( tt';uon )' + o'.u,ort : (0,5) {58.000) d = l,44pol,

9. Uma árvore de lerro fundido ÀSTM-25 com d" : 25.000 psi está submetida a um esÍorço de torção com Ìeve$ão compÌeta. A carga será apÌicâda un número infinito de vezes. À ârvorc tem 2 pol. de diâmetÌo e está ligada a outra árvore de 3 poÌ de diâmeho, hâvendo entue eÌas uú âdoçaüento de 1/2 pol de raio. Adotâr lV:2. Quaì o máximo nomento de torção que pode ser aplicado à án'oÌe p

Remlver nsando: (o) a equação de Soderbers; (bl a": TclJ.

(d) ^

t€úsão média cisâlhúte é nüÌâ.

^""rúdê."^-#:# 2T

, onde 7 ó o nóúeq1o de úõ.ção

(ò) À tênsão €quiÍaÌenê de cisalhamob cú um ponto dâ superficie é:

dd : tàsão m&ia cisalh@te = 0;

Ií! = fator t€ôico de @trcêot.ação de teÍÈõe6 : I,l?; para o caso do prc- bÌma, ohrido de [616 fot@lásriGj

I(, : faõor púti.o de mnetrtdção d€ r€reõê, ond,e:

b : | *, j(Kt r) : 1+0G,u - r) - 1. o indi@ de sDibilidade adotado loi isual ã iero pã.a o ÀsTM -25.

rr - rên$o vúiáyêl dê cisâlhamdto : :: p6r;

t,. - üdÁão de 6@aúe o ao cisâìhhento po.e o feno {uDdido. Esto vrìor é Eualúdte ig[âr à tuDúo do eóamenro sb esforqo úorDal e €61& Ibdê s Loúada dúo 6070 dâ ren6ão de tuptura, Âsim:

dr. : ds - (0,6) (25.000) = 15.000 psi.

136 Er,EúENlos o*cÂNrcos DE ÌÍíQUrNrls

d- = limite dè Gütêúcie à ladieÊ sb ìlqeo pm o f.m füldido. OE

tqi6 têú m@tlâdo que ele vdiã de 0,3t ! 0,6 vi,6 a têDão dê hF

tura. O limitê dè rëistêmie à fÂdiga !a tq!ão v.tia de 0,?5 a r,25

vd€s o liúite de ÉistêÍcia à fadisa nÁ flâão. O liúite dê Bn'têí-

ch À íadka nÀ fleúo sá ton.do 'rhihaÌüt'tML,

.ono 0,4 vèa e

teÍsão de tuDtu{. Teme, Po.túto:

dn = (0,4) (25.000) - 10.000 p6i; Á:0,75; A = 0'85; C=l'

e Ìêyúdo 6t6 valoB na €quaçeo que dá a tetuão eqüiYaìdte dê

cisalhaúento:

, , , . í f \F r5.m0 ' l - , . ,d.t = rv,(r i r4

íc) A t@õo nomal equivaÌdtê ê im. Da equúÍão d@ teGõ6 dmbi-

mdas, â rensão nátiúÀ €quivaldte de i.ação é:

(d) À teNão útuiúa petEitidâ é: fr - Ejoo = z.soo r .

(d,) (Á) (B) (c)

6alA\ (BJ Q) _ T.

, r;---- d"(úá' . )=t , -+{( ; , - ) ' Ib, , Ì - o+ y 'õ- Ï ì t " r r t - - tsz 'p.r .

?.500 = t,s? ou ? = 5.0001b'Pol.

Àsiú, o moúento d€ 10Ì60 p€mitido é: ? = 5.00olh pol

ff) À úÌucÃo prccêdêtrte iÌútrq a aplicação da qüação de Sode.ìêÌs P@ o fero fDdido. Ciúo stasõ6 seo comÌd6ão @npÌêt!, pod*.p|rce diÈ

ramente a equação ',=+, "^. ",:

ro.ooo (0,?5) (0,8í)(r) T(r) --- z --;@)M-

? - 5.000|b.poÌ. .

Na €quação aciint on = 10.000 psi loi muttiplcado po. Á, ,B ê d pars (Úrai.

o tipo de cdesamhto, tmanho do elêm@tô e tuab{lmto sperficia!' Êpe-

tiymotei usu* lV : 2. Não se ea!úesou fard de M@tra{ão de tmõ€

pois o iDdicê dc se6ibilidade do Ilm funüdo é z@.

Smpre que se dispúer dê dâdc exloimfltâb, os aâro8 dd€rão s opli_

cados diret@dle, dando mqis sêauânçâ tus .i1416' Sê o câÌtsmhto nÃo

for totaÌmúie altmado ê ou G dadc €lpdimdrais *{Éc' dèves uÁÚ a

êquÈção dê Sode.beÌs. ì

I0. Na Fig. G10 a áryoÌe tÍansmite I0 hp da polia P pa[a

a engÌeoagem G, cou s veÌocidade de rotação de 900 Ì. p. m. e sôb

ca€a estática. À árvore é usina<la de aço ÀISI-fO3S' laminado

cÁp. 6 Er,EMÉNm6 soB À ^ção

DE cÂÌoÁa vrÌú\Ers 13?

a quente. Sendo d.:85.000psi e d, = 55.000psi, O diâme- tro d& polia é de 10 pol e o diâmetro ptimitivo dâ en$ênagem é tânb€m de 10 pol. Os pesos ala poüq e il eng?e[agem são iguais a 30 lb. Derprezar o leso rla áwore. A relação de tensões nos

Dl.!rrrí. dê mo.nêítot

Fig. 6.10

{ú umos do correra é T'lT,: 2,5. O ângulo de pÌessão da en-

llürgcD 6 de 2o'.

DotsrminaÌ o diâúetro alâ árvore usaado a equação de So-

dtbcr3. (A solu6o seguindo o código da ÀSME esú no Probl. 12'

EfD. 9, bom como o pÌojeto pâÌâ rigidez e Yelocidade cúticaì

51tb

1.965 lb pol .

T 138 EÍ,EMEiÀrrÍ)A 080âÌrr@6 Dx X,ÁqurNlS

(o) O nondto d. tecão ]}í, Ea Árw@ 6.

crP. 6 TLEMEìiTO6 SOB Á ÀçÃO DE CÁÌC11S vÀÌúvEÍs r3O

' . (rr- "r(5) -

?00 e â -2,s.

rt - 233b ô rr - 93Ib.

(c) O 6Í0.ç0 râlsrúcial tra @s@tsM é:

r , -4=44-w*._' À 5 -_

(d) A tdpa mdiar Fr - &. tsó : l4O !g20o - 5Ì lb.

(.) O cqreeÃ|l@t ê o diâeÌama dê mômhra Àpalllm ra fisüÀ As Íorças na coreia ê eDsÍeúaseú fo.am âdnitida con@ úda. O! p@s da poti!

e iL esrcúagem €tão inclúíd@.

(, Comiddd & soção ds eúeÍeúqepm em p.i@iú lssqi EDìôd âqüi o mometrto fietor seja údor que ío mdcÊl à düeita, & pÌ6mca do rsgo dâ chÈ vela pode se. um fator de gr@de inflÉncia.

O fato. Ì(r deüdo ao raso da châvétâ, eú nexão, é 1,6.

O latór d€ concentação de tesõe eú fleÉo, dêvido @ adoolmenío na püra da ámre oDdê o diâmetú d muda püa 24 depende do dio de adoçtuento. M6mo quúdo a .úzão dése raio pea o diâúetú d da áÌvoe fo. €sp@ificadq pe s obte. o fator üoóri@ de concenlraOão de tmõ6 Ifi, o fator prÁti@ de @c@ ha{ão do tesõ€s rí, deponde.á do íddicè de Besüilidade, que é fmção do nto do medondMento. Àsim, tm* que f8H tentativ8. Depois d€ âlgu6 cálcubs,

d = 0,0e3 e dj í . : ;pot .

Pda '/d -

0,083 e umâ .elo{ão dê diânèhos ielal s 2, o fatoÌ léó.i@ de 6neí1.ação de lmõ€ ôob fÌdão é 1,86. O ínüce dè smúilidad€ q é de 0,78 pda âços re@zidos e .om raio de @FÀtúa dè V16 pol; teú+, portd[o:

K, - | + qlK.- r) = r + 0,?8(r,86 Ì) : r,6?.

O &doçamento câNd, por @nsesuinte, uúa @Dc6tração de te6õ6 nôior que o rN€o da chaÌeta.

(s) O momento neto. é orNtdte e isual a 580 lb pol, ma @o püícuÌá

tr su!.rírcie eelá süjeit& â ie6õ6 coú reydsão coúpleÌa. À losão média

sob tlqão é ieüal a 0. À tefteo vuiável é:

Mc 580 (d/2) rd.l64

5.910

1?.300 ---ã-

(t À r€Bão ci.aÌherê devida à rorção é dEüaúte, umÀ v@ qúe Õ DD |!Fto 6 ('Etht€. A t@!ão cisalhhrê yariávet é ,e.o. À êtrsão ú6dia cisÀ-

T. 700 \.1t2) t,5?O "_=j=_;a, tn^-_F.

(r) Â tãsão cbalh@te €qÌriyaÌente é:

3itq , "o- - o-, r ^' Ú"ìÁBc =

a" -

(ë) A tdsão cisaÌÀúie perEisivêÌ é:

rr -

0.5(r , ) _ (0.S)í ;S,000) /V

_ - --l- - ---_t5- = 18 300 Psi'

(D Isúlddo a ieÍsão cisalhdre pe.mi$iÌet à tensão ciôalìatrre nárioá,

ro.i00 : /G;), + (d-F : \/ (rT.?íot FFl <e";-rota"f d - 0,796 pol. (a) À án@, m haDcâl à di@ite, será úalisaila posreriorDeDre EsDê-

cilir@re, sá @Nidsada a ."cào dê úàDêlm d nr p"nr,o .m que bá o reo de adoçãmeúto- À ÍeNão médic deyida à fl.Ìão é d- = 0.

À tc"são variáÌeÌ deyida à flcÌão é:

(À) À tdsão nornal equiysleúte é:

"^ -'^ + 4 ""4 = o + r.oz (5#o)

M. l-gbí tdl2\ 6|: ._=-

- ; -_

47_600

55.000 (42.500) (1) (0,8s) (0,8?)

nt!ff/63.000 - P .'.

(ó) Às í@ç8 tus !am6

(T\-T^'R:M.

Ml 00o) -

ìn 6t-000

M, - 700lh.rbl

20_100- t -

O fatd de oDcerrnção de Ítuões ta, não poile se. dere.@inado dirct€_ m@tê n€tc cM. O 6emo peedimeDro é Âdorado pa.a a seção onÍle èetâ ÌG catizada a dlgrenag€@ e, depois dê algu@rs renrndvas, obió@_se:

. l_ _ o.z2 (ír = r'; pot . , ; pol.

Püa 4d = 0,221 &:r, t7 epara.=l /4pol; q - 0,95. Etrtão: : /(J = r +q(rr - r) = I +0,9J (1,8? - 1) = r,is.

À r?6ã0 rorhâl equiyãÌerre é:

o,, o- + Kj o"--!:-- o + r,ss (?!1!9) 55_000(42.500) (r) (0,8s) (0,87)

140 ÌI,TMENToS ORGÂNICOS DE ÌtÍíqÌ'TNÁS

(n) À tosão cisalÌrdre média devida à torção é:

16T (16) í?00) 3.570 ' '- d.lr ,.ll d' '

,q. tÉÌsão cisãlhulê !a.iáv€Ì é d,,=0, À tmão cisaìrmte equiYâÌeíte erá,

/4. . \ | 3. : j70 , ^da o-" |

^ t6- l -" ' l

r "^ =-ã- l - o.

(o) A isão cisúÌh{nte pemjsíyêl foi dete.minad d aË) e é i$ìal â

18.300 psi.

(?) Ten{e finalúent€:

ts.roo = úl;;:-=;; \/,ü,.ooidi-t ;t..iord"f - . . . d:1-09pol - . d=r%Pol.

(q) O diâmetrc da árvoÌe foi determinado pelos 6forçG aluüt6 no mdcal

Âs prcporçõ€s Íinais, .oBide.ando*e apd6 a Gistêúcia € súdos a equ&

ção de Sod€rbds. são:

d - r\hpol, ,l = 2\.Po\.

ll. Umâ v;gâ de âço em balânço está sujeita ao carregamento indicado na Fig. 6-lt. DeteÌminaÍ o diâmerro d para vida inli-

nitâ, usando lV: 2. O mateÌiat apresenta as sêguintes caÍacte-

Ìísticas: o-, = 80.000 psi, r, : 68.000 psi, d" : 40.000 psi.

r00lb

Os lâloÌes de concentração de tensões teóÌicas para flexão e

esforQos axiais são Ìespcctivamcnte i$ais a 1,44 e 1,63, na parle

onde se tem Yadação na seção reta.

Para o ponío .4, que é ..ítico, d6Fê detoúinú a temão nomaÌ €qutva-

l€nte. À t€$ão normúl equiÌalente é isuaÌ à soma algébÌica dG lasõ€ &mâis

€quivÀleDies devidas à fleÌão e ao cM€gamento aÌial-

À tensão normal €quiÌaÌentê devidÀ à fldão é:

ô, , .^ Kt 5lo (ô8.nn0, 11.020) (1,44) 3.780 to-t ' d-a o"eeC-

= , t '

F _*6j6q;1 ü ,nr5, 1qr) -7 '

cr?. 6 ErMrNTo6 soB t ^ç6c'

DE caRcÀs vrÌúr'Ers 141

o'u""t .4, .1- t" ' " j - / ; o(. to.r - - ' " ' '1s0ì' Ìd" ' Ídr

( r2) 000) 5!0 t3zrÍ200ì t .020 . 2Ìü

Á t6!ão loúaì equivaìetrte dêüda ao6 clorq)ú aÌiâi6 é:

I

(o-L = -l+ +.d,ì (4,o,ooo) (rd:) (0,?J (0,85) (0,9)

, , , ,lo0 100 t50ooded(dâr.) ; i ;

d \@t^.) - . : ; o_=- .

A teNão ÌoÌ@l €quiyaldtê toio:I, no ponio Á, serÀ:

3.780 460 '-= dr + d:

=ì i : 68.000

{68.000) í250) 0,63) 460=d"

250

d: 0,490 pol.

12. Em aÌguns casos ê msis econômico projetar baseado em um limite de Ìesistência à Iadiga para vìda finita do que para vida inÍinita. Por exempìo, um eÌemeúto dc uma bomba dcve ser proje- tâdo pa.a até 100.000 cicÌos, estando sujeilo a uma carga variardo de zeÌo a l .?50 Ìb. Sabe-se que o,:55.000ps e d":38.000 psi para caÌÌegamento com revercão compl€ta, mas que oi, : 50.000 psi para urna vida de Ì00.000 cicÌos. Àdmitindo -N: 2, deteminar o diâmeíÌo do eÌemenlo pa.a vida limitada a 100.000 ciclos e para vida infinita.

como se te. a cúgâ vdimdo dê,qo a + _ lÌ 1150

z.z ' ,o ' ' ' ' -="= A =T;a=

:--T'

Supõ€se Ì<, = Ì(, = Ì; 4 = O,?r B:1| C = 0,9 púâ dp.ego na €qua- ção de ca.Ícs@dto YdiáYel:

| 6- . Kt i ,

^ ' - A ' ; ; ìBd'

(a) Pea üda íidrâ de 100.00{ cicÌos

1 _ 2,230 + {r) (2_230) t - ? 65i00) -7

(s0!00) (0J) (1) (0B) ou d= 0'475pol'

(ü) PEa vida in{iniia

I 2.230 tl\ (2.230, 2

= d. úi.0rr0)

I 71s.0oor (03, (iJ 1qE ou d - 0 sÌ7pol'

I1,200 í540

EI,EMENTOS ORGÂNICOS DE üÍQOINÁS cÁP. 6 Er,Eìr E:{Ìos soB { Àçìo DD CÀRG{S v^nrír,Ers 143142

PBOBLTÀ!,{S PNOPOSTOS

13. U@a Ìiga em balan@, usinadã. de I p(rl (2,5 cm) de diâÉeüo e r0 poÌ (25 cú) dc dnp.imento é caftcada ra extemidade In,re @m uma fo.ça que yÀria de 60 lb (2? ks) pa.a baixo a100 lb (.15 kg) pa.a cina- Itá uú âdoça, nento de r/4 pol (0,62 cm) de .aio ro ponto ed que â vi8a é engasladâ, o que dá orieem a um fato. dê @nceílrãção de teffõ6 róri@, Ií! - r,32, O indice de 3ê6ibilidade é q = 0,92.

Se as cara.iê.ísri.as do mate.ial são dr = 40.000 Fci (6.200 ns/cm), dr = 35.000 psi (2.s20 ks/cn:), d, = 60.000 ÍNi, {4.300 ks/.n ), dêtmi.d:

(a) tensão máxima prc\eni*l€ do nomento flet' ; (ú) tensão mínima poÌúicnte do moúcDto fl.tor; (d) t6ão nédia; (d) te6ão

'a-.iá'el; (e) fator de 6e.su.anço N.

IÌ.sp.: (d) l0-x00 psi i73; ks/cm:); (ó) - ó-I20 !6i (-449 ks/cmr): (c) 2.040 lsi (r4i.5 Lslcmz)i {4 8.160 psi (547 k':l.r;r): (e) 2,29.

14. Uma lòrça ãllicada na eÌtÌemidade de uua Ìiga em baluço Ìeia @m o tento, no tÌono do papcl, emo mostra a Fjs. 6-12. Lm faror de scgma[çÈ N: 2,5 loi adotado e as dinìcrsõès são as da figura,

.15. DêteÌújmr o aforco mánoo a quê pndp Mrslü

sporaúâi.arcgadú cicücaBÊnrc mmo Dosirâ a FiA. GtJ.

. Csmrrêrirüo" do nâL?riot: o! ._ tO0,00O ps,: d,

6roÌ@s tuiais, d, .- 50,000 psi pJ.a ftp\ão slli.mads.

I,is. ó-l3

Àdorar , Ì \ r '= t ,3; 8=0,85; C=0,90.

lÌdp.. pdÀ üúa t€6ão hédia iìe _9?L psì e ms rêtrsão reiáveÌ

, t6ty tm_se l/ = 2,8í0 Ib e 3Iy = 8.550 lb.

_ . - t6. ümÀ áAe. dÊ diâhdrc d eró üqodÀ a ôul(s dê diàDeür t .Sd pormqo.de uD Â{,oçâmÊnlo po., o qüst s r.m À./ = r.22 !4 .âso dâs peçâs sujei;a;a Èro.çnd de rurçãu. cúa, icr iÈr i .e do marúiat : o! = s l .sd;s i eï6_ôy,s_:ÌÉist d' = 54.500 èsi sob lrexão atretuada, dÍ, = 0,6 X S4.s00 == 32.?00psi sob rorção alt€.Dada.

_ .ÁdmiÍindo B:0,85; C= o,ei; / _ 0,6 ê tV= g, detèrninú o diâDcr.om ddp mq@ pda umÌom.nrô dp rorcjo (n,e vorie d" O o 20.000 tb.pot.

d"rr . : d . Ì .a j pì ì : odore d =J, j r6pot.

. Ì7._ Uma Ì,iCe em balanço de seção traBr€.sat circuta.Brá sujena a êçÍor(ps altermdoc traq fibrdç rrr"riure oo plann dc rnAsrampnro:6t ô 6forçd

]ï'j-1. Ìl1io ïr úmp**ão sré 4.00n psi, Íruejo. rn .e-o r,..p" ï,ium 60rçô oJtFmado daido ro, . r r"gom.oro a^ial que \Èis dc 2.000 p. i , .om_prsão a 4.000 psi, rração, Caacídì,sricas dl

ú, : .''.000 psi. Admir; (r - r; ; f ;ìr, ""':'ïÍ' í:,J_Íï;ït"ï'; tansãô. nôtu€ì €qüv3Ìhre deÌ.ida ao ca..e.sdenío aÌiar; (Ò) â rcnsão no;tualequivaleni€ d6,ida ao Dodentd flêro.; (.) ;iêrsao qo.mal equiyareúb tolat.À4p.: (a) 9.425 psi; (ò) ?.3óo psij (.) t6.?85 psi.

18. Um elcmqro dê seção Ìera cilcutd esrá sujeiro a um esforço de torçãoquc úÌ ia dê 0 o s.000 p. i e âo m6mo r4mÍro Ft ; s, , i . i r . u, . . . r " , .o " , i " t "J. i_

'ârdo dê 2.000 p.i , . 4,000 psi. D6pFzrndo rcodotrsçlo dc r"nsn.. ê etci|,odc flúmbrseD e adniíiülo que os Dáxioos fÌcto.e e aÌisjs oónerD ao tu6moromJr. dprÍrDhtu: , rar à r tu io , iúthanrp êqui \a l , t r rc m. i \ rmâ: (óJ o f€ror(n n,Frrnca ri44do na tpDà;o Jê B, oompntô áo .iralbâmênto, Cúa, i",ibri@s

: i ' - { t " .u l : . -d". 30000 psi . d, . . 70.00n p" i . o J i jmêrru do " tpm.nlo énunrtnp-r lpur. AJmir i r ô= tF C _ t .*p_thrí111,

nrtp. . . tu) Ì . " (nú\ . ) - o. t00 p" i : rÒr \ - 3,85,

19.,O_rço SAD-Jrzj teD as segui.reÈ caracrcrisricas: d. = 100.000 psi, t!

- 64.000 r i, rn = 32,000 psi sb fteÌão {tremuda.

jir,zs "-r . a"', '-*",l?

10" (25 cm

600 tb í270

Fi3;. 6_12

O máterial é o aço ÀISI,1020 corn as ca.acteríslicas: o! : 6.[.000 psi (4.600 kÊ/.nr), 4" = 32.000 psi (2.300 ks/cm?) para alexão alie.nada, d! = 48.000 psi (3.500 ks/cm:). pda 6iorços aÌ'ais.

Para À Seção ?l--{ o tdto. têóricô de oncent.açãô de teFõ6 é lí! : 1,3? parã ã barra de d;âdreho iguâÌ a 2 IÌ (i cm) e adoçamento de 1/2 pol (1,ã cn). O íúdicc de scnsitülidrde a ldoiar é 0,95- Àdmilindo C : 0,90; B : 0,85 e Á - I, determinar parâ â Seção Á,À: (ír) o fator Kr; (ó) a tonúo médiâ d-: {.) a tensão va.iáÌcÌ d,; (d) o faúr de sesìrüea Nì (e) se o dimcn,ionaúcn, to ctá cor.clo: (, sÊ as prcporçõ.s rão *Go sa(isfal,ó.ias, o quc dclc $r feiio p a melhoror a solução sern mudar o diâmettu de 2 !!Ì (5 cm).

nsp.: (a) Kr = r,35ì (ò) d4 = :1.820 psi (2Ì5 Ìglcnl); (,) d' - 1Ì.480 psi (81õ Is/crnz): (d) À:1,4; (e) as pmporçõcs nãÕ úo sa- íisliìlóriâs; (l) user um mâlerial melh.r cnm um limite de .e- sistên.ia à fãdjsa raior. l-Ìm raio dc curvatÌra maior no adoçanrento não da.á audcnlo súicicnre de cirtência para alcndcc a. falor de seAuroça 2.5. Isro Iìodc ser ycrificado fqendo-sê lí./ : I como valor ìiDjre.

7U ET,Ei1ÂÀ1TOS ORCÂNTCOS DE ìÍíqUÊ{ÁA

&boçü o di!$Àúa ile G@ilúú modificado e s paúir dele det€oi@ o

wlor da ruistência à fadisa paÉ o ce de caÌsa Ya.iudo dc @o e útui@'

n rp.: 48,600 tÁi.

20. Uma ba{Â de 2 pol ile diâmetÍo está cúrÍada 6ú0 riúGtú À Fk' 6-14'

À fo.ç! qplicadâ vftia de 0 a I'ìb. À bÂúa é de Àço' @m * *guiôt6 cÚactê-

.ísticâs: d, - 60.000 psi sob 6ldços diais, oí : 45-000 pÈL

ar lb

Fig. GÌ4

Quâl o eÍo.q) nánmo que podê ser âplicâdo sê qtrercúG t.ahalhú com

uú f&ior de *gurúça ff = 2, bscado na iensão de e@Àootrio I Usat a equa-

çõ€ de Sode.bêrs pua s tê$õ€ vâ.iáveis. Àdmiti. C : 0,8 O ca'rcaam@to

r!áxìmo deve @ o 6ú6PoDdmte à tmõB vdiáwis que @Fem nÀ 54çã0 À-À'

Ãerr.: À tensão márima ía 5€(ã0 À-À deYida À flcrão e @Eidè

rú.lo a visa cuÍva ê 5,08 P- À têdão va.iívèr é 2,54 P e a

nédiâ é 2.54!'. Coúo s vai o6idè.4 â üea coúo cuÍvô

nos cálcuh. r , :L Adotaúd6e Â:tB = 0 '8í ; C:

=0,8 têú& o YúÌor mánmo de f isúar a 3.980 rb.

21. Análogo ao 20, apens adúiLiúilHe quc o csresÀm@to mâlimo d@

se! @@ntrado s PtuLiÌ d6 t6õ* vdiáYeÈ qde @Ir@ na Se4ão B-B'

Àdsp.: À t€nsão ntui@ .a Seéo BB (pea aisâ reta) ê 7'6sF'

Usúilo o €$rÀéo ile Sode.beÍa coú .4=r; À=0'85 c C:o'a

têmB tr' = 2.650 lb.

Z'Diâm-

t i t r

rig. 6-t5

c,rP. 6 ET,TITENI\OS SOB  ^çÃO

DE CAR4ÀS VARIíI.EIS 145

22. Uúa tira d.u@ châpa de q@ do 2 Íbt X l pol ê dyâda..mo mosr.n a Ils. Gl5. À cdsa r v@ia de 1.000 lb s 4.000 tb. Ceâciedsticâs do mlrè ri.!: dr - 40.00{t psi, o, : 50.000 p€i, rn = 40.000 psi sb flexão con E rcftão @mple!a. Deõqúiúú (u) â teD!ão Dédia, deüda a 6fo.ç6 flettB, m ponto P; (ò) a te.são yeiá@l dêvidâ o efoiços íeroE, úo po!!o P: (r) a teNão nédia, deüdâ a e6to.ços aÌiais, no lonto P; (d) ú tensão va- Ìiável, devida e 6fo.cos üiaiô, no potrto P; {r) a ie6ão êquivalúie psdu_ zid rM úoúeto flêtor êú P. admiíindo C - 0,9;

(, a teftão eqúivateítê pioduida por 6fo.ços üiais eú P, ad4itiDdo á - 0,?

püa c!ftgaúeíro diaÌ e C:0,9: (9) a t@são hral equivâÌentê eú P; (à) o fÀrot dê sesu- rúçã cm P, bMdo na t€úõ6 va.iáveis; (i) a tê@ãô de iisção úâxiúa d P, Gando o caftaaúdro mtuimo e det€rniúudo o fator de *sua!ça @bo & â c@a í6ô @útante.

(À) (t

(d)

U) (ó) (')

22-500 p6i; l:}.í10 Íai; 1.250 íbi;

7.500 p8i; 44.600 psi; 3.000 p8ii

4?.600 psi (t ação)i ,ry - L05; 38.000 rFi, lV -

1,32.

t l - V rbracõo nds ÍVtdqulnds

Capítulo 7

Os movirnentos vibÌatórios âparecem nas máquinas quando

forças variáveis agem sobre eleúìenÍos elásticos. NoÌmaÌmente

estes moyim€ntos são indesejâveis, emioÍa em alguns câsos (tmns-

portadores vibntórios, por exemplo) eles teihara sido introduzidos

propositadaÌnente.

A anrilise dss vil'Ìações Ì€quer o seguinte pÌocedimento:

Ì. Avaìiar as massas e a elasticidade dos etemenios enYoìYidos

2. Àvatiar o atrito deseúvolvido.

3. Substituir o mecanismo reaì por um útema aproúmailâ_

mente equivaÌente de massas, molas e amoúecedorcs'

4. Estabelecer as equações dilerenciais do moYimento pala o

sistema ideâlizado.

5. Resolver âs equações e inteÍpÌetaÌ os Ìesuìtailos'

O sistena ideal mais ÊiBpI6 corÌshte dc uma massa, uma

mola e um âmoúecealoÌ, como úosira â Fig. 7_t. Â equação dife_

rcnciaÌ do movimento pârâ este sistema ó:

mi+ci+kr:F(I) ,

[Ìs. ?-l

cÀP. 7

oadê:

YBBÀçÍO NÁS TíQUO.IÀS

constânte dâ mola (lorça por unidade de deflexão); cod;ciênte dc resistêneia viscosa (Íorça por uDidâde de Ìelocidade). Admire-se que a Íorça resistentc ì iscosa é protrnrcional à veÌocidade de deslocaúento cÌa Diassa: IoÌça extema, lunção do temDo:

no presente $tudo,

ltí

F(ü :

r = deslocameltô da massa a partir da posição de equilíbdo e3üÉú.o;

ã, ã : deriva<lae 1.. e 2.. de,, em ÌeÌsção âo tempo.

Qualqüer 6istrma de um grau de libeÌdade poale ser re- preentado por üma equação diíerenciaÌ, semelharte à escrita acima, se a Íorça da moÌa Íor proporcional ao deslocamento e a Íórça dó atrito Íor propoÌciotral à velocidade. para qualquer sistema de um gÌâu de Ìiberdade, podemos eÊcÌerreÌ:

nhí+c. i+k"r=F(t) ,

o\ìle w, c., É. são respectivamente a massÊ, coeÍiciente ale amoÌ_ t€cimetrto e constatrte da mola equh)abntê.s. O deslocamento , pode sêr tanto angülar qüaJljto üncar.

A Íôrça atuanr€ pode ser quaÌquer mas, 3erá coDsiderada senoidâI.

Ìq(0 : tr', sen t:1,

onde F. é e amplitude da ÍorçÊ exlema aplicaale e o é a Írcqüência.

- - - yibÌâgõ€s fivres ocorren quando, dqmis ale uma perruÌbação

ioicial, não há ma;s toÌça eÌtema âtuanaÌo, isto é, Ì'(0 - 0.'Àequação diÍerenciaì seú:

m.'à+c, i+kr:0.

 solução geraÌ desta equação Íem o as])ectoi

i :Ap\t+Aze.] ,

":- *,L'+,1(çJ -$ " ( ; ï ) ' .

k.

148 Er,EMtNros oRcÀ\t(Ds DE rÍíQurìr,|s

e ?4r e ,4' são constantes determinad$ a paúir das condições inicüis.

k" No caso parúcutar, onde l

": I :

:, rcmos m.

t-1AIBI)e '1.

O amoÌt€ciÌnento cÌitico se re{ere ao caso paÌticuÌaÌ acima

- . r c. \ ' k .mencionado para o qual \h)

- f " " :

k). :2\ /h",n,

ê o mlor críIìco do coeÍiciente de amoÌtecimerto-

Se o Àmortecimento é maior que o crítico, a solução da equação

<üferenciaÌ, para vibnções liYÍes, não contém termo periódico. À

massa, depois de üma perturbação iniciâÌ, YoÌtâ à posição de €qui-

líbrio mas não oscila.

ÀmoÌÌccimento menoÌ que o critico. Neste câso teú-se

movimentô osciÌatóÌio. À Êolução da equação diJerercial, paÍa Yi-

bÉçõ€s livres, pode ser escÌitâ sob a ÍoImal

que pode ser escrita tanüém sob o aspecto:

Y:--::-1L\/(r _ ,,y+OEg '

onde r :: (retação de freqüêneias) e { - fr (retação de amor_

t€cimentôs).

O íator de amplificáção ttí é dado por:

M=: = f Jk {1t _ sy a 12çy.

M é a relação €ntÍe a amplitude do aleslocamento p€rmanente e o ampÌitude do deslocamento que pode ser carrsa.Ìà po. uma íorça estática igmì a F".

O ângufo de fase f pode ser determìÍÌado aÌo scguinte modo:

vrBaÂçio NÂs ìríqnÍìr s

 {oÌça tÌaíÊÌnirida à baee é a soma das forças da mola e Íle

k,c + c"i.

 aúpÌirude da lôrça rmnsmitida é:

Frn: F" \/k:+i:ãr\/G: *"."r +G",r '

Á rcIação de transmissibilidade é a Ìelação entre a amDli tude da Íor(â tÌâtrsmitida c a amplitude que eìa teria se a massa estiyesse rigidamente ligada à base (sem molas e amortecedorcs),

\/ k," +Gò" \nilzlr 1/(h. -

^,".y + k.")' \ / ( t - , , ) "+eU, ' ' ' - ' - ,F,

Na discussão supra, a lorça apÌicaita foi âdmirida como funcão periódica do lempo: conludo. uma oìrtra situâçào importanL" esLú iluetrada na Fig. ?-2. Neste .aso é o movimênto DcÍìódico da bosc que induz o movimeúto na mâssa. Nesta si tuação. o probÌcma quc 8e apÌesenta é a escol[a da moÌa e do amoÍtecedor de tal modo

t49

onde:

" lL

od é a fÌeqüência do sistema com aúoÌtecimeúto. Se o amor_ r t -

tc. i Íncnlo tor nulo, a freqüência s.ú i , r" - { ^ ' e é chamada

de {r€qüôncia natüml do stutema'

As constânt€s X e 'y são determhadas a paÍir dâs condições

iniciais. ' Para vibraçõcs foryadas a soÌução da cquação diferencial é a

mesmâ que a dâs vibÌâções Ìirres, maìs uma irlegraÌ pa{icular.

À soÌução pode ser esc ta sob â foÌma:

c : e '' I scn (c"at Ì r) * rsen (c,r, ó).

A primeira partc da er?rcssão acimâ Ìepresentâ a ,iòtação

tÌansit'ría eIa d€sâparece com o tempo. À segunda parte ê â

tibração permanenle c ó a paÌte que, ueualmente, mâis rteÌessâ

ao engenheiro.

À amplitude do moümento permanenie é:

r : €"' X sei (aàt + ^t|, ts 6 :

--:e-:- k, - m.<t' - (h,- n,e,), + (e,nf

\/ \k, - ,,",""), + ("..t '

150 EI,EMENTOS ORGÂNÌCOS DE ]TÁQOINÁS

que a amplitude do movimento da massa seja pequenâ qraúdo

comparada com a da base.

Fís' 7'Z

Ào se admitiÌ z(0 senoidal, isto é:

z(q: z st n t , í '

então a equação diferenciaÌ do novimento da nâss:r será:

n,ì 1 ..i + k"r - zJh' I k,ur scn ((.,l - r/)'

ondeúêoângulodcfase.

./ ki + k",y

Á equação acima, e\cluindo-se o ânsuÌo de fase {, é idêntica'

em forma, à equâção previamente discutida. Â soÌução mostraú

que a amplitude do ÍnoYiÌnento ÌúÌatório peÌmanente ila mâssa é:

"\/k + (",-),

\/(k, nln) + (c"@)'

À retâção d€ tÌansmissibilidade é a reÌação da amplitude do

Ìnovimcnto da massa para a do movimento da base'

-! \/ k,, 1 @.J" z \/ \k.- ,r.]JJ'z)' I @..')'

Este vaÌoÌ é anáÌogo à relação de transmi$ibilidade de forças'

Os siÈtemas com mâis de um eÌau de liherdade não podem

ser Ìeprcsentaalos por uma simpÌes equação diferencial de segunda

ordêm. Uma análi-c .omplelâ dc lais sislemas. em gPral' rcquer

a solução simuÌtânea de n equações diÍerenciais de segunda ordem'

ontle n é o número dc graus de überdade dt sistema' ÀpesâÌ distô'

€xistem métodos pÌáticos, relâtivamente simples' que peÌmitem de_

h"

c-{?. 7 vrBRÁç[o NÀs üíqurNAs l í1

terminar a íreqüência landanental de yibÌação do ôislema. Bstc elemendo é de grande valia para o pmjetista.

O sistema com dois gra,x de liberdade, da Fig. Z-3, t€n dois modos distintos dê yibrar. Em um deÌes, as duas maasâs ae movem

Fis, 7-3

em Iase, aìcanç,ando o deslocamento máximo úa mesúÂe diÌeção e ro me6mo t€mpo! no outto, o ìnoyiúetrto das massas está defasado, alcançando desÌocamentos Eáximos, em alücções opostas, ao mesmo t€mpo.

O método das eneÌgiaÊ paÌa dererminâr a fÌeqüênciâ funda- mentâl é ba6eâdo €m que, desprezando-s€ o atíro, a eneÌgia cinética máÌiúa do sistema deve ser igual à €nergia potenciaÌ máxima.

Sejam X, : ampütude do movimento da massa rn1, & : anpÌiturle do movimento da massa zr,.

PaÌa üm moviúcento setroidaÌ de lreqüência r,r, a eneÌgia cinética máxima do sisiema seú:

M6,x.E.C. : +ntx?t " *4 nzx,za".

 energia potenciaì máÌima, arEazenada úas úrolâs, seÉ;

Máx. E.P. : à È1Á' + I n" (x' _ x,)".

Desprezardo o atÌito, yem:

Máx. E.C. : Máx. E.P. Daí têmae:

k\xt, + k, (x, - x)1 e,+k,(+-Ì) '

^'+* (+)' Esta equação dâ dirctâmenÍe a Írcqüência fundamental de

vüração, quando se conhec€ a ÌeÌação de ampÌirudê -{,/X,. Na

152 rLEMEìrr\os oRcâNrcos DE MÁqurNÀs

prática, poÌ tetrtâtiìras, usa-se uma série de vâÌores paÌa €sta Ì€lação

e a qüe der menor yâlor de (' é a mais próxima do Yalor coÌreto.

A Ì€ssonância é definida de vários modos eú liYro6-textoB. O termo se reÍeÌe gemlmente à operação na vizinhançâ da âmpütude

máxima da vibração forçâda. Para sistemas sem atÌito isto 3i- gniíica operâção à fÍeqüência natüÌaÌ:

' . = 1-. ' Com âríortecimento viscoso e üma fo$a extcrna tr', setr ol

aplicâilos à massa, a máxima ampÌitude é obtida para a fÌ€qüêncü:

a<'J.a.v ' a- t / t - zË.

ObseÍvar que este vaÌoÌ é iMercnte da íreqüência com amorteci-

' " - , " \ / t - t .

Na ausência de amorlccedores. o lalor t - (;. é ouito peque-

no e (,a, (,d e ('(EÁl) r são aproximailâmente iguais. Nos problemas que se seguem quando se mencionar a exprcssão rcssonÂncíL, q,reÍ

dizer que o sistema es1á opeÌardo com a freqúêìcjâ naturat (.,".

PaIa uú sistema de mútos graus de liberdade signfica qÌre

ele está operando com uma qualquer alas suas Ír€qüêÍcras tratuÌais.

PROBI,EMÀS RESOLVIDOS

Ì. EscreveÌ a equação difeÌencial paÌa as úbrâções liYÍ€{

3o sistema repÌesentado na Fig. 7-4; c é medido a paÌtiÌ da posição

em que a mola não esiá tracionada.

\*.

Fie. 7-4

PriE€iraEoÀte dq6e f&et um diae!@a de coÌlD li\t e mücd tod6 6

Íorçs! atuoút€. na dileqão do deslocãúento z. Àpü@do a sesúda lei de Newtôtr,

4 =-r ' Fu=-";

c^r. 7 vBBÀçÂo NÀs ÌÍÁqúrNts

que 6tabel@ s a $mq d3 foÌças erta6 iguql m produro da Ea$Â p.lÂ

- .à - hz: n ' i : . tuï+. i+k.=0.

Oì€s* quc a fdça da bola foi ro@da dú o siDál Íesativo (- Èu) pois tem *llido oposto Âo dslocaneDro. Pr@üúento anáìoeo foi adoiado paÌÀ a fõiç! ile Mníâciq yislr@, Fois ela tâúbé@ rêm srido oposro à vetocidadê ;.

2, Esc.eveÌ a equação diÍerencial para as vibrações liyres do si8t€ma rq)resetrtado na Fig. ?-5. Desprezar a massâ do lio.

1õ3

Tnh+ de uú novinmlo aúernd. SoDqm-sc os moDentos das. f@cas .yt úe d rclação @ p@to O e igoala*ê ao produro da aceteraçeo deurd peto Íôomerto de i!éÌciâ em relâção m m6mo ponto O.

Pan u p€qu@o d6locúenÍo, a folee na mola se.á âpúÌiúadame e lgual a - Ëd, e s lqça de 6ilLêmis viÁ@a qú - roá. lmr'Em o" lraço" do .lavtucã, paÌa 6ts fiÌças, são muiro âprcÌimadameúre isuais á d. O bfa- ço de ala@ dô ÈÊo é ó s d ou âproximadametríe ód. O móneúto d€ inéF oh da t[84 @ relaéo tu rDúro O é ad; âsim, tem-se:

- 1fi|" - ç"0t" hstbs) = "ú;0 . . .-- hÊi; + e,íi+ (k", + nsb)o = o.

PaÌa o PÌobÌ. 2, deÍemüãÌ:

a lreqüência naturaì; (ò) a ÍÌeqüência com âmodecirúento;

o vêloÌ crítico do coeficiente de amortecimento.

3.

(cJ (c)

154 rr,*MENms oRoiNrcos DE ìrÁQuD{rs

C@puúdo ã equÀção obiida ú PDbI.2 coú a equaÉo celr dos sbteúc

d. ur 8rÀu dc libftdade, ven:

,=0; i= '0; i -ò; " , .=^ú; c.=ê; }r-hê+tú.

Enião:

fh- | k"";;'Ã G) @" -1,,, =1- ;F:,

,,,.,={*--(#t= (c, (.,L = 4é = z^./Eetu:2./@ + ^rq;8 -'-

4 - \d, ) {\k'" + 'tcb) 'ú" '

4. EscÌeveÌ â equação alif€rencial pâÌa o sistêma da Fis. ?_6.

^d6iti. pesuenos dGlocametrtos ê fec.6 EBm4 apro{m4çõ6 do lÌol,l' 2.

O enguto d é medido a páÌtit da psição tle equilíbrío crlátírt Istô 3i8niÍics que

. fo.ça dc mol! deye eÌ inicialmente belúle elede !@ e@nibÌa. o eÍeito

. t ' -E- j* '

FiE. 7-6

Tomúdo os nomeotos eú tomo do ponlo O:

Í- Nq)o I l -ha' 'nsla+nsh+F.hsot=ndo

ou nt; i i+dtd+kêo=F"h* @L

Ob€ervú quê @m 0 medido a petir {ra posicão dè €quilíbÌio etíti@, a fdça

do p.s d€sapd{@ EmhoÍa 6re sistêmâ seja o m6no do il6 Pmhts' 2 ê t,

kê +nú / @r *

"-- \Wl '

5. Uú motoÌ está montaaÌo sobÌ€ t{olas. Um pequeno dese_ quiübJio alo rotor causa vibraçôes quatrdo o motor está em luncio_ namento- ÂraüsaÌ esta ôitüação de modo que se possam escolher nolas adeqüâdas à montagem. Consitlerar apenas o moìrimentô vertical (ver Fis. ?-?).

cáP. ? vrBR^çfo NÀs üÁQUrNÁS 165

c@ao pdi diedtaçno 6n etãção â vqricaÌ, o procedimelio ó diíe.ente. po. Edplo, a íreqüê@ia narual paÌa ere sisr;a e:

*: (+)

ry I

FiE. í7

^dot@mc 6 *grinr6 símhol6:

Àí = mN! totãl do uoíd; n : dB€quníbdo do bÍor (p.o{ruro .ta massa it6equilib.ada pslo raio); Ã - @Érãrte da molq (de toatas 6 molas do sisêúa); . : 681úre de aDdt€ciúeDío yibei o : vel@idadc do DotoÌ (dd. f,r); o, = âD. eotô_de turãdo da mâsa d@quitihaíta, m€alirto a pâ i. dâ hG

r = dÈÌ@amdro vdíicat do moíor, meitiíto a peri. da DGição ite equ! Ìíbtio €lári@.

, Omiror,co@oum r.do. leD umâ ocêtqaçio rerücst ; . Atémdisb,.hassr

:ïl-11.-"* n Lêm- umâ aêtqacão veíicât isuât a a/senoi. {s Íorçsellmrs aio o pH Mt. â Ío.çâ dã mota ê s dâ @illêmiâ vis@sa.

156 'I,EMENTOS

OBGâìÌCOS DE ìLíQUBTÁS

\/ah tr"t + @Y

- . i - hz- Ms +Ms = M'; n@'ú61

Mi +c; + kr - +nel f tu61

Obs.: O fÀto do termo à diÍeita da igualdade ser pcirivo ou DeSatiYo c

também do Âpdeimmto dos ttrmos meo':se! @a ú ruõt @61

depddc da rcferência romada p@ s mediro âíello de rotação, do

6eniido de rcta€o adoíado e do senrido posiüvo dos delementog

,. Se, For dhplô, o, ÍNe n€dido PosiriYúdte no *ntÌdo dc

útação dos ponteibs de ú rclóero e a parLiÍ de um eüo Ì'6tical'

a função Ìeultantc süia: 4@t 6 ôt. Isro não âltdeá 6 Eult{_

dos finais da aúálise.

A equaéo dfereúciet aciúa iem o m6mo 6teto que a dÀcürida pM o

ceo geral. Contudo, a amplitude da f@çâ e iNés dc so @Greta c igud â

f, é umá fução de o-

Àdmitindo+e uúa elução peticular dâ foma

Dntão: '=rsd@r-ó)-

i : Ya @s (@t - ô e i = - Yd'1 6en(at - ô)

Sübstituindo 6tes vaÌoe na eqdqão dÍereDciaÌ, têm*ê:

Mt- ro 'seÍ(o, d) l+cv@@(ot ô)+ÉI.6(ol ÔJ = nut ' ] sêt@t

ou - Mrd'(senolc6ó - cGdl6od) + cvo (@or@ó + so, @ó) +

+ Èr(sho,@s d - G@r*nd) = , l@'gsaoL

Toúhdo, poÌtanto, I iguaÌdad€

- MYd' @ ó + cY@ ú6 + hY 6Ê ó = M1

MY6'1 *Ló + cYa @3 ó - ÈÍ*né = 0.

A solucào sidulltuea púa 6 du6 €quçõ6 é:

h M62 .c6ó=:;' \/\h - Itd'1Ì + (bf.

snó=--4-. \/(b- Ma,), +(My

PoÌianlo, â slução tEticulêr paE a equãção ilÍ@cial á

t(h -- M@'FGãF

D*e-se inÌetige aeoú a fo.ça ttdúilidú à bN- lìsta Íorça será À sBa

d6 íorças d mola e de moÍt@immto.

er +.i ou!èrsÍ (ot - óJ + .Y.t@(6t - ó)

quo tdbéú pode ser âpÌ6htada $b o epecro:

Yat/Ë.+ttufsúíd]t-6+Ê)

clt- 7 \TIBBÂçIIO NAS M.{QÚÌNAS

@de (- ó + P) é o âÍs',lo de fe d.re a ío.ça'a@1sa @, € a torca rransmirida. À aDDütúile da Íoiça ttuíida eú:

FrE - Y./ e" + t^f = ^"."\/À,leo \/o- MAF + tol-

Pode m aplgetada rlDbén sb o aspecro abaixo, d6do qüo 6e {aça:

, -s=-: e r = ' . - - - - -La" \/ktM

@iie e|. = írcdiàda úiual .r : @ficidre de MoneimeDro oíii@.

16?

Fra .,/í+EEr t1. ' -er+gi i -

À ÉlaÉo ãrre a amptihde da fo.ça tl@úitida púâ â úplftude da fo4a !tunté ócà@ada zraão d. tÌ@íEíhíltìlltìL-

No prohr.:@, d6eja+ detaúiú & @tutetutice d6 moÌs que sa.an- te É a ÍdçG üEeìtid6 múto mtuoÈ eo @bp&açõLo @m 6 que ssiam ln|Mitida e o moto.í(& dsiibE órê üsado à báe Ou d€seja{e, FÌtúro, que { rêla6o de trdúnsibilidade eja nuito próíDa dê ,m. O atÍito saá F€qtr@, e me@ sÌre, ddibeEdmmt€, s ur um Morteedor, AdDilindo, por- teto: Ë : 0,05 e n.T. : qr, Fêla êxpGsão:

FT-_---- : - - :1] : ! : / 11t-4+<zEü'

obtér* o . n.xB&io.

Subsiituindo @ vát@s !ci6a:

0,1 - /Ì + 4(o,od r = 3,40.

^/G=jF + 1rqoi,Ì

Ohs: D€!úêzúdo* o strito, o .@ltÁdo Mia: r * 3,41, o què @st  qúe ú Gaimqtiv{8 rápida sb .s @!diçõ€ dtuire pode+ d€spÈ-

S. .: 3,,r'l}, .úi sdá icual

' i _ rr j6 '

" ,* , . , { M 3,&

ÀdDili.do r€pE qü€ o mtd r)@,t2 lb ê opera I I,150 ip.ú., veE:

. M,i t112t32.2t(2Ì x t-1ilt6oÊ r -ìrso

:--= = l ó3i lb/pé ' 13ó lbhoÌ'

U.rDd@ a mhs, N4iads d paÌ.leÌo, cada Ea roá úa coúrdt€ l|u.l I Srlbhol.

6, Üma meea vibratória esú suj€ita a ün movimeúto de VtlYaú com uma amplitude de 0,025 pol (0,063.5 cm) e uma frqüôn-

" t" =

3,4o

158 Er,E]MrÀrros oRGÂNIcos DE [íqltNrs

cia de 6 cicÌos por segundo. À mesa rÌeve ser suportadâ poÌ duas molas de aço, como rnostÌÀ â Fk. 7-8, tendo cad uma dêlâs uma constânte È delinida como a ÌeÌação €Dtre a Íorça tra entremidade

supeÌior da Ìâmina e a deflexão coÌrespondente no Íresmo ponto. À mesa pesa 80 Ìb (36,3 Lg) e será acionada por un soÌenóide que desenvolve uma força senoidaÌ tr', sen oí. QuaÌ deve s€r a constante do conjunto das lâminas acima mencionadas I Se o atrito é râl que c, : 0,05 c", qìrât a máxima lorçÊ -È', que o solenóide deve prF duzir I

O pmblma tÌaía de übraçõ6 fqçad8, dja dptit{de de vibr.{ão sá:

^/tk; ;ãF+ Gr,'Ì

m. - m: mMe{ramd; È. = 9È (rDis são duas as molaÈ de @6túte â); cà =.: O,O5 a - t,OS X 2 Jí;;; o - (6) (2r)

= 12r Ì{dÀi r = 0,025 pol = ampli|,ude deejada.

' Examinando a €quâção acima vê{e que f é aprcximâdMale máIiúo p@

üú dado varor de r',, na f(qúêncn de wúânijq isto ê qoado @ é isul à ft€qüêncE laiumÌ do sisiema. Pode$ê @tão adota:

kè= 2h = ndz ... Ë = àno2 = + (80/32,!) (Ì2fy - r.?6stb/pé: r-!?Ib/poÌ.

Qurtrdo o@rÌê Í6soD6n.iâ: y = 3- AsiD, a tq$ Ê" Dádm. sá:

Fo = úY - 0,05.,.'Y - o.o5 (2 \/ k",'t) @Y = (o,Oq 121/6 1,.765) (W32,41 (rzt) (0,02512)

Fo - 0,74W.

Pclo sí.lend nétiú:

e = u, @' = v, (#) 02Ìf = ,zhst@. máximo (produto do peso peÌâ excentricidade) =

C.AP. 7 YBBÀçáO NÂS üíQÚÌN,1S

reça Do $l€nóide:

l----_ --;=:=- fo - 0.05(2)1Íz(2o,2) ( "" : , r ) ( r : , ) í0.0óJ.s,t \Yóa' '

P, = 0,333 Ls.

7. Deseja-sc montar um secador giratório como t-ts- 7-9-

159

EiE. Z_9

Determinar as caÌacteÍísúcas das molas e amortecedores, para as s€guintes cotrdições:

Pôso total do secador mais o conreúdo : S0 Ìb. Yelocidade de rotação : 400 Ì.p.m.

v

Desequilibrio : 20lb.poÌ.

160 ET,EMEìÌros oBcâÀircos DE ìÁíQúr^\Ás

Á amptitÌrde dae yibÌações não Pode excedeÌ dê ã pol, ne Ìes-

sonância, em qÌralqueÌ diÌeção.

TÌàças üm sÈteúa d€ eies @ordmâdG (mo n6ilÀ a Fig. 7-10. ÀdDi_

tindo4e um !êqueno d6locamento t do @ts do @âdor, a tulÀ I *tú [Í&imcd,,

â 3 coúp.imida c ô 2 sIÈá uma variÂçío de comp.ire o d6puívêI. Às

forças atuaÍtes são aprcximaÍÌamentê s iodicâdas nq Fig. ?-ll.

Fis. 7-U

À fórça resultantê trâ dirêção d@ -lr eú:

r '= 2Ós30aÈrc630p = - r ,5Ét

Eú outÍN pâlaúÀs, a 6$rqnie "rcot" ds úds Da di.ecão do €üo dG X

*râ r,sÈ. Coú uma anóÌise @melhúlc chessse ao ú€úo vald pam ! dir.{o

Âo se aúslisr aô fo.çÁs anoÌt@eiÌoEs na di.eéo dos eirG dos -tr e d@ f

de modo ânáloeo âo edp.egado pa.a s moÌas, @Íclú+e qrre c dtr''ie'Í6 de

@o.lacime;üo't@is" são de 1,5. ratrto na dne{ão do eiio dos X @mo nadG f.

Como todos os @eficicnts d$ equaçõe diÍMciais são ieuais oa dne{ão

dos dois eüG, baúâ 6ar uma equâçãoi

M'à + r ,5 c i +1,íh ' = (re)@'sq@L

À amplitude dó delocaúenl, serÂ:

t,5k =@",M = (+)" M .

É = 20llb/pé = 16,8lbhol.

po! anàloeia com.o Prcbl, 5. ^

amplitudc da foÌça tÌffimititu sá:

\/íii nGFi 1r,t o1 '

^"., \/íiÉ.|f + G.5 -Ì

. LIM (()0 X 2trlóof (50/32,2)

" : (9 (r'5) = -(9xr5)

\/(t,5 h Mdf + (r,5 ^Ì No Psbl. 5, para quc a fÒrçÁ tÉúsmiaida tM pcquda, a fÍeqü&cia úhÉf

alêvêriÈ se. peqúcúa, en coúpanção à írcqúência de t âbalho. Pd uúa Í'i-

hêira rentativr podN IaA @/@" : 3. Com à freqúàcia naluál d€te sÈrda

e a" : "/vnÌfi, "e :

c.{?. 7 vrBR^çÂo NÁs üÁeurNÁs 161

Dève* qeoE caÌcüÌa. o @eÍici@te de Âmorrêcihetrto . ne*áío a tiúiüar a mplitude a V2 poÌ, ra tt$!ârcia- Na lwoDância. teúse:

Y= " ' '=f f

= " ï : ; 'Hâ=u'srh s/P6 : 0,96 tb . s,rpol

/õ+ G's -"t

onde Y : +

pí'. n : (20Ë2,9 (r/Ì2) : o,ost. ? srüs.p ê: @n - ízÌ X 4ú160)/ J=

Rdr?.: P.ojeto prâ o, - o/i; È - 16,s lb/por; c = 0,96 tbtDt.

L Na Fis. 7-12, m, pesa I0 lb (a,S kg), rn: pesa 20lb (9,0 Èg), È.:8 lb/pol (r,a ks/cn), Èr: lOlb/pol (r,s kg/crÌì) e èr: S lb/poÌ (0,9 kg/cn). üsando o mérodo itas energias, ateteÌmina. a Ir€qüência naturaì de vibração (1." modo), para o movimento veÌ- tical.

fia. 7-12

Seju Í1e -r,

s abplitndB dos moviooútos âbsluros d6 mNa6 ht e nr. itDêctiÌa'lHte, e eedidG ! perir da posiÉô de equitíbrio 6táü@. SupoDhâao doda que & e ôr ejú G deroea@Dros ds ma6@ sb a ação de seus p.ópú6 peo6 G Dediilc a F€ríi! da rGição eú que s eoÌ6 !ão sião i.acionâdss,

-4íò-tuf -lsò

l,(à-à)

ris. ?-ri

8.9ü!do os diag@ás do @.po li@ da ris. ?-r3, Da posição de €quilÍhiio ttllbo:

-È1óÍ+Ã2(ô'-ôr+4s=0, - Èr(âs -ôJ - Èaô: Aarg = o,

EITMENIOS OEGÂNrcOS DE MÁQI'INÀS

-8ô1+r0(ôr-áJ+ro:0, - Ì0 (ô, - ôr) - 5ô, +20 :0.

D3í obiêú*: ôr - 2,060 pol e ,r = 2,?08 !Dl. Ál fó.çaô iniciâis ÍaE mols são:

Mold Ì, (8) (2,0ó0) = 1ó,4$ Ìb. Mola 2, (r0) (2,708 2,060) = 6.48Ib. MoÌa 3, (5) (2,?08): r5,54lb.

Depois dc deleancútG Xr e .r! q Daúir d. posição de eqüitibrio 6ráricô, have.á 6 6eguiít6 vdiaçõe de oereia porrÍcial:

A.uoulods oa dola r. 116.18) x! + I (8) Ãf. Àcumulâdâ Da mola 2. (6,48) (x' - xJ + * (r0) (x, - .r|)!. ,A.cumufada na nola 3, (11,54) Xz + t 6t xl:. VeiaçÃo do potdciâl de n! - loxr- Yariação do polêÍciaÌ de rÈ, 20Xs.

À veiação totâl da eúê.sia lDtenciql, m *u d^l@úmro a partir dÀ posido de equtlíhrio eíáti@, é.

E.P. = 4X\' + 5(X' - xìÌ + 2,5 X,,.

Convéd obrdd que c iêrúc |fi6londmr6 à mudança dc ddnéo cÂn@laE os têmos cmêFndentê às ldç6 iniciais da mts. (X sislds pod€m er hatados coúo se eÌes * movqem uo plbo ho.iúÍt{L *m âtt€râ.

À oftrsia ciútid Dáxiúa ds nâúq, adEitiÍdo @ mqiD6[o tuid.t

E.c. = àarvr, + è drv.. - r (1ols) (xí!t2 + + (wb 64'y - = (sxt + rox,ï :-.

IgualaDdo E.C. a 8.P., r6ült!:

." _ l,., (t _,), j":( f i)"]" s+to(fJ '

FÍDalúeDte, adúirido 'a-*

n-" f

, cat@tas @. o mend vâbr

de úi é ô úâi6 c(reto. (Obe.r 9 : 386povs!.)

VatrE8 d.lníIíalN .le Xtlxt

t,4 O,3979 O,3919 O,&2!

12,38 .ad.Á 12,33 ..d./s 12,45 nd./s

c4P. ? lBBÂçio r.La ìúÍeúnüs 108

PoiL e rdlto @tão o vdo!: úr : 12,s3 nü/q Ge.almelr., uú hoE v*úrãt ltadoéadôéodódêfleÌõG6úrics. Noceô/ôr

- 2,?00/2,0ó0 _: Ltr, q@ ó m vdor bôú p.&iúo do rdorado pÀrÀ cíÌculo poÌ úrio dê !ésr!.

P.L .ìtblô tú,í@l

- L4ot + t,8 (ô, _ ôJ + 4,s - o- r,8 (& - ô, + 0,9 (ô,) + e.0 : o.

ór - 6'8cn' ôr - 5'2ú'

Fqç6 i.iri.i. lar Dole:

Mor. l. r,4 6,2) = ?,3Lg. Molo 2: r,8 (63 - í2) :2,9 k€l Mor. 3: 0J (6,8) : 6,rka-

EGsii lored.L

^@ulado .! tuh r: ?,t xr + (U4 O,r, (xr,r.

A r'lú r ú @h 2: 29 (Ìt - ,rJ + 0/2) (l,s) (x! _ X:)r_

^@rfdr !a etô i: 6,t (x,, + /'].f2]- @,9) lxr,.t.

Ydi.rão u óúêrsi. Frâcidt q - \í XL. V!Ìia6o ú! coôÌgir por@liat. nh - g,O Xz.

Vad.6o iohr de êDdgir lorociâ.I:

E.p- : o,42) (7rr) + G,8/2) (X, _ xff + Q,slz) (&". E!€i8ia .iú6fti E.c.:

(W(qslÊl (xírl + (W(e0lò(x*'), : a2tct2,2s xÌ + 4,s x,\. ISu.lüdo E.P- I E:C., ra+:

[r.n + '.u (f - r)'+ o, (+)'1,---G;IH-: D.Dro vdl)È e Xrfxr res:

&txr r,6 1.4 1,2

l2,s EdJs

u,s Íqd./s

0,15& O,tí4, 0,r589

côao aciEa, @n @ : I2,4úd./s.

PnoBLEltdÂs PnoPiosllos

9. &@@ s equaçõ€ dif@ciâis do E@imeuto itos sietèúa! rcpr€c€n- ad@ @ fÌss. 7-14. ?-15 e ?-ró. Cosidqar s@pft. Eedido â pariir d6 po6iÉo |r. eqtriüb.io ..úti@-

164 ú,EIIIINTOS OIìGÂNICOS DE ìIíQUNáS

FiÂ. ?-14: m; +.: + l-+ | . - F(0.\ÈrÌÈr l

Fie.7-r5: a' i +. i + (4+ k,). - F(t).

Fic. ?-16: m: * . ; * í ,È' l ' , ì " -

a*, , .- \&+è,/

fis. 7-14

Fis. ?-16

10. FÁc.eve. 6 €quaçõas dilden iait do moÌimsto paÌa os sislema d6

Figs. ?-l?, ?-18 e ?-19, .oGiddúdo sempÌe o d6l@úeÍto d mqÌido a Paúir

Fig. 7-17

da posição de equilíblio ëiático. ÀdnitiÌ , P€qudo

Fis. ?_tt

ê f:ìa a apÌorinaçõG

c^P- 7 vBRAçÍo NÁs MÁeurN1s

tutiô + d;ì) + ktï - bF"... at. *ii +

-.ò + <p"' + ^sb)o - ti" "s ot.

tuge + Òô'+ kd10 - o.

"". ",* {o,ffi, Fig. ?-l?: F;9. 7-18:

o"."'u,{p'*ur- oa.r-rr. {rffit.

105

" lhr1;' I k. + ",ib1 -;*-

Fi& ?-r?:

Fis. ?-la:

Fig. 7-r9:

Fig. ?-19

rr. Quar â tuqiitoci latúal de vibÌação pdâ os sÈtem4 das Fjss. ?-14 a 7.191

\\\

fig. 7-15:

12. A equação díe.dcial r0; + 9i + sro, : 0 iepresenlao moÌimeDro deumsisúma @m uú gnu deìiherdâde. Âs midad€ são pol, s,lb. Detêrn;nar: (4) a teqiiêqciâ naiu.al, os; (ó) ! ÍÌeqúência @m aúocteim.Dto, @d; G) A relâ6o de amúeim€ntô, g = a/a-

Â6P.: (a) o' = 9 @d./sì (ó) @d = e rad,/s; (d) t:0,05.

ür. À equa6o difêqcial ro; + 200; + 8ì0r : 0 .ep.6ear.a o movim€nl,o d. trú 8Èteúa dú um arqu de Ìibedêde. Às úidade são pot, È, lb. Dize! !ê 6te sistema é Gcüürê.

46".. Não. '/s,

= 200/180. O úoúecimento é maio. que o c.íii@.

14. ^

€qüaéo difer€nciat 2ï + 12à + 50.=s*t1u rcÊ.6cnrâ o úov! Emto dç uo sistama @m um sau de Ìibêrdàdê, em vibÌâção lo.çãdã, Ás ud, dâde3 são pol, s, Ìb. DetminaÌ: (4) a fÌêqüêmia narural, o"; (ò) n {reqúência i@.t4.idq oE: (.) a.elaráo de úotsinent, t; (d) Â amplitude das yibiaç&s om Egi@ (j@tút6.

fi",p.: (a) s rad-/s; (ô) a úd./s: (d) 0.60: (d) 0,041.6 pol.

15. Uú moto. €létrid p6údo 25lb deve sd @niado sobre qüat.o molnr. O Íoao. do @ror !|@ r0 lb e reD uúa dchtÌicidado do o,o1 pol- A veleid{do do &otor é dé r.200 r-p.m. À Ìelação ile aúorúecindto deve u 0,05. Del,oF

166 EÌ,EMENÌOS ON&INICOS DE ÌÍÂqOINÁA

Diur ú @útâÍtc d. nôla n@â.ia pea quê ! fo.ça t@itids à ho6e não *jâ supaioÌ a 20% da forçÀ ceúkífusa d.r-ida ao d6cquilíbÌio do rctd.

Ã6p.: 41.2 lb,/pol ou mq,ts. \N

ló. Lm iGl,rumolo *rá mool,.do cú um painel fliriüo r ?. tìb.acü6 dê O,: pol dê Mplilude e d. ÍÉqüàci! de 30 cictos por

6%údo. O irurruúml,o p€a 2 lb, Qual a @DíaÍl,e de moltr DÈ í lw6ri, à mootagpm se a amDliüude do ,tryiúoto do iNüÌü@F

-

ro nào podê ullrapssd de 0,02 poll

Êap.: 16.? lb/poì ou Dúog >1"

17. Pea o sistÊma dã I ig. ?-m, onde Ér =

D1 = n, = o,r rb s!/Dor det",-* . *t**;:rïiilg:: W& Frs. 7-rO

Retp: 4,77 râd.ls.

la. Para o sisteúa da Fis. 7-20, oÍde {4 : n, : 0,9Ib.s':/poÌ ê Ë1 : Èt : À. À fnqüêí.ia naiual de vib.âí-ão (r.o modo) é r?,54 Ed.Á. Quar o valor dè Ël

ÌÌ.q.. 160 Dh.Ì.

19- Um yeútilâdor d*. se. moÍhdo detrte de um epú€rho de d EfrigÈ rado, @mo most.a a FÈ. ?-2r. O vmliìador (@m o Eolor) p6a 20 lb. À düd p€a 50 Ìb. Às molas usadtu püa isld o yentilâdo. da caüa têm uma oGrdre torql de 100 lb/pol. Âs molàs uadas pdâ ield a cãixú do slo têú Ima @Dstete toial de 200 lb/pol, O'veniiÌâdor opêra a 4{0 Ì.p,n. Há algüm poieo, e o sisramâ vibru do l.o modol Usú o úélodo da eú6si4.

FiE. 7-21

Àsp.: Não. À Aêqüência úatü.s] é aprciiúada|'hte I,5 Ed-,ts Fqn o l: modo de vibrâção e a vel@idade dô ÌdtiladoÍ é rÌe 41,8 ÌÍd.É.

a). À frcqüênch d€ vibnção |i1G de um sistema é iÌe 12 .ad./s. ^

|''F tdte de mola e a mÀcsâ são pe.teitâm@È @ìh@ids e t@lr@do daí q@ @':15 rad./s. (a) Qüâl o valor de Êl (ò) À q@ rreqúàcie poílo* 6pêrsÍ úôp|ihrile márina das Ìibraçõ€ foçad6 sê ! fGçú dlmd é do tipo f. @ô,1

À.rp.: (o) E : 0,6; (ò) o-Á-. r : 7,95 Éd.À-

Velocidode Critica de Eixos e Arvores

Capítulo 8

Dcformaçõês de eüos e áryores. Todos os eixoe ou árvores, mesmo na ausência de caÌga €xteÌna, dellete$ duúnte a rotaçãor- À dellexão depende da úgidez da peçâ, de seu! suportes, das masaa! pr6prias e dos elementos anexos, do desequilíbrio d€ mâssas em telação ao eüo ile .otação e alo âmortecimento do sistema.  dellexão, considerada como Íunção da reÌocidâde, passâ por valoÌes máximoe nas ,ebcidad€s crtricdr. PaÌâ qìralquer árvore há uma ilúi- nidade de veÌocidades críticas, mas apenâs a úâis baüa deÌas furi- meiÌa) e ocasionaìmente a segunda são de rnteÌe6s€ do pmjetista. Às oütras serão, em geraÌ, tão âÌtas que estaÌão ÍoÌâ da gama de velocidades normâis de operação.

Na pÌimciÌs yelocidâde critica a deflexão da árvore será o de Íorma mais simpÌes possíyeÌ. Na seganda, a delÌexão seÌá de Íorma ligeinmente mais complicâda. Por exempÌo, uma árvore su_ poÌtada tros extreúos e sob a ação de duas graÌdcs massa8 (compa- radas com a da própria árvore) soÍÌerâ âs deflexões indicadas úa Fig. B-r(c) e &r(à) para a púmeira e segrnda reÌocidades críticâ8, trE)ectivamerte.

^a. '2 Flg. &r (.)

.| freqüônciâ natuÌâÌ de uma áÌvoÌe gujeita à Íl€Ião é mui{.o

ttúIiúo do veÌocidade crítica e seus vaÌores são usualmente cotr-

I Notâ do T.adutoi, Sãá úada a pâÌsEa ôwÌ. pea sien'{icd turon ô aUo aôoprs gue o asunro €qlobü a due sigrificaoõe.

168 ELE\rENTos oRc,iNlcos Dn MíenD{ns

fundidos. Há uma diferença, geralmentê muito pequetra, devida à ação giroscópicâ das massas.

ú2

Fie. 8_r(4,)

Para uma árvore suportando apenas umâ massa (Fiç. 8-2

e 8-3) e se €sla é muil.o grandc, compaÍada com â da própria

áwore, a primeira v€Ìocidade critica pode seÌ caÌcuÌada, apmxi-

mâdarnente, peÌa fórmula:

,. : {! *u.ru"tu'uc ilc tempo,

Fis.8-2i6)

oÌrd0:

m = massa da áwore;

rig. 8-2(d)

Fig, a-3

crP. I vtracDrDD cRÍarcÀ DE EEos Í íRvoBEs 160

Ë : constanie de mola da ârvore (força necessária para pro- duzir detlerào uoit.6ria no ponto onde esú siruadâ a mas6a).

Esta relação independe da incÌinação da árvore (horizontal. Terticql ou p6ições inteÌmediârias), O síüìolo X, úa Fig. g-2, re- pÌ€s€nta a deflexão da áÌvore, duÌanÍ€ a Ìotâção, no ponto onde e.stá siturada a massa. Também poilemos rcr:

onde:

ô:

t; d. :

1ï Ìad./unidade de rempo.

deÍlexão estâticâ (deflexão, ao ponto onde esú situarla a massa, que seÌia causadâ pela {orça W : rrg);

g : âceleÉQão da srayidade (32,2 pés/s'ou 386 poÌ/s,). (No Jstema métúco , : 9,81 ú{s,.)

PsÌa unâ áaore de seção r€ra constante! simpl€smente apoiada nas extremidades, Bem outm maasa que a pÌópria, a pd- meim veloci<lade crítica será, aproúmadame,nte:

Í . / ^* - { i (A;ç. ,)

rad/uo;dadê de tempo

otrde ô(úáÌ.) : máxima dellexão estárica causada por uma caÌga unifoÌmemente distribuída e igual ao peso da árvore.

PaÌã uma áÌvo.e de rnassâ despÌezíyeÌ suportaDdo váÌiâs massas concentrâdas (ver Fig. 8-a), a pÌimeira velocidade cútica é apÌoximadamcnte:

/ r rw ! ( , . : 1 ' j : , ; ; " : : Equâçào d. Rayteish-Rirz.- g I 'w' o""

ÌIl": peso tla enésima rnassa; ô" : dellexão estática sob a enésinu nassa; j : nrimero total de maesas.

Estã mesma equâção pode também ser usada para dererminaÌ a primei.a velocidade críiica de uma árvore suportando massas dis- tribuída-s (ver Fk. 8-5). À massa distÌibuída pode ser suposta dividida ea váriâÊ massas tu\, mL, m3 eÍc. e estas, poÌ sua yez, con- ÊideÉdâ-s concentraalas em seus ceniros de grayidade. O número

170 EI/EIMIL9S ORCiìIÍCOS DE üÁQI'INáS

de massâs pârciais em qu€ é subdiyídida a massâ totâÌ depetrde da experiôncia do pÌojêtista; mesmo que se terìhâ osado um número

n2

Flt È{

de massas peqüeno em relação ao que derreúa seÌ considerado'

os resultados obtidos pela íórmula acima serão nuito púrimos.

Ftt.8't

À equação de DurkeÌtey também forn€ce valores apÌoú- mados da primeiÌa yelocidade cútica paú um sGteúa composto de muiías massas.

1t1,1,

-j

- .i ì ;,, + ,l I

tjqua(ào de Dunkerìev;

oade:

6. : primeira velocidade crítica do sistema;

veÌocidade cÌltica que âpareccria se hoüì.esse apetras a massâ

'nj; (,, - idÍm massa m, el,c.

É bom ressaÌtar, mais uma yez, que tanto a equação de Ray- leigh-Ritz quanto a de Dunkerley dão ì.aÌores aproximados da pÌimeira Íreqüência DatüaÌ de vibração que ê aproximadâmente igual à veÌocidade cÍítica de Ìotação. Em geraì, a qìuação de Râyleigh-Ritz dá valores maioÌes e a de DunkerÌey vaÌores menores que o da frcqüêücia natural ÌeâI.

A det€Ìminação de vel@idades cú.icas maioÌ€s (de oÌdem superior à primeira), para sistemas enYolvendo mütas ma-csas, êxige cálcuÌos muito mais eÌtensos quê os neccssários pâra a deteÌminação

cÁP- 8 VET4CIDâDE CRITICÂ DE EIXOS E ,IÌVORES 77L

da primeira veÌocidade crítica. SeÌá âpresentada apenas uma equa- ção qüe se apìica enclusivâmente a sistemas compostos de dÌras

t Ì d, -Gnn,+a,,n) ;1 | @\a2 aeoü)n'm,-0.

Estâ equação biqüadÌada tem como Ëizes positiv"" -L "

-L, *6"

@ì e (d, são a pÌimeiÌa e a segunda velocidades críticas (ou fi.eqüôncias tratura''s d. v'òração). As düas mâssâs sào Ìn, c m1.

Á.s constantes o são coelicientes de ínflaêncía.

a'r : deflexão no ponto de âpÌicação da massa 1, causada por umâ ÍoÌçâ unitária atuante no ponto de aplicação da massa 2.

ar : dcflexão no ponto de aplicação da massa I, causâda por una loça unitária atuàntê no ponto de âpÌìcação da massa I ctc.

O teoÌemâ da ÌecipÌocidade de MaÌwell estatui qÌre ou = d!.

Para qualquer sistema composto de muitas massas a equação quc dá a freqüência é obrida iguaÌando-se a zero o deteÌmi-

( . ,^ *) @..n") V\z mz)

(a^ 'n')

(o' n') (""^- *)

PROBLEIIÀS RESOLYIDOS

I. À árvore que aparece nâ lig. 8-6 supoÌta uma engrènagem mr pesando 50lb (22.7 ks) e um volântc m, pesando Ì00 lb (45,4 kg). Âc deÍlenões estáticas são 0,001 2 pol (0,003 cm) e 0,000.3 pel (0,000.8 crn), rcqlectiyamcnte. DeteÍminar a primeira vclocidade orÍl,ico, desprezando a massa da árvoÌe.

172 'LE}íENTOS

ORCÂNICOS DE }IÁQÚÌNÁA

>ü/ô = (50) (0,001 2) + (100) (0,000.s) = 0,090lb rDl

>Wô, - (50) (0,001.2f + (100) {0,000.3Ì -81X r0r lb.poP

Fig' a-7

dn úâ$a cn relà{ão âo eixo dc snação. Asir',

- =

{$ - i+*p = 6ssra.,./s - 6 2501p.n.

I'is. 8-ó

>ltlá = (22.?) (0,003) + (45,4) (0.000 8) :0,r04ks-cm

>lyô, : {22,?) (o,oo3)e + (45,1) (0,000.08): = 2,33 x 10 . ks cm'

", - 1@ :

lgP'i*l, : 66rÌair/s = 63,0..p.ú.

2. Deduzir a equação ô, : 16lA quc dá a yelocidade critica

de um eiÌo supoÉando Ìrma única massa concelÌ1rada (Yer a

Fig.8-7).

Sc.ão dsp.ezodos: â peluenâ inclinação da m.sa e ôs êfeitos do at iü) e

admitida { eisiêrcia de uda peqÉna eicent.icidade e do ccnírc dê s.âÌidade

E.c.íúáú.) - + mrv? j- + n,v,, + ...

cÁP. 8 YE'CIDÁDE CEITICÀ DE TIXOS E ÀNVONNS 173

àX : íoI(Á de bola Sue o eüo exfte na massa, seDdo Ë a constete de moÌa úa rbnb de aplicaçãô da mNa, isto é, a Io.çá nec€sária a prcdui. deto@aéo mitária tr6te ponro;

(-t+.)o2 : aeÌdação do c€útrc de slayidÈdê dâ mdsá.

R@Ìyendo peâ -r, a dêÍloxão do oiro ú Íero onde êÈrÁ ôiluada a easss

' \ (k- tu1)=tu@2 . ' . x - .^"" -^.

Sob 6 cdsidâàçõe ÍêitG, a dôIlcxão lí tomas muiiô glarde quúdo r -

fr @.. A vefeidadê q ica ó o! - 1 ;t ú8. n - wl porlturo. Ã,n -

: k4!W : slô- (Po delinição, a detleÌão Grática ô ó a quc Èeie causada pêÌs

Ídça B/. r.so, ;

: ó.)

"": Jst6 -

cidade crítica de uma árvore que tradas (Yer lÌt. &8).

3. Deduzir a equação ro.: q2W6 II'ó? -*-

Buporta vfuias

a pdmeiÌa Yelo-

lìe. &a

ElboOaae a áúore ee üúa posiqão de yibração Da fÍeqüêúcia fundúental ., (l.o modo de ürì.aÉo), @mo mctra a Fis. 8-8. À tuersin poremial úáximo arEÍrooqdâ trâ &vore dcve s6 ÈuaÌ à enersia cinótica dG masÈas em movimento.

r74 EÍ]EMENTOS OBCâìÌICOS DE üÁQÚÊJlS

O úoyimênio ds úN6 sdá senoidar. À vêtocidadê báiiM paÌq qualqu

ds ms4 *ráX"@.onde '{n é a Ámpltiude do noünento da mNa 6úidoade.

E.c. (mtu.) = à a1 (x1o)' + ï ^r 62.)' + .. : i @' >n"x^'.

À enersia lolenciat úáÌimÈ afuadailâ Da á8ore é ieual ú trúìqÌho É

c*áÌio p$aÌeyálÀ sübafoma definidâpek amptiludë Xr,.f2 etq Portur.:

E.P.(úáx.) : à è1xl +à k'x,' + ... : t>knxn'

onde È é a coútútê d€ moÌÀ dja d€Íinição pode s sDlidda @mo sè s€suq

Âilnite4e que ,'r,fr,f3 etc.. sejd 4 forças que, asiÍdo simült€4deúte @ I'

9,3 eic., rGpectivammte, púdüzan s defÌ6õ6, Xr, -trt .trt etc. O fomâto dd

deíonâção da árEre depetrdê po.6m dst6 fo.çN e não aê @mo são âplicadG-

Podê 6q suposto, por exemplo, que I'1 foi apticada primeim, depob F.' m sêeDidâ

rr, ..., de qualqüd modo aÌbitÌáÌio que @ deie; no cN s fGçc sêrão c@i-

aldâd6 @no âplicedas sinultãncament€, a panir de zm ê euaÌdúdD @ú É

lâção lineqÌ lÍm as defl€xõ8, nG lontc delua apÌicâção.

Ver 6 diasraDs {o.çaìefoÍnação dâ Fis- 8{- O tiabalho @Iizdo no

potrto de âplicÀção ale cada foÍçe é ÌepÌ6@tado peÌq á@ smb@dâ sh a reL.

Isuãlado G €ndgis Íbten.iâÌ e cinéticã máidmG, aem:

Supondo aeora quo a fomâ que a áÌwre adquie dt'@t€ a vib'â{ão ê a

m6ma que a produzidâ peÌÀ ilêfldão ëtática, isto @í6ponde a e re -{r =

= C6r, Xz = C62 et{. Tâl dúcluão não cor6ÍbÍde à reaüdâ{Ìê m3 @ dá

úa apronúÀção reoáYel. Àsim:

" :Ã"ô"' s>w"üd'='2n^ô^' - -tw;t:-

w- pois

"r" : -- e hnoa - w".

' Aa-itioao â freqüênch natúal de übÌação o' isúal à vel@idâde cíticâ

de Íoiação @. e abadoúddo o írdice t pd siúpÌicidsde dá, fiÍalmmte:

s>wõ '"

= ->wr-

zkíx.N

Frs.8-t

4. Duss massas tnr e m2 suDoÌtaalas pela áÌYoÌe da Fk' 84

p€sâm, lespectivamente, t40 1b e 60 lb' PoÌ meio de ümâ análisê

cÀe. 8

dqs deflexões,

VET,OCIDÁDE CBTTÌCÂ DE ED(OS E .ÃRVOEES

wr

116

os coeÍicientes de influência enconhados foram:

ar:2 X 10-6 pol i lb, ale : 12 X 10 6 povlb,

4 X 10{ poÌi4b.

DeteminaÌ a primeira velocidade critica, desprezando a massa da

(c) Ur@tdo d eqdrtu d. DunheÌlcr:

(r40) (5,20) rr (60) G2,80) rr : 0,68) r0-'

> : (14,96) lo_' Ib.pol

w6

(l)

(2)

= (37,9) r0-ó

(?,60 (ro ,) (12,80) (ro3) : l9grlllq1 t-: (Ú6.2) lo'a lb PoP

I (3Só, (14-16' 10 ' - - . ' ' - { f f i -ost"ai ' '

" , { í={- t ={ *1-" 'n 'oo,

I t+ l_ I + I

(ó) U@tllo a .qüaaão.le Raieisn-Rí|.:

| '2wõ' ' = l .nü ' â\ - Wraú + W2 a* = (r4o) (2) Ì0i + (60) (4) r0-ú : (5,20) r0r pol,

õz: waa2r + wraa: 60) GA rF + (140) (4) r0 6 = (rt,8q r0r{ Pol.

(r)

(2)

: (7.28) 1o-,

(?,20 (r0-,) (5.20) (rr)

^s du4 slüçõ6 são òfamra, @mo era de se 6pdd: e êquação dè DuD

lüÌey {ìâ valoé iDfdid6 ú Ìear e â de Râ eish-R,tz dá vâÌor6 suPe.io.6.

O vdú Ìeal 6Ìá compÌmdido êntre 62r e 6sl rÂd-/ô.

k Ur@út a quaaão d4lr.qúôneíc

á - t

" - , I a*nà a,

+ íara,2 - ot '6ìnt n ' -0.

(ou '|,

+ de h!) - (2) (r{ts) t;;, + ('r) (rüir (ì;, = (2.se, r0 6.

Gtazl - aaozt)mro'z: If"l Orl - tnl trl I !4#E

: (0,45r) u-D.

176 IìI-EìIENTOS ORGÂNTCOS DE }'íqUFIÀS

eo"tunr., 1l - {z,sll lau 4 + {o"ts,)ro ' - o n-u a qual a mdoÌ mü

posiiiva é a, = 624md./s.

0" (25í cr|}) 0:' (25,a cm) =1()0lb

(45, 4 k9) i =50 lb (2,7 ke)

D.fl.Ii.

z5

IÌs. 8-10

E3ie ó o vaÌo. r@l dâ velocidade c.ítica (d@íÉ da pÌeiúo da.ésú de cál-

culo). Púa ete ce pïíicììa. a equr6. de DinÈdley trs dá eelhd aprcn-

maçõo que a de RaJl€rgh-fttz,

2" (5,1 cm)

lb (45,4 ks)

70 lb (31,7ô kg) 700 lb.pol.

:lO0 lb pol. (161 kg.cm)

c,rP. 8 vEi-ocrD-rDE cRÍTrc-r D! Erxos E ÁRvoBEs

49.AA2

L71

5. À árvore de aço da Fig. 8-10 suporta duas engrenagene pesando 50 lb (22,7 kg) e 100 lb (45,4 kg). Desprezando a massu da árvore, calcular a primeira velocidade crítica.

ustudo a €quação d. Ralhisr,-ni''.. - t/ 3tíof , " ',**" .r".

"".-t siste na deterúinação dG ô. O prcc6so ê esuir se.á o que mosr.a os diá_ grlìl@ da Eis. 8-10.

(r) Supor cúr€gamenb estátis com forç4 iemis a Iyr e nr, e com ràis sdridos que a á.vorc se cu.ve adqui.iÂdo â fo.ma mais simpì6. tcm-se â.$im o diÂgÌâ@ de cdregúenke.

(2) Càlcula B.eaçõ6 nos ndcais-

(3) Dètcmiotu os momentl)s flerore e 6boqa. o diàelaDa.

(4) Dctc.minü e defÌciõ6 ôr e ô2, uando lor eÌcDpto, o mórodo .lo mo_

(d) ZrDl : eoúenro da á.eas ár, Á, e 43 eú tomo ile e

l ru ' ; uu' l ( r0 ï ) F(r0,(a00.,s, n0ì i100)

(m) -

= ?6.66? lb pol.;

zLEI = 76.667 (19) =:o:: :u.nr, ;

zsEr - 76 661 (ff) : roz.:aru.,.r,,

4El moo"Dr. íli ürP! 4L êm lom dp p =

í10) íì00\ / ì0\: " - i (J, f - t r .66?lb poÌ: :

Zí81 : moúenío ds árcs Ár, /, e,4, em rorno de U -

-

1to t ;J | ' ro,r4oo, ' r1,

* !q#q ( ,n ï ) r Ì9 (h) - r ; rzrorr , p.r , ,

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(5)

(6) ôr - : (:,118) 10 r pôI,(3) (107) (0, i85)

a : 1')#ffr6r, - rr'''2)ro-3 pol'

1?8 EI,EMEìI'IOS OEGÂNÚOS D4 ìtrÁQÚNÂS

(?) Iy1ôr = (50) (2,rr8)loi = (r0,59)(rt

rí1ôr-(roo) G,B2)r0 3 : {ll'34r0.' > - (2r,9r)ro

1

w\ ô\t = (2,24x)W w"âÌ=(ry! :

> = (r,520 t(r

|,zw6 ""=1-m_=

,r\ J eD = e'o6kc

'- ' t Âs=3r,7óLc

$ffff:nr*a.,".

, r , { ,v '=eoers.- t ltfr = 46rlg cm

(3) (ò 4 Er = ë1ë]4! (,',' +#) +t'.nrtlerr ($) +

+-llaf-ltl ffi " r,r) = ,',n' fnor (' + ]) +

+ c",,o (+)] - s?o.oooks'cm!;

\h) z'EI = 57o.o@ (*4") : t t...o'

{.) zrEr = 5e6 000 ffi) - ooo.ooo t* *'

<a; z,et - ël|Y (?95 =s6 6001*'.-',

(e) ZíEI - 555.Mo +390 000 + 163.000 + 63 '140 = I u0 000l(g cú3;

U) 6zEI = ZeEI - ZaEI:284.000 - 86 600 : 197.4001a_cú'

ôltI = r.l?0.000 800.000 = 370 000ks cmt.

(41 Ì=-:- : : : -=33,2cór.

E = 2r X 10ó kg.cnt.

370.000 33,2X21XlG

a, - =,urlfi.' : 2,8ó x ro-t@.

Wr6L - Q2,7) (5,30) r0-r : 0'r2r ks'@'

}yr ôr = (45,.Í) (2,86) l0'r : 0,130 kc'cm'

ttYô = 0,25r kc cm.

W1 ôrr : 0,640 X r0-'kc'@',

IY' ôr! = 0,370 X 1F ka cnz,

>Wôt = r,010 X 10_t Ls.cm'?,

(6)

(?)

vEocD.lDE cúTrcÀ DE ED(os E íÌvoÊEs 1?9

I-"2w6 l{rartõEii

ú," = t93ndJ&

ó. Determiaar a prineira e segtmda yelocidâdes críúcas parâ o sistemâ dâ Fig. 8-10.

r. Ssá @da na $ru€o a equa6o da tuqúâich:

I . l _ ;a

(otr,'h + da Dr ;. + (afl

"n - ou o'ì)4lna-0.

O úaid tÌabatho c@ist iÀ derad!À6o dê ar1' d!! ô dlr = d,1. Dú{s bíE€ & {ìêÍqõ6. da6m m Í€irs.

2. Püa e detãmiDü ao e q pode sÈ .plicaiÌa l,@ Éaa de r lb Da poôi- íão d! @sa númm r, qchdd(E êú 6€suidú e dêíexõe eb s úNsB r e 2 (vE l"rg- &lr). AuloAúdte p6ú â delerúinação de d2, ê au apti.ose Me cüea de r lb !o l@al dtr bG& núm 2 ô e achaú 6 dêfldõq {,lrcDonddres úb s |.* 2 e I, Gpèrivâl'urè F.@do à D*Í€ G cálcuto6, G rdulüdos

oE - dl " (9,5o) t0. povlb. d11 : (r5,3S) rrpoub, .tr = (?,ri) l0{pol,'Ìb.

t.,tôt + a^n,- (2i.35)rr" ($) +rz,ooro-"(j$) : rr.rupo-.,

(dlra' -ar o't arzÈ = tes,35) (7,04 - (4í,]l

- (3,59) r0-tt.

j - o,u"r oo "l j + ose) ro-u = o

Fig. 8-rl

180 Er,EMENros oRcâxrco$ DE ìríQDrNÁs

que iem como mízG Í6i[iYas:

o.. - 483 rad /s oq = r ' 090 ÌadJs-

?. Os mâIÌcatu do eixo ÌepreserÌtado na Fig. 8-12 têm fleÌi-

biÌidade €qÌìivalente a uma constante de moÌâ È de 250 000 lb/poì

q=a'

b- ro'

fig. a-l2

em qualqueÌ diÌeção peryendicú ao eüo. DeYido à caÌga' o eixo

sofre uma dcÍtexão ôu:0,00r.8po1 sob a carga de 3001b' Qual o eíeito da fÌexibiüdade ús mancâis na Yelocidade cúüca p

l. Se os supoft6 fo$en Ìigidos a vel@idadè dicica sie:

"" - y'g.ror : r/:oeloPot.o - 4ó:-a,,,".

2. A fleÌibilidâde dos süpôú6 âunmla â defldão no !onr, de apticâção

ila caraa, medida em relação à linha de centÌo do eiÌo dBcaÍesailo. Prâ câÌ-

coÌar a vel@idade citica, !ôd€ er úada:

"" -,fotu mt y1 : i?l/Ë = 100/250.000:4X lF tDl y, = À2/È : 200/250.000 = 8 X 10-4pol

ô,=\+t$ r t ; j : =(ó,7)r(rpol

àô + ò. : (r8,0 + ó,?) 10é = (24'7) Ì0r Pol'

Eítão:

." = y':s6í2a,?xro-') : ecs.'a./*.

c,\P. 8 rÌr,ocrD-rDD cRíTrcÁ DÈ llxos E tRvoREs 181

À neÌibilidade dG suporíe rcdtrz a vetocidade cirica de

(4fi 3q5' ,^^-' 46a::

1007.ô " l57a

8. DeduziÍ â equaçào de Íreqüência ),-A,,^,+*"^l j +

+ (ar1a,, - &v a'ì m1n, = 0, pâÌa um sistema de duas massas.

Fis. &lj

l. V6 a Fis. &13. CdsiddaÌ o ei- em noÌtnenío e ófÌddo deflêxões .D virhde das füçs eenhíuS:s níro1 e Dú,ot, úos potrio! onde 6rã0 fi_

t\ : a1tryJ\62 + a\rnztzé,

r t -a22n{4t2+dt\mgp,.

2. Dõ €qu$õ€ tuiúa, @locaDdo rÌ e r, eú €vidência e dividindo por oq,

(dunt ' t , Y, + (dr?ntr , - o

(2,, ni)r, I (o? n, _ ;) y! = o.

3. R€olvmdo pera h/t, Dâs equaçõê âcim!:

JJ. = =; ;aen2 e !! - rla'z - ca2n,

tt t!a' a\\m\ !2 a2t h\

Enüo:

'a d.Íl

1.

a12nt _ 116, - at nz

ã -(aú'a lagnt)-è | tanan-abd2úmt. n2=o.

Podqia sd @lüdo mâiÊ simpl€mente, po meio dê um derermiÍúre

(*^-*)

(**-à) =0.

182 xr,EMúNl$,S ORCÂNTCOS DE ìúÁQI'INÁS

5. PÀÌd d6eíÉÌver a €qua6o de fteqüêÍcia' havddo !m o'id núúdo

dê nasss eúlüd6, pode *r ôêcúdo o memo raciocínio' l3r@endo om! qú-

ção pea a dêfldão sob .adâ masa À fim iÌe que o sistena d€ equaçõ6 eja

sâtióioito, o iletêrminaúie fomado peÌG co€ficidra dG v d*e s Íülo'

9. Deduzir a equação de DunkeÌÌ€v pâra um útema de duas

r. PaÌíiíilo dâ equ&ção de fftdêlcia ddivada úo Pmhl' 8:

;{ .- (dtr''ì r"oox\,,t- | lada22 aadt)fr.'a - o

2. Em qualquer êquaÉo ile f(ma I + òz + ': o âg'@ddsÌâi6 ó

- ò. Poriaú: z\ + .t = - b. Àsiú' !a nca equado dâ íftqiiêúia:

";"

+-;7 : a\tmL + aún'

oúde, o', e ô., são a p.iúeta e ses:rda Yêloddad6 cÍíti6' É!erivll!d&'

3. oq é 8.rãlm"nlê muil.o Daior que @.' Porrâtlo: -+ sá

"ilo

^,t- *" 1t a":, oo,o.i^a.n *,

1 @qz:atLtu+aúnt '

4. Tmbém se tem: d\rr{= anwlc eo\\Wr= ò!, n deÍerão etática

eb â mNâ núúdo I, caNada Pc Itlt lsiÍdo wiÚha PoÍtarto: at1 m1 - = áu/0 = r/@1, ondq @r : Yd@idadè círid $É êÚstiria e âpd@ 6liYe9

**"ão u -*.

númm l. ÀÍatrogammtet a8m2 = Vtt'a'

s. Àsim. ---.1" = -- + - ,, qu. é a equâção p€dida.

6. ÀsorÀ ficq didedé p@ quê â êqu'{ão de DonkÈlêr d dá târ(E É

' n* q." o Faì pm a rel@idsde siricâ. ^

eqüado admik -+ - oú rr +

+ ann, e aa Eaüdade 6e tôú:

Ì1 ;F=*^

| oqn' - 'z '

10, Um eüo de aço de diâmet o D possú uma velocidade

crítica de 1.200 r.p.m. Se o eixo Íosse oco, com iliâmeho intemo

iguâl a 3/4 D, qual seria a Yelocidade cútica I

' ' " =9""a*l. o; 6 ptoporciooal a Vô; atão,+ ' ,o @.i = v€l@idade ditic. Pân o dxo @l

@d = vel@idâdo ditica pülo €üo maciço;

ciP. 8 irr,ocDrnE cBíTrc DE rrxos E ÁRvoREs

ôr : defleúo 6rática pata o €iÌo máciço; ô, : deÍleião eiática paÌa o eüo o@.

Oó3.: Àmb6 6 dcflexõe corcpobdendo ao mesoo poDro.

2. l'lnndo o ci&, redu@-se o seu pe e a.igidêZ, afetaúdo Nim, de dois mdc, a detlexão

O pëo é reduzido na Ìeão:

rr/^ Dt (tl4 D)' 7 w,:- a - ' l r ' '

O momdto de iné.cia I da seção l.mÌe.sal ê reduido .â reão:

rh ü - \ l t t Di ì?s I ,= a-

= z ih '

3. Cono ô é pÌopoÌcional a lÍl, tem-sêl

ì ; - t ; ) ( , r ) = r .s62eod - . . , \ ó"ôr I :00\

- - ,ô2-: 1.500 r,p.m.

A Ìedução dâ n6sa tcDde â aum€rrar  vclocidãde c.ír,ica enquanio que a .igidez tade a diúinui-la. À massa 6ofe m{ior redução que a.isidezi o eteito Íinal, po.ranto, é um âumerco {ìa yeÌ@idade c.ii!€.

PROBLEìITAS PROI'OSTOS

ll. Um eixo simpÌeútute apoiado em dois mancais septuâdos de 20 lol (50 cD) supo.rô un lolanle de 80 lb (36 ke) Â ? poÌ {r7,5 cm) à di.eira do úancal ÊquÈdo.

^ cuúa de defleÌão pas p€ìG porios:

D.t rúi(d a vclocida.re c.iri€.

Â6J).: ^prcimãdamênie

2.,t00 r.p.m. (2.500 ..p.m. no sisl,ema mér.i@),

12. Uma árÌ'o.e dc âço de,ú pol de @mp.imenro 6rá simplemenre apoisda Drl .xtrefridad6 e tem üm diâmctú de 3 pÒl n6 90 pot c€nrrois e diâmerrD de S,5 pol no 6tmÍe. Nos rúntc dc mudanç! dc diâne.ro r,emos dus massas de 100 lb ccda. D€púzado a mGsa da árvore e úúdo a equação .le Royleish- .Rlk, cl