Livro Questões Anpec - Capítulo de Incerteza, Exercícios de Microeconomia

Baixe Livro Questões Anpec - Capítulo de Incerteza e outras Exercícios em PDF para Microeconomia, somente na Docsity! icea(:rA: PROVA DE 2004 Questão 9 A respeito da teoria da utilidade esperada, identifique as afirmativas corretas: o o Q Resolução: (0) Falso. n O prêmio de risco de um indivíduo propenso ao risco é estritamente positivo. É possível avaliar-se uma loteria apenas pela média e variância. A utilidade de um indivíduo é u(7) = In(Z) e a riqueza inicial é w, = 12. Propõe-se ao indivíduo o seguinte jogo: se sair cara no arremesso de uma moeda equilibrada, ele paga 5; se sair coroa, ele recebe 5. O prêmio de risco desse jogo é 1. A composição de uma carteira de ativos de um indivíduo avesso ao risco pode conter ativos financeiros de retornos incertos. As funções u(z) = 7'2 e u(z) = (1/2)In(z) são utilidades esperadas que representam as preferências do mesmo indivíduo. Se ele for avesso (apresentando uma função de utilidade de Bernoulli côncava), o prêmio de risco (diferença entre o valor esperado e o equivalente valor certo) é positivo. Se ele for avesso (apresentando uma função de utilidade de Bernoulli convexa), o prêmio é negativo. Se ele for neutro (apresentando uma função de utilidade de Bernoulli linear), o prêmio é zero. Quando ele é avesso, ele prefere (tem mais utilidade em) receber um valor certo a participar de uma loteria (com retorno incerto). Por isso, ele está dis- posto a pagar um prêmio para não participar da loteria (e, desse modo, se livrar do risco). Já se ele é propenso, ele prefere participar de uma loteria a receber o 76 Dr valor certo esperado dessa loteria. Por isso, ele só estaria disposto a abrir mão de participar da loteria se recebesse um prêmio de tal modo que, ao final, rece- besse um valor certo acima do valor esperado da loteria. Prêmio de Risco = Valor Esperado da Riqueza - Equivalente Certeza u u(EW) | EU (1) Verdadeiro. Todo risco tem uma distribuição de probabilidades. Analisá-lo pelos seus dois primeiros momentos é uma alternativa equivalente (a média é o primeiro momento e a variância o segundo momento). A ideia por detrás é que os agen- tes, de forma geral avessos, gostam de um ativo que tenha média (dos retornos incertos) alta e que apresente baixa volatilidade (i.e., variância ou desvio pa- drão dos retornos com relação a sua média). Portanto, pode-se modelar que as preferências dos indivíduos sejam em função destas duas medidas (média e variância), em que a primeira mercadoria seja um “bem” e a segunda seja um “mal”, e que a restrição seja dada por uma reta que representa o trade-off entre risco e volatilidade. (2) Falso. O prêmio de risco é levemente maior do que 1. Ele é 1,1. Por isso, a ques- tão é falsa. Vamos à resolução: pelos dados do problema, o indivíduo tem uma renda certa de W, = 12 e uma loteria de: m 12-5=7, com probabilidadade 4; m 12+5=17, com probabilidade 4. A utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern é tal que: E[U(w)] = In(7)1/2 + In(17)1/2 = 2,39 ELSEVIER [ei ND A decisão em adquirir ou não depende da comparação entre as duas alter- nativas acima. Assim, ele adquire o ativo arriscado. (3) Falso. No item (2) vimos que: Elu(w)) = 4 Desse modo, podemos calcular o equivalente certeza: E(u(w) =u(w) > 4= vw, logo, w = 16 (4) Verdadeiro. Retorno sem risco é igual a retorno com risco (para um ser indiferente ao outro) - que é o equivalente certeza. Logo: 12(1 +17) = 16 12+2r=16=>120=4=>1=0=33,3% PROVA DE 2006 Questão 12 Um consumidor tem uma função utilidade de Von Neumann-Morgenstern representada por u(z) = log,(z). Ele possui uma riqueza inicial de $128 e participará gratuitamente de uma loteria que pagará $384,00 com probabilidade 1/2, e $0 com probabilidade 1/2. O menor valor que o consumidor estaria disposto a receber em troca do bilhete de loteria é de 2º. Qual o valor de 6? Resolução: De acordo com os dados do problema, temos: Dada a sua renda certa inicial w, = $128, se o indivíduo participar da lote- ria, terá o seguinte payofj: m $384+ $128 = $512, com probabilidade 0,5; m $0+$128=$128, com probabilidade 0,5.  E] Dr A utilidade esperada da riqueza é portanto: E(UW) = pule) + pule) > [a Jos: (e12)+[2 og; (128)=> ()b+(2h =8 u 9 “EM = 09,320 E=8 | 7. 128 256 320 s2 W W, We EW w Para encontrar o “Equivalente Certeza”, basta igualar o valor da utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern à função de utilidade do consumidor, da seguinte forma: log,(w;o) = ELU(W)] log (wo) =8 Wç= w, =2º=> O menor valor que o consumidor estaria disposto a receber em troca do bilhete de loteria, considerando wo = 0. Como ele já tem w = 128 = 2, a resposta final é: 2º - 27 = 2? = Logo, a resposta é 7. Resposta: 7. PROVA DE 2007 Questão 15 Um indivíduo tem uma riqueza não nula e sua função de utilidade Von Neumann-Morgens- tern tem a forma funcional u(x) = k — a/x, em que a e k são constantes positivas e x > a/k. Este indivíduo é convidado a participar de uma loteria que triplica sua riqueza com probabilidade p e a reduz à terça parte com probabilidade (1 — p). Qual deve ser o valor mínimo de p para que o indivíduo aceite participar da loteria? Multiplique a probabilidade encontrada por 100. ELSEVIER [ei ND Resolução: Primeiramente vale o comentário de que a função u(x) = K — a/x é de Ber- noulli e não a de vNM. Esta é uma confusão recorrente. Dado w>0,0 indivíduo tem a seguinte loteria: = 3w,com probabilidade p; n E com probabilidade (1 - p). A função de utilidade de Bernoulli será dada por: u=K -2 x A sua utilidade em uma situação sem risco (SR) é: Uw)=k- Wo A sua utilidade em uma situação com risco (CR) é: Flu(w)= ne ea-npe- 3w w o o Condição de não arbitragem: u(S,,) = (Sc). torta vw, 3w, w, o o o KL pr PE poda pp, tôa Wo 3w, Wo o p -1=-É 343 3 b 6.3 6=-p+9p> p=—==0,75 Pp+9p=>p 84 p=0,75)(100) = 75 84 Dr ele estaria disposto a pagar, para ter um seguro completo de uma renda de $100, o valor de ST = W, - EC = $100 - $81 = $19. Como observação adicional, vale lembrar que este problema é diferente do problema do seguro de um carro, em que a renda máxima amanhã é a mesma de hoje, caso não haja roubo. Portanto, no caso do seguro de um carro, o indivíduo avesso ao risco quer se assegurar (completamente, se o mercado for justo) no va- lor da possível perda. Neste problema, entretanto, a renda segura é menor do que o payoff máximo futuro. Por isso, a maneira com que se encontra o valor máximo do seguro a ser pago é um pouco diferente, embora passe pelo mesmo conceito. (2) Verdadeiro. O prêmio de risco é igual a $3. Ver item anterior. (3) Verdadeiro. O coeficiente de aversão absoluta ao risco (AA) será dado por: 1% ut 4X 1 AA Lo 4 =—x". Portanto, quando W aumenta, AA diminui. u 1b 2 2 (4) Falso. A utilidade do valor esperado da riqueza é maior que a utilidade esperada da riqueza Von Neumann-Morgenstern > u(E(W)) = 84 =9,17> E(u(W)=9. Questão 4 Considere um ativo sem risco, com retorno r, = 10%, e um ativo arriscado (digamos um investimento em ações) com retorno esperado r,* = 16% e variância o,? = 4. Julgue as afirmações: De acordo com o modelo média-variância, o preço do risco é p = 0,06. De acordo com o modelo média-variância, a taxa marginal de substituição entre risco e retorno é 0,03. De acordo com o modelo de determinação de preços de ativos de capital (CAPM), se o beta de um ativo arriscado é 3, o retorno esperado desse ativo será 28%. De acordo com o modelo CAPM, se o beta de um ativo é 0,5 e se seu valor esperado é $226, o ativo deveria ser vendido, hoje, a $200. O risco total de uma carteira de ativos será reduzido se alguns de seus ativos forem negativamente correlacionados com outros ativos da carteira. o o o co ELSEVIER [ei ND Resolução: (0) Falso. v o, v E(r, ) =", (Ep onde P = Eln)-1, é o preço do risco. Então, usando as informações do problema, temos: El(r, )-r, — po flor [160% 093 3% Oy (1) Falso. Pelo gabarito da ANPEC esta questão é Verdadeira. A taxa marginal de substituição só tangencia a restrição orçamentária no ponto de equilíbrio. Assim, em equilíbrio, temos que TMgsS = P = 3%. Fora do equilíbrio, no entanto, a TMgS pode assumir vários valores. Como não foi dada a função de utilidade, não é possível calcular a TmgS. Então, de forma geral, nada se pode afirmar. (2) Verdadeiro. Dados o retorno esperado do mercado E(r,) = 16%, o retorno do ativo sem risco r,= 10%, o , = 3, pela equação do modelo CAPM (Capital Asset Pri- cing Model: E(r) = R,+ Bi (B(r,) - rf), temos que: Elr) = 10% + 3(16% — 10%) = 28%. (3) Verdadeiro. Com as informações do problema dadas pelos itens anteriores, temos que: E(r,) um 10%) =13%. Para encontrar o preço do ativo i, hoje, temos que trazê-lo a valor presente, da seguinte forma: E(r,) $226 8226 Preço=""D =" =>— = = = 200 [+E()] (1+0,13) 1,13 EL DR (4) Verdadeiro. Quando dois ativos que pertencem a uma carteira têm uma covariância negativa, a variabilidade do portfólio diminui. Por isso, ativos que são negati- vamente correlacionados são valiosos. Portfólio = ax + by V(P) = 4º V(x) + bºV(y) + 2ab cov(x, y) PROVA DE 2009 Questão 8 Um indivíduo possui a seguinte função de utilidade U = 1 — (1/w), em que W é o valor presente líquido da sua renda futura. Neste momento, ele está contemplando duas opções de carreira profissional. A primeira opção dará a ele uma renda certa de w = 5. A outra alternativa dará w = 400, com 1% de chance, e w = 4, com 99% de chance. Assim, responda às seguintes questões: O O coeficiente de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt é 7/W . O Émaior a utilidade esperada da segunda opção. & Suponha que exista uma forma pela qual o indivíduo saiba exatamente se conseguirá obter W = 400 ou W = 4 se escolher a segunda alternativa. O maior valor que o indi- víduo estaria disposto a pagar por esta informação é 1. & O equivalente certo (ou equivalente de certeza) da segunda alternativa é 4,5. O Aaversão relativa ao risco deste indivíduo diminui no caso em que ele possua W = 400 se comparada ao caso em que ele possua W = 5. Resolução: (0) Falso. Dada a função de utilidade de Bernoulli: u(W) = 1 — W'!, teremos: w=Wº>0 u”=-2Wº<0 O coeficiente de aversão absoluta ao risco (AA) será dado por: n “Wa asA=É- 2H) =2W”, u! W ELSEVIER [ei ND (0) Falso. Transformações afins positivas de funções de utilidade esperada de Von Neumann-Morgenstern preservam o ordenamento das preferências. Para comprovar, notemos que: Seja a definição de uma transformação afim positiva (TMAP): Vlpx + (1 - p)y] = aU (px+ (0 -p)y) +b Substitua U(.) por uma função de utilidade de vNM: Vlpx + (1 - p)y] = alpUG) + - p)UQ)] + b Por algebrismo temos: Vlpx + (1 = p)y] = plaU(s) + b] + (1 - p)laU(y) + b] Vlpx + (1 = p)y] = pUGo) + (1 - UG) O que obtemos é justamente a função de utilidade esperada de vNM. Ou seja, pode-se dizer que se submetermos uma função de utilidade de vNM a uma TMAP, ela preservará a propriedade da utilidade esperada. (1) Verdadeiro. Os estados de natureza são independentes. Um exemplo é: ou chove ou faz sol, isto é, somente um estado da natureza ocorrerá em t + 1. Não confundir, no entanto, com o axioma da independência que diz que se o indivíduo pre- fere da loteria x a y, ou seja, se x > y, então, se fizermos uma combinação linear dessas loterias com uma terceira loteria z, continuaremos a preservar a relação de preferência entre x ey, isto é:tx+ (1 -tz>ty+(1 - tz (2) Falso. A função de utilidade esperada Von Neumann-Morgenstern é linear nas probabilidades por definição. Assim, uma função de utilidade do tipo U = u(c)” u(c,)? (mencionada na questão), não representa uma função de utili- dade esperada de Von Neumann-Morgenstern, que é sempre representada na forma: E[U(c, c)] = pju(c) + p,u(c,).  (3) Falso. Se uma função de utilidade de Bernoulli for côncava, isto é, se tiver a sua primeira derivada com relação à sua riqueza (ou consumo) positiva (u'> 0), e a segunda derivada negativa (u”< 0), esse indivíduo será avesso ao risco. Neste caso, a utilidade associada à renda certa é maior do que a utilidade esperada associada à loteria (renda incerta). Resumidamente temos: u" < 0 > Avesso ao risco > u(E(w)) > E(u(w)). (4) Falso. u u(EW) EU) Este item é falso pelos mesmos argumentos expostos no item (2) desta questão. Questão 5 Avalie as afirmações abaixo: o o Seja u(W) = e" uma utilidade Von Neumann-Morgenstern, em que 8 > O é uma constante e W é a riqueza. Então [3 denota a medida de aversão relativa ao risco. Suponha que uma carteira de ativos arriscados possui retorno esperado 1º = 21% e variância o? = 0,09. O ativo sem risco oferece um retomo r' = 3%. Então, de acordo com o modelo média-variância, o preço do risco da carteira é p = 2. Suponha que o retorno de mercado é rm = 12% e a taxa de retorno do ativo sem risco ér,= 8%. A variância da carteira eficiente é o,? = 0,01 e a covariância entre o retorno de um ativo A e a carteira eficiente é o, , = 0,5. De acordo com o modelo CAPM, se o valor esperado do ativo A é $64 (unidades monetárias), então o preço do ativo A é $50. De acordo com o modelo média-variância, se a taxa marginal de substituição (TMS) entre retorno esperado da carteira e seu desvio-padrão é TMS = 0,3, se a variância do retomo da carteira é o,2= 0,04 e a taxa de retorno do ativo sem risco é r, = 12%, então O retomo esperado da carteira é = 18%. Um indivíduo possui utilidade von Neumann-Morgenstern u(x) = xe possui riqueza W = $100. Ele está sujeito a uma perda monetária aleatória X, com distribuição unifor- me contínua no intervalo [0,100]. Se ao indivíduo for oferecido, ao preço de G = $55, um seguro total contra essa perda aleatória, então ele comprará o seguro. ELSEVIER [ei ND 9 Resolução: (0) Falso. Dada a função de utilidade: u(W) = -e?", teremos: u(W) = Bem uW) = er Assim, o coeficiente de aversão absoluta ao risco (AA) será dado por: ao Bem B u! Pe , Note que o coeficiente AA é constante e não depende de W. Por sua vez, o coeficiente de aversão relativa ao risco (AR) será dado por: u" J Zebw AR=->W=-L>2- =W u' Pe B Neste caso, o coeficiente AR depende da riqueza positivamente. (1) Falso. Dados o retorno esperado do ativo arriscado E(r,) = 21% e a variância da carteira o? = 0,09 o, = 0,3, a equação que mostra o trade-off entre retorno e desvio padrão (que é a restrição orçamentária do problema do consumidor que está maximizando uma função de utilidade parametrizada pela média e pelo desvio padrão) é a seguinte: E(r,)=" (Put, Oy onde P= Eln)-m Oy é o preço do risco. Então, usando as informações do problema, temos: E(n)-r, Oy p= [E =0,6 = 60%. 0,3 Dr u(EW) = 7,07 Elul=6,6 0 444 50 100 w Wo Wc EW m, Agora temos que encontrar o Equivalente Certeza (EC), isto é, o montante fixo mínimo pelo qual o consumidor paga para se livrar do risco. Esse valor pode ser encontrado da seguinte forma: Wi =E[(UW)) | => Wc = 6,666> mo =44,4 Então, para responder à pergunta, precisamos considerar que o valor igual a $44,4 é o valor máximo que o indivíduo iria aceitar para se livrar do risco. O seguro total que o indivíduo pagaria seria a soma, portanto, do prêmio de risco (diferença entre o valor médio da loteria, no caso $50, e o EC, no caso $44,4 = $5,6) com o preço justo pelo seguro. Em outras palavras, seria a diferença entre o payoff máximo garantido (no caso, R$ 100) pelo seguro e o Equivalente Certeza (no caso, $44,44), que é igual a $55,56. Portanto, o indivíduo pagaria até $55,56 para se ver livre do risco. Como lhe ofereceram $55 pelo seguro total, ele o comprará. PROVA DE 2011 Questão 5 Com relação às decisões dos agentes sob incerteza, é possível afirmar que: (O Se Pedro define sua utilidade a partir de um nível de riqueza W, de tal modo que sua função de utilidade é dada por u(W) = VW, em que a e c são constantes positivas, então Pedro é avesso ao risco. (OD Supondo que João deve pagar $2 para participar de uma competição cujo prêmio é de $19 e a probabilidade de ganhar 1/3. Se o agente possui uma função de utilidade definida por U(x) = log x e o seu nível corrente de riqueza é $10, então não faz sentido que ele venha a participar da competição. () Maria herdou uma propriedade que lhe proporciona colheita de $100.000 em condições favoráveis, com probabilidade de 60%. Se as condições climáticas não forem adequa- ELSEVIER (ep) Re das ela tem prejuízo de $20.000 com a atividade. Se Maria é avessa ao risco e uma empresa lhe oferece um pagamento anual de $70.000 em troca de toda sua colheita, ela aceitará prontamente a oferta. Joana possui uma propriedade que vale $300.000, mas está preocupada com seu futu- ro, cujo bem-estar (U) depende integralmente daquele valor, segundo a relação U(W) = W5*. Em um dado ano, existe a chance de 2% de que a propriedade pegue fogo, o que resultaria em uma redução de seu valor para $30.000. Nesse caso, os indícios são de que Joana é avessa ao risco. x /2 & Supondo que Antonio possui uma função de utilidade dada por U(W) = Eu em que W equivale ao seu nível de riqueza. Supondo que ele participe de um jogo com distribuição de pay-offs apresentadas no quadro abaixo, então a utilidade esperada do jogo equivale a$25. Situação do Jogo Pay-offs Probabilidade 1 $400 13 2 $225 13 3 $100 13 Resolução: (0) Verdadeiro. Para resolver esta questão, há que se saber se a segunda derivada da função de utilidade é crescente ou decrescente. U(W) = acW-(s+1) U(W) = -a(a + D)cWt2<0 Como a segunda derivada da função de utilidade é não positiva, a fun- ção U é côncava. Logo Pedro é avesso ao risco. (1) Falso. y —8510+19-2=27 Dados do problema x —&510-2=8 Fará sentido participar da loteria (competição) se a utilidade esperada de von Neumann-Morgenstern for maior do que a utilidade de ter uma renda cer- ta. Isto é: E[U(w)] > U(w,), onde w, é a renda certa. E[U(w)]= Milogzr + Vlogs = 0,477+0,60206 =1,079 > logl0 = 1. 96 DR HU(m]= : Log $ + : Log? HU(w)] = Log 35 +Log 2% ElU(w)]= Log 3+ Log 2º E[U(w) = Log (3* 4) = Logl2 > Log 10 Então, faz sentido participar. (2) Verdadeiro. Se w, > E(w), ela aceita a oferta. E(w) = (0,6 x 100.000) + (0,4 x 20.000) = 68.0000. Como 70.000 > 68.000, ela aceita a oferta. (3) Falso. Para Joana ser avessa ao risco, temos queter U"<0. Temos que, U (w) = = + “ 50) K ; eU (w) = TE” X 20, Logo Joana é propensa ao risco. (4) Falso. A que ver se a Utilidade Esperada é igual a 2,5, o que não é. Z / / 1(400)2 1(225/2 1(100)2 1 E/U(w) |=— + + =-"(0+1,5+D=1,5 Uso 3 10 3 10 34 ) PROVA DE 2012 Questão 05 Sobre a Teoria da Utilidade Esperada, assinale Falso ou Verdadeiro nas afirmativas abaixo: O Suponha a seguinte função utilidade que representa as preferências dos indivíduos sobre loterias monetárias: U(W) = a + bW + cW”, em que W é o nível de riqueza do indivíduo, e a, b e c são parâmetros. Nesse caso, pode-se afirmar que o indivíduo é mais avesso ao risco quanto mais elevada for sua riqueza W. [e PD 4) (3) Falso. A função de utilidade esperada de von-Neumann Morgestern é invariante apenas às transformações monotônicas afins. (4) Falso. O enunciado tenta confundir o aluno. Quanto mais avesso ao risco for o indivíduo, maior será o seu prêmio de risco. O equivalente certeza seria o mon- tante fixo mínimo da renda pelo qual o consumidor troca a situação incerta pela certa. página deixada intencionalmente em branco  PROVA DE 2003 Questão 3 Segundo as teorias da produção e da oferta da firma: o o ooo A função de produção f(x, x,) = (x? + xi)º, em que b > 0 ea > 0, apresentará retornos crescentes de escala se ba > 1. É possível ter-se produtos marginais decrescentes para todos os fatores de produção e, ainda assim, ter-se retornos crescentes de escala. Na função de produção F(K, L) = 2 Kº7Lº5, a Taxa marginal de Substituição técnica de trabalho por capital é constante. A variação no excedente do produtor quando os preços mudam de p, para p, é igual à metade da área à esquerda e acima da curva de custo marginal entre os preços p, e p,. Se o produto marginal de um fator variável está acima do produto médio, este último estará crescendo. Resolução: (0) Verdadeiro. Para verificarmos os retornos de escala, consideremos um acréscimo pro- porcional nos insumos: (1x,, Ax,). Desse modo, teremos: Rx, 2x) = (da)! + (da = (4 (af da) = Aa = Ata, 0). Os retornos de escala serão crescentes quando ba>1. (1) Verdadeiro. Os retornos de escala dizem respeito ao que acontece com a produção quando todos os insumos variam numa mesma proporção. É, pois, um con-